量子力学中对易关系以及测不准原理思考

平面转子的转动惯量为I ,求其能量本征值。

现在很多书上比如教材《量子力学导论》都给出如下的求解：平面转子的哈密顿量
2 - 2 2
W 二—「2，能量本征方程为，最后求得本征态m二1「e im : 2I2I 厂...27：
2 -2
能量本征值为E m二，m二0,_1,_2,...
2I
-l2
这是我见到过的书上给出的求解。

我觉得求它的E m时要用到的H应该是H?，这样求
2I
出来的能量本征值才是转子全部的能量本征值，因为这和不确定关系，或则测不准有关，两
个求法最后的能量是不同的。

由于？2丫怖=1(1 • 1厂2丫1皿，那样就有川丫耐1—丫耐，
2I
l (l +1)斤2
也就是能量本征值为E l(,丨=0,1,2.…。

2I
2押
m
和原来的E m比较，也就是m2和I I - 1比较而已，而m = I, I -1,1「2，…，-1 T,_l。

2I
只有当m= 1 = 0时E m二E|才会成立。

当m =丨时，两个能量不等。

这在经典力学里不绝不可能的，在经典力学里我们知道转子的
Z方向的角动量|z就是它所有的角动量，所以不管你用|z还是丨结果都是一样的。

但是在这里原本因该相等的能量却有一个小小的：E ,这是测不准原理在其作用，也是他量子话后特
(I ■ 1)'2m2 '2l (I • 1)_ m2 ! 2
有的情况，首先.E二————-(——) --------------- ，先来看看即使是m = I，也就
21 21 21
厶E」，那么这相比经典多出来的部分能量来自哪里？我个人认
是磁量子数取到最大,
2I
为这是I x，I y这时不为0所产生的。

因为不确定关系说到底就是对易关系，在Ij j L
当i = j，也就是说我们不能同时知道三个方向的角动量中的任意两个，但我们可以同时知道I z , I 2因为他们是对易的。

既然这样，这部分的能量其实是来自于I x , I y，因为他们都不等
于0 了，而有一个很小的."：I，正是有这个小的厶I，才会有和经典能量比较后那个小小的能
量的差别。

L l x=I y- ，当时，，不妨取L I x ，二I y ，照这样由这
2 U 2 H 2
所以我觉得应该要用I 2
而不是l z ，因为在量子力学里我们还有不确定关系，而用后者就体 现不出和经
典的差别了。

两个方向产生的微小的能量为
2 ■Jx
2I
匚「2
2I 2I
和上面作差求出来的能量差相等。