沪教版高中数学高二下册-12.5 双曲线的标准方程 教案

里声速取同一个值 新疆 王新敞 奎屯
本例是培养学生应
用双曲线知识解决
实际问题的一道典
例 3 双曲线 x 2 9
y2 16
型题目，安排在此非 1的两个焦点为 F1、 F2 ，点 P 在双曲线上， 常 有 利 于 强 化 学 生
“应用数学”的意
若 PF1 PF2 ，求点 P 到 x 轴的距离.
识，后面对“想一想”
2c=2000 ， c=1000 ， b2 c2 a2 ＝
537600 新疆 王新敞 奎屯
所求双曲线的方程为
分析：解应用题 的关键是建立数学
x2
y2
1
（ x <-680）新疆 王新敞
奎屯
462400 537600
模型 根据本题设 新疆 王新敞 奎屯
和结论，注意到 A 站 听到爆炸声的时间
比在 B 站早 4 秒,这
则 F1(c,0), F2 (c,0) ，又设 M 与 F1(c,0), F2 (c,0) 距离之差的绝对 值等于 2 a （常数）， 2a 2c 。
P P PF1 PF2 2a
y
又 PF1 (x c)2 y 2
P
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
化简，得： (c2 a2 )x2 a2 y 2 a2 (c2 a2 )
炸声，已知 A 站听到爆炸声的时间比在 B 站早 4 秒，声速为 340 米／ 的几何条件可能比
秒，判断爆炸点可能分布在什么样的曲线上？并求出该曲线的方程． 较隐蔽和复杂 解决 新疆 王新敞 奎屯
它需要突出形数结
解：(1)由声速及 A、B 两站听到爆炸声的时间差，可知 A、B 两 合的思考方法，运用
情况来进行训练的 新疆 王新敞
奎屯
_y
点在 x 轴上，并且点 O 与线段 AB 的中点
重合
新疆
_P
王新敞 奎屯
设爆炸点 P 的坐标为 (x, y) ，则
_A
_O
_B
_x ∵ |PB| － |PA|=340×4=1360 ， 又
|AB|=2000>1360
即 2 a ＝1368， a ＝680, a 2 =462400．
因为
b2 c2 a2 5，
点评：求轨迹方程的
所以点 M 的轨迹方程为 x2 y 2 1(x 2) . 45
过程中，有一个重要 的步骤就是找出(或
⑵ 因 为 || MF1 | | MF2 || 6 ， 而 | F1F2 | 6 ， 所 以 当 联想到)轨迹上的动
| MF1 | | MF2 | 6 时，点 M 的轨迹是以 F2 为端点在 x 轴上的向右 点 所 满 足 的 几 何 条
站与爆炸点的距离的差小于 A、B 两站之间的距离，因此爆炸点应位 逻辑推理，结合平面
于以 A、B 为焦点的双曲线上 新疆 王新敞 奎屯
几何的基本知识，分
因为爆炸点离 B 处比离 A 处更远，所以爆炸点应在靠近 A 处的一 析、归纳，这里安排
支上．
本例就是针对以上
(2)如图建立直角坐标系 xoy ，使 A、B 两
的教学处理，有利于
解：
设点
P
的坐标为
(xp, yp )
，则有
x
2 p
9
y
2 p
16
1 ， 即
调动学生的学习主
x
2 p
9 16
y
2 p
9.
由 焦 点 坐 标 为 F1 (5,0) 、 F2 (5,0) 得 PF1 (5 xp , y p ) ，
PF2 (5 xp ,y p ) .
由
PF1 PF2 ，得
教学重难点
重点
双曲线方程的形式
难点
双曲线方程的推导过程
实验
教学环境资源
其他资源
教学过程
设计思想
一、复习引入：
1 椭圆定义： 新疆 王新敞 奎屯
平面内与两个定点 F1, F2 的距离之和等于常数（大于| F1F2 | ）的点 的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做 椭圆的焦距。
⑵ 已知点 M (x, y) 到点 F1 (3,0) 的距离与它到点 F2 (3,0) 的距离 之差的绝对值等于 6，求点 M 的轨迹方程。
解：⑴ 依题意，| MF1 | | MF2 | 4(4 | F1F2 |) ，
所以点 M 的轨迹是以 F 1 、 F2 为焦点的双曲线的右支，且 c=3，2a=4.
2
2
新疆 王新敞
奎屯
二、讲解新课：
1．双曲线的定义：平面内到两定点 F1, F2 的距离的差的绝对值为 常数（小于 F1F2 ）的动点的轨迹叫双曲线。 即 MF1 MF2 2a
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、
“常数小于 F1F2 ” 。 2．双曲线的标准方程：
根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过 从椭圆定义类比
程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲 出双曲线定义，
线的标准方程。 过程如下：（1）建系设点；（2）列式；（3）变换；（4）
化简；（5）证明
强调类比思想。
பைடு நூலகம்
取过焦点 F1，F2 的直线为 x 轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴。 设 P（ x, y ）为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是 2 c（ c 0 ）。
教学流程图（见下面附录）
复习椭圆定 义
例题讲解
双曲线定义 课堂小结
推导双曲线标 准方程
三维学习目标
知识与技能 掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，能初步应用
通过对双曲线标准方程的推导，提高学生求动点轨迹方程的能力；使学生初 步会按特定条件求双曲线的标准方程。
过程与方法
情感态度 价值观
理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段 等）；培养学生发散思维的能力。
在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（ 线段）。两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（ 圆）。椭圆的形 状与两定点间距离、绳长有关。
2.椭圆标准方程：
2
2
x y y x 新疆 （1） 1 （2） 1 王新敞
2
2
新疆 王新敞
a2 b2
奎屯
a2 b2
奎屯
其中 a c b 2
新疆 王新敞
奎屯
教材第 57 页练习 12.5
五、回家作业
《练习部分》
教学媒体 几何画板对双曲线形成的演示
的运用
教学设计的
形成性评价
教学设计规范参考文本 课题名称 双曲线及其标准方程
概述 教学对象分析：学生是在学习完了椭圆的标准方程和性质之后来学习双曲线及 其标准方程，对圆锥曲线的学习有一定的基础。在基本知识点，数学方法和思 想，数学能力等方面应用类比椭圆相关知识的方法来进行学习。
教学任务分析：
圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容，本章圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛 物线三个部分，三部分在圆锥曲线中的地位相同。本章对双曲线的教学，是在 学生对于椭圆基本知识和研究方法已经熟悉基础上进行的，所以讲解时应采用 类比的方法让学生自主研究、合作交流等方式得出双曲线的定义、标准方程， 最后反思应用。在引导学生进行基础知识的探索教学过程中，加强对学生思维 能力的培养；利用现代化教学，在课堂教学中达到提高学生能力和培养学生创 新意识。在整个教学过程中让学生注意观察、比较、分析、抽象、概括，使学 生在模拟演练中，体会到数学中蕴含的一些重要的思想方法，力求使学生在教 师的引导下，通过类比“椭圆及其标准方程”，加深对知识的理解，较好的掌 握双曲线的定义及其标准方程，即本节课所讲的任务。
PF1 • PF2 0 ，
即 (5 x p )(5 x p ) ( y p )( y p ) 0 ，
化简得
x
2 p
y
2 p
25 .
②
由①\②可得
25
y
2 p
162 ，
所以
yp
16 . 5
因此，点 P 到 x 轴的距离为 16 . 5
四、课堂练习：
动性和积极性，培养 他们的发散思维能 力
的一条射线 y 0(x 3)
件，列方程就是根据
当| MF1 | | MF2 | 6时，点 M 的轨迹是以 F1为端点在 x 上的向左 这些条件确定的，由
的一条射线 y 0(x 3) .
于轨迹问题比较普
遍，题型多样，有些
例 2 在相距 2000 米的两个观察站 A、B 先后听到远处传来的爆 轨迹上的动点满足
若坐标系的选取不同，可得到双
y
F2 A2
O
x
A1
F1
曲线的不同的方程，如焦点在 y 轴上，则焦点是 F1(0,c), F2 (0, c) ，将
x,
y
互换，得到
y a
2 2
x2 b2
1，此也是双曲线的标准方程。
三、讲解范例：
例 1 ⑴ 已知点 M (x, y) 到点 F1 (3,0) 的距离减去它到点 F2 (3,0) 的距离之差是 4，求点 M 的轨迹方程。
F1 A1 O A2 F2 x
由定义 2a 2c c2 a2 0 令 c2 a2 b2 代入，得： b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b2
两边同除
a
2
b
2
得：
x a
2 2
y2 b2
1，
此即为双曲线的标准方程 它所表示的双曲线的焦点在 x 轴 上，焦点是 F1(c,0), F2 (c,0) ， 其中 c2 a2 b2