广东省部分中学2023高中数学必修二第七章复数常考点

广东省部分中学2023高中数学必修二第七章复数常考点
单选题
1、已知复数z 满足z ⋅z +4i z =5+a i ，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．[−4,4]
B ．[−6,6]
C ．[−8,8]
D ．[−12,12]
答案：D
分析：设z =x +y i ,x,y ∈R ，由复数相等，得出x,y,a 的关系式，消去x 得到关于y 的一元二次方程有实数解，利用Δ≥0，求解即可得出答案.
设z =x +y i ,x,y ∈R ，则x 2+y 2+4i (x −y i )=5+a i ，
整理得：x 2+y 2+4y +4x i =5+a i ,
所以{x 2+y 2+4y =54x =a
，消去x 得y 2+4y −5+a 216=0, 因为方程有解，所以Δ=16−4(a 216−5)≥0，解得：−12≤a ≤12.
故选：D.
2、复数z =−2+i 2049的共轭复数z̅=（ ）
A ．12+i 2
B ．12−i 2
C ．−2−i
D ．−2+i
答案：C
分析：先由复数的运算可得z =−2+i ，然后求其共轭复数即可.
解：因为z =−2+i 2049=−2+(i 4)512⋅i =−2+i ，则z =−2−i ，
故选：C.
3、在复平面内，复数z =1+i 1−i +
1−i 2对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案：A
解析：由复数的运算求出z，则可得其对应的点的坐标，从而得出结论．
z=(1+i)2
(1−i)(1+i)+1−i
2
=2i
2
+1−i
2
=1
2
+1
2
i，
则z在复平面内对应的点为(1
2，1
2
)，在第一象限，
故选：A.
4、若z=1+2i+i3，则|z|=（）
A．0B．1
C．√2D．2
答案：C
分析：先根据i2=−1将z化简，再根据复数的模的计算公式即可求出．
因为z=1+2i+i3=1+2i−i=1+i，所以|z|=√12+12=√2．
故选：C．
小提示：本题主要考查复数的模的计算公式的应用，属于容易题．
5、欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ(e为自然底数，i为虚数单位)是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著名､最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数e2i在复平面内对应点所在的象限是（）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案：B
分析：根据欧拉公式有e2i=cos2+isin2，判断cos2, sin2即可确定e2i对应点所在象限.
由题意知：e2i=cos2+isin2，而π
2
<2<π，
∴cos2<0, sin2>0，故e2i对应点在第二象限.
故选：B
6、3+i
1−3i
=（）
A．1B．−1C．i D．−i
答案：C
解析：根据复数运算将分之分母同乘以1+3i，化简即可得出答案.
解：3+i
1−3i =(3+i)(1+3i)
(1−3i)(1+3i)
=3+3i2+10i
10
=3−3+10i
10
=i.
故选：C.
小提示：复数乘除法运算技巧：
（1）复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．
（2）复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
7、复数z=1
a−1
+(a2−1)i是实数，则实数a的值为（）
A．1或-1B．1
C．-1D．0或-1
答案：C
分析：利用复数是实数的充要条件，列式计算作答.
因复数z=1
a−1+(a2−1)i是实数，则{a−1≠0
a2−1=0，解得a=−1，
所以实数a的值为-1. 故选：C
8、设z1=−1+√3i，z2=(1
2z1)
2
，则argz2=（）
A．5
6πB．4
3
πC．11
6
πD．5
3
π
答案：B
分析：首先求z2，再求tanθ，根据对数对应的点所在的象限，求复数的辅角主值.
z2=1
4z12=1
4
(−1+√3i)2=−1
2
−√3
2
i，复数对应的点是(−1
2
,−√3
2
)，位于第三象限，且tanθ=b
a
=√3，所以
argz2=4π
3
.
故选：B
9、已知a，b∈R，若a2+b+(a−b)i>2 (i为虚数单位)，则实数a的取值范围是（）A．a>2或a<−1B．a>1或a<−2C．−1<a<2D．−2<a<1
答案：B
分析：依题意复数的虚部为零，实部大于2，即可得到不等式，解得即可；
解：因为a，b∈R，a2+b+(a−b)i>2，所以{a 2+b>2
a−b=0
，即a2+a>2，解得a>1或a<−2
故选：B
10、已知复数z1=2
1+i
与z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称，则z1z2=（）
A．−4i B．−2i C．2i D．4i
答案：C
分析：利用复数的除法运算法则化简复数z1，求出其在复平面内对应的点，再求出该点关于直线y=x对称的点，得到复数z2，最后利用复数的乘法运算法则即可求得z1z2．
因为z1=2
1+i =2(1−i)
(1+i)(1−i)
=1−i，所以复数z1在复平面内对应的点为(1,−1)，
其关于直线y=x对称的点为(−1,1)，所以z2=−1+i，所以z1z2=(1−i)(−1+i)=2i，
故选：C．
填空题
11、 (√3i −1)2018=______.
答案：−22017(1+√3i )
解析：利用(√3i −1)3=8，(√3i −1)2018=√3√3i √3i 673√3i −1即得解. (√3i −1)2018=[(√3i −1)(√3i −1)(√3i −1)]
673
√3i −1=8673√3i −18673(√3i+1)(√3i −1)(√3i +1) =8673(√3i +1)
−4=−22017(1+√3i ).
所以答案是：−22017(1+√3i )
小提示：本题考查了复数的幂指数运算，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.
12、已知i 为虚数单位，则集合A ={x|x =i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i n ,n ∈N ∗}中元素的个数为___________.
答案：4
分析：根据i 4n =1,i 4n+1=i ,i 4n+2=−1,i 4n+3=−i ，分类讨论即可求出．
当n =4k,k ∈N ∗时，x =i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i n =0；
当n =4k +1,k ∈N 时，x =i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i n =i ；
当n =4k +2,k ∈N 时，x =i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i n =i +i 2=i −1；
当n =4k +3,k ∈N 时，x =i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i n =i +i 2+i 3=−1，所以集合A 中元素的个数为4．
所以答案是：4．
13、设复数z =1−√3i 在复平面上对应的向量为OZ ⃑⃑⃑⃑⃑ ，将OZ ⃑⃑⃑⃑⃑ 绕原点O 逆时针旋转n 个5π6
角后得到向量OZ 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ (n ∈N ∗)，向量OZ 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 所对应的复数为z 1，若z 1<0，则自然数n 的最小数值为___________
答案：4
分析：将复数z 表示为三角的形式，可得出z 1的三角表示，根据z 1<0可得出关于n 的表达式，进而可求得自然数
n 的最小值.
因为z =1−√3i =2(12−√32i )=2cos 5π3+2i sin 5π3，
将OZ ⃑⃑⃑⃑⃑ 绕原点O 逆时针旋转n 个5π6
角后得到向量OZ 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ (n ∈N ∗)，向量OZ 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 所对应的复数为z 1， 则z 1=2cos (5π3+5nπ6)+2i sin (5π3+
5nπ6)， 因为z 1<0，所以，{cos (5π3+5nπ6)=−1sin (5π3+5nπ6)=0
，所以，5(n+2)π6=π+2kπ(k ∈N ∗)， 所以，n =12k−45，当k =2时，n 取得最小值4.
所以答案是：4.
解答题
14、已知z 是复数，z −3i 为实数，z−5i 2−i 为纯虚数（i 为虚数单位）.
（1）求复数z ；
（2）求z
1−i 的模.
答案：（1）z =−1+3i ；（2）√5
分析：（1）设z =a +b i (a,b ∈R )，由z −3i 为实数，z−5i 2−i 为纯虚数，可求出a,b 的值，进而可求出复数z ；
（2）结合复数的四则运算，对z 1−i 进行化简，进而求出|z
1−i |即可.
（1）设z =a +b i (a,b ∈R )，
由z −3i =a +(b −3)i 为实数，可得b −3=0，即b =3.
∵z−5i
2−i =a−2i
2−i =(a−2i )(2+i )
(2−i )(2+i )=2a+2+(a−4)i 5为纯虚数，
∴2a +2=0,a −4≠0，即a =−1，
∴z =−1+3i .
（2）z
1−i =−1+3i
1−i
=(−1+3i)(1+i)
(1−i)(1+i)
=−4+2i
2
=−2+i，
∴|z
1−i
|=√(−2)2+12=√5.
小提示：本题考查复数的概念，考查复数的模，考查复数的四则运算，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
15、已知m∈R，α、β是关于x的方程x2+2x+m=0的两根．
（1）若|α−β|=2√2，求m的值；
（2）用m表示|α|+|β|．
答案：（1）−1或3；（2）|α|+|β|={2√m,m>1 2,0≤m≤1
2√1−m,m<0
.
分析：（1）由α、β是关于x的方程x2+2x+m=0的两根．可得α+β=−2，αβ=m，对α，β分为实数，与一对共轭虚根即可得出．
（2）不妨设α⩽β，对m及其判别式分类讨论，利用根与系数的关系即可得出．
解：（1）∵α、β是关于x的方程x2+2x+m=0的两根．
∴α+β=−2，αβ=m，
若α，β为实数，即Δ=4−4m≥0，解得m≤1时；
则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=√4−4m，
解得m=−1．
若α，β为一对共轭复数，即Δ=4−4m<0，解得m>1时；
则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=|√4m−4i|，
解得m=3．
综上可得：m=−1或3．
（2）因为x2+2x+m=0，不妨设α⩽β．
Δ=4−4m⩾0，即m⩽1时，方程有两个实数根．
α+β=−2，αβ=m，
0⩽m⩽1时，|α|+|β|=|α+β|=2．
m<0时，α与β必然一正一负，则|α|+|β|=−α+β=√(α+β)2−4αβ=2√1−m．Δ=4−4m<0，即m>1时，方程有一对共轭虚根．
|α|+|β|=2|α|=2√α2=2√m
综上可得：|α|+|β|={2√m,m>1 2,0⩽m⩽1
2√1−m,m<0
．。