高考数学复习函数y=Asinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用理含解析

高考数学复习核心素养提升练二十一
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
(30分钟60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.把函数f(x)=sin 2x+ cos 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象,则g(x)
( )
A.在上单调递增
B.在上单调递减
C.图象关于点对称
D.图象关于直线x=对称
【解析】选A.因为f(x)=sin 2x+ cos 2x=2sin,
所以g(x)=2sin=2sin 2x,
因此g(x)在上单调递增,图象不关于点对称,也不关于直线x=对称.
2.(2019·德州模拟)若函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图,则ω等于
( )
A.5
B.4
C.3
D.2
【解析】选B.由题图可知=x0+-x0=,即T==,故ω=4.
3.函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称,则φ可以是
( )
A. B. C. D.
【解析】选D.函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移个单位,可得图象所对应的函数解析式为y=sin=sin,
由图象关于原点对称,可得sin=0,
即-+φ=kπ,k∈Z,
所以φ=+kπ,k∈Z,
取k=0,得φ=.
4.(2017·天津高考)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则( )
A.ω=,φ=
B.ω=,φ=-
C.ω=,φ=-
D.ω=,φ=
【解析】选A.由题意其中k1,k2∈Z,所以ω=(k2-2k1)-,
又T=>2π,所以0<ω<1,所以ω=,φ=2k1π+π,由<π得φ=.
【光速解题】选A.由“f=2,f=0,”可推测=,T=3π,符合“f(x)的最小正周期大于2π”,易得ω=,代入解析式,结合“f=2,f=0,易求φ=.
5.(2019·临汾模拟)把函数y=sin 2x的图象沿x轴向左平移个单位长度,纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y=f(x)的图象,对于函数y=f(x)有以下四个判断:
①该函数的解析式为y=2sin;②该函数图象关于点对称;③该函数在
上是增函数;
④若函数y=f(x)+a在上的最小值为,则a=2.其中,正确判断的序号有
( )
A.①②
B.②④
C.①③
D.③④
【解析】选 B.将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度得到y=sin 2
=sin2x+的图象,然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y=2sin的图象,所以①不正确.
f=2sin=2sin π=0,
所以函数图象关于点对称,所以②正确.
由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数的单调递增区间为
,k∈Z,所以③不正确.
y=f(x)+a=2sin+a,
当0≤x≤时,≤2x+≤,
所以当2x+=,即x=时,函数取得最小值,y min=2sin+a=-+a,令-+a=,得a=2,
所以④正确,所以正确判断的序号为②④.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.将函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ<0)的图象向左平移个单位长度,得到偶函数g(x)的图象,则φ的最大值是________.
【解析】函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ<0)的图象向左平移个单位长度,得到
y=2sin=2sin,
即g(x)=2sin,
又g(x)为偶函数,
所以+φ=+kπ,k∈Z,
即φ=-+kπ,k∈Z,
又因为φ<0,所以φ的最大值为-.
答案:-
7.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ),y=f(x)的部分图象如图所示,则f等于__________.
【解析】由题图可知T=2×=,所以ω==2.
即f(x)=Atan(2x+φ),又因为f=0,
故Atan=0,|φ|<,所以φ=,因为f(0)=1,所以Atan=1,即A=1,
即f(x)=tan,
所以f=tan=tan=.
答案:
8.已知函数f(x)=cos-(ω>0)在区间[0,π]上恰有三个零点,则ω的取值范围是________.
【解析】由题意函数f(x)=cos-在区间[0,π]上恰有三个零点,
转化为y=cos和函数y=在区间[0,π]上恰有三个交点,
当x∈[0,π]时,-≤ωx-≤ωπ-,
当x=0时,y=,
根据余弦函数的图象,要使两图象有三个交点,则≤ωπ-<,解得2≤ω<.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.设函数y=f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)的周期为π.
(1)求函数y=f(x)的振幅、初相.
(2)用五点法作出函数y=f(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象.
(3)说明函数y=f(x)的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到.
【解析】(1)因为函数y=f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin(ω>0)的周期为
T==π,所以ω=2,即y=f(x)=2sin,振幅为2,初相为.
(2)列表
2x+0 π
π
2π
x
-
y 0 2 0 -2 0 描点连线,
(3)由y=sin x的图象向左平移个单位,再把所得图象上的各点的横坐标变为原来的,再把所得图象上的各点的纵坐标变为原来的2倍即可得到函数y=f(x)的图象.
10.如图所示,某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asin ωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为S(3,2),赛道的后一部分为折线段MNP,求A,ω的值和M,P两点间的距离.
【解析】依题意,有A=2,=3,又T=,
所以ω=,
所以y=2sin x,x∈[0,4],
所以当x=4时,y=2sin =3,
所以M(4,3),又P(8,0),
所以MP===5(km),
即M,P两点间的距离为5 km.
(20分钟40分)
1.(5分)为得到函数y=cos 的图象,只需将函数y=sin 2x的图象
( )
A.向右平移个长度单位
B.向左平移个长度单位
C.向右平移个长度单位
D.向左平移个长度单位
【解析】选B.y=cos
=cos =-sin,
因为-sin=sin
=sin ,
所以y=cos =sin
=sin 2.
由图象平移的规则可知只需将函数y=sin 2x的图象向左平移个长度单位就可以得到函数
y=cos 的图象.
2.(5分)2017年,某市将投资1 510.77亿进行城乡建设.其中将对奥林匹克公园进行二期扩建,拟建该市最大的摩天轮建筑.其旋转半径50米,最高点距地面110米,运行一周大约21分钟.某人在最低点的位置坐上摩天轮,则第7分钟时他距地面大约为 ( )
A.75米
B.85米
C.100米
D.110米
【解析】选 B.设该人与地面高度与时间t的关系f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,φ∈[0,2π)),由题意可知:A=50,B=110-50=60,T==21,所以ω=,
即 f(t)=50sin+60,
又因为f(0)=110-100=10,即sin φ=-1,故φ=,所以f(t)=50sin+60,
所以f(7)=50sin+60=85.
【变式备选】(2018·郑州模拟)动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,
其初始位置为A0,12秒旋转一周,则动点的纵坐标关于时间(单位:秒)的函数解析式为( )
A.y=sin
B.y=cos
C.y=sin
D.y=cos
【解析】选C.因为动点初始位置为A0,,所以t=0时,y=,可排除选项A,B;又因为动点12秒旋转一周,所以函数周期为12,可排除选项D.
3.(5分)若函数y=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,则该函数解析式是________________.
【解析】由图象可得A=2,=-=,
即ω=2.
将点代入到函数y=Asin(ωx+φ)中,
得2=2sin,
即+φ=+2kπ,k∈Z.
因为|φ|<,所以φ=,
所以函数解析式为y=2sin.
答案:y=2sin
4.(12分)(2019·合肥模拟)已知函数f(x)= sin xcos x-cos.
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程.
(2)将函数f(x)图象向右平移个单位,所得图象对应的函数为g(x).当x∈时,求函数g(x)的值域.
【解析】(1)f(x)=sin xcos x- cos
= sin 2x- cos 2x = sin.
令2x-=+kπ,k∈Z,解得x=+.
所以函数f(x)图象的对称轴方程为x=+,k∈Z.
(2)易知g(x)= sin.
因为x∈,所以2x-∈,
所以sin∈,
所以g(x)= sin∈,
即当x∈时,函数g(x)的值域为.
5.(13分)(2018·武汉模拟)已知函数f(x)=sin(2x+φ)+ cos (2x+φ)(0<|φ|<π)在
上单调递减,且满足f(x)=f.
(1)求φ的值.
(2)将y=f(x)的图象向左平移个单位后得到y=g(x)的图象,求g(x)的解析式.
【解析】(1)f(x)=sin(2x+φ)+ cos (2x+φ)
=2sin.
因为f(x)=f,则y=f(x)图象关于x=对称,
所以在x=时,2x+φ+=kπ+(k∈Z),
所以φ+=kπ,而0<|φ|<π,
所以φ=或φ=-,
当φ=时,f(x)=-2sin 2x在上单调递减,符合题意.
所以φ=可取.
当φ=-时,f(x)=2sin 2x在上单调递增,不合题意,舍去.因此,φ=.
(2)由(1)可知f(x)=-2sin 2x,
将f(x)=-2sin 2x向左平移个单位得到g(x),
所以g(x)=-2sin 2
=-2sin=2sin.。