乐平市第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

乐平市第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若关于的不等式
2
043
x a x x +>++的解集为31x -<<-或2x >，则的取值为（ ）
A ．
B ．12
C ．12
-
D ．2-
2． 已知集合{}2|10A x x =-=，则下列式子表示正确的有（ ） ①1A ∈；②{}1A -∈；③A ∅⊆；④{}1,1A -⊆．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 3． 将函数)6
3sin(
2)(π
+
=x x f 的图象向左平移
4
π
个单位，再向上平移3个单位，得到函数)(x g 的图象，
则)(x g 的解析式为（ ） A ．3)4
3sin(2)(--
=π
x x g B ．3)4
3
sin(
2)(++
=π
x x g
C ．3)12
3
sin(
2)(+-
=π
x x g D ．3)12
3
sin(
2)(--
=π
x x g
【命题意图】本题考查三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解，属于中等难度. 4． 用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的体积是（ ）
A ．
π B ．2
π
C ．4
π
D ．
π
5． 若向量（1，0，x ）与向量（2，1，2）的夹角的余弦值为，则x 为（ ）
A ．0
B ．1
C ．﹣1
D ．2
6． 设函数F （x ）=
是定义在R 上的函数，其中f （x ）的导函数为f ′（x ），满足f ′（x ）＜f （x ）对于x
∈R 恒成立，则（ ） A ．f （2）＞e 2f （0），f B ．f （2）＜e 2f （0），f C ．f （2）＞e 2f （0），f
D ．f （2）＜e 2f （0），f
7． 圆C 1：（x+2）2+（y ﹣2）2=1与圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣5）2=16的位置关系是（ ） A ．外离 B ．相交 C ．内切 D ．外切
8． 过点（2，﹣2）且与双曲线﹣y 2
=1有公共渐近线的双曲线方程是（ ）
A ．
﹣
=1
B ．
﹣
=1
C ．﹣=1
D ．﹣=1
9． 已知直线 a
平面α，直线b
⊆
平面α，则（ ）
A ．a
b B ．与异面 C ．与相交 D ．与无公共点
10．已知实数x ，y
满足有不等式组，且z=2x+y 的最大值是最小值的2倍，则实数a 的值是（ ）
A ．2
B
．
C
．
D
．
11．已知a ＞0，实数x ，y
满足：，若z=2x+y 的最小值为1，则a=（ ）
A ．2
B ．1
C
．
D
．
12．已知点A （0，1），B （3，2
），向量=（﹣4，﹣3
），则向量=（ ） A ．（﹣7，﹣4）
B ．（7，4）
C ．（﹣1，4）
D ．（1，4）
二、填空题
13．已知向量b a ,满足42
=a ，2||=b ，4)3()(=-⋅+b a b a ，则a 与b 的夹角为 .
【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题. 14．分别在区间[0,1]、[1,]e 上任意选取一个实数a b 、，则随机事件“ln a b ≥”的概率为_________.
15．已知,x y 满足41
y x x y x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则22
2
23y x y x x -+的取值范围为____________. 16．给出下列四个命题：
①函数f （x ）=1﹣2sin 2的最小正周期为2π； ②“x 2﹣4x ﹣5=0”的一个必要不充分条件是“x=5”；
③命题p ：∃x ∈R ，tanx=1；命题q ：∀x ∈R ，x 2﹣x+1＞0，则命题“p ∧（￢q ）”是假命题； ④函数f （x ）=x 3﹣3x 2+1在点（1，f （1））处的切线方程为3x+y ﹣2=0． 其中正确命题的序号是 ．
17．图中的三个直角三角形是一个体积为20
的几何体的三视图，则h
=
__________.
18．1785与840的最大约数为 ．
三、解答题
19．已知集合A={x|2≤x ≤6}，集合B={x|x ≥3}． （1）求C R （A ∩B ）；
（2）若C={x|x ≤a}，且A ⊆C ，求实数a 的取值范围．
20．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=10，a 2为整数，且S n ≤S 4。

（1）求{a n }的通项公式；
（2）设b n =
，求数列{b n }的前n 项和T n 。

21．（本小题满分12分）已知12,F F 分别是椭圆C ：222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>的两个焦点，(1,
)2
P 是椭圆上
1122|,||,|P F F F P F 成等差数列． （1）求椭圆C 的标准方程；、
（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A B 、两点，试问x 轴上是否存在定点Q ，使得716
Q A Q B ⋅=-恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
22．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=（）x．
（1）求当x＞0时f（x）的解析式；
（2）画出函数f（x）在R上的图象；
（3）写出它的单调区间．
23．已知向量（+3）⊥（7﹣5）且（﹣4）⊥（7﹣2），求向量，的夹角θ．
24．已知二次函数f（x）的图象过点（0，4），对任意x满足f（3﹣x）=f（x），且有最小值是．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数h（x）=f（x）﹣（2t﹣3）x在区间[0，1]上的最小值，其中t∈R；
（3）在区间[﹣1，3]上，y=f（x）的图象恒在函数y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．
乐平市第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D 【解析】
试题分析：由题意得，根据不等式与方程的关系可知，不等式解集的端点就是对应的方程的根，可得方程
2
043
x a x x +=++，解得3,1,x x x a =-=-=-，其对应的根分别为3,1,2x x x =-=-=，所以2a =-，故选
D.
考点：不等式与方程的关系. 2． 【答案】C 【解析】
试题分析：{}1,1A =-，所以①③④正确.故选C. 考点：元素与集合关系，集合与集合关系． 3． 【答案】B
【解析】根据三角函数图象的平移变换理论可得，将)(x f 的图象向左平移4
π
个单位得到函数)4
(π
+
x f 的图
象，再将)4
(π
+
x f 的图象向上平移3个单位得到函数3)4
(++
π
x f 的图象，因此=)(x g 3)4
(++π
x f
3)4
3
sin(
23]6
)4
(31sin[
2++
=++
+
=π
π
π
x x .
4． 【答案】C
【解析】解：用一平面去截球所得截面的面积为2π，所以小圆的半径为： cm ；
已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为：，
所以球的体积为： =4
π
故选：C ．
5． 【答案】A
【解析】解：由题意=，∴1+x=
，解得x=0
故选A
【点评】本题考查空间向量的夹角与距离求解公式，考查根据公式建立方程求解未知数，是向量中的基本题型，此类题直接考查公式的记忆与对概念的理解，正确利用概念与公式解题是此类题的特点．
6． 【答案】B
【解析】解：∵F（x）=，
∴函数的导数F′（x）==，
∵f′（x）＜f（x），
∴F′（x）＜0，
即函数F（x）是减函数，
则F（0）＞F（2），F（0）＞F＜e2f（0），f，
故选：B
7．【答案】D
【解析】解：由圆C1：（x+2）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣5）2=16得：
圆C1：圆心坐标为（﹣2，2），半径r=1；圆C2：圆心坐标为（2，5），半径R=4．
两个圆心之间的距离d==5，而d=R+r，所以两圆的位置关系是外切．故选D
8．【答案】A
【解析】解：设所求双曲线方程为﹣y2=λ，
把（2，﹣2）代入方程﹣y2=λ，
解得λ=﹣2．由此可求得所求双曲线的方程为．
故选A．
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程，解题时要注意公式的灵活运用．
9．【答案】D
【解析】
试题分析：因为直线a平面α，直线b⊆平面α，所以//a b或与异面，故选D.
考点：平面的基本性质及推论.
10．【答案】B
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，得A（a，a），
联立，得B（1，1），
化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，
由图可知z max=2×1+1=3，z min=2a+a=3a，
由6a=3，得a=．
故选：B．
【点评】本题考查了简单的线性规划考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
11．【答案】C
【解析】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，
由，解得，
即C（1，﹣1），
∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，
∴﹣1=﹣2a，
解得a=．
故选：C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
12．【答案】A
【解析】解：由已知点A （0，1），B （3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），
则向量
=
=（﹣7，﹣4）；
故答案为：A ．
【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．
二、填空题
13．【答案】3
2π
【
解
析
】
14．【答案】
1e e
-
【解析】解析： 由ln a b ≥得a
b e ≤，如图所有实数对(,)a b 表示的区域的面积为e ，满足条件“a
b e ≤”的实数对(,)a b 表示的区域为图中阴影部分，其面积为1
10
01|
a a
e d a e
e ==-⎰，∴随机事件“ln a b ≥”的概率为
1e e
-．
15．【答案】[]2,6
【解析】
考点：简单的线性规划．
【方法点睛】本题主要考查简单的线性规划.与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数
的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.常见代数式的几何意义：（1
()
,x y与原点()
0,0的距离；（2()
,x y与点()
,a b间的距离；（3）y
x
可表示点
()
,x y与()
0,0点连线的斜率；（4）y b
x a
-
-
表示点(),x y与点(),a b连线的斜率.
16．【答案】①③④．
【解析】解：①∵，∴T=2π，故①正确；
②当x=5时，有x2﹣4x﹣5=0，但当x2﹣4x﹣5=0时，不能推出x一定等于5，故“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”成立的充分不必要条件，故②错误；
③易知命题p为真，因为＞0，故命题q为真，所以p∧（￢q）为假命题，故③正确；
④∵f′（x）=3x2﹣6x，∴f′（1）=﹣3，∴在点（1，f（1））的切线方程为y﹣（﹣1）=﹣3（x﹣1），即3x+y ﹣2=0，故④正确．
综上，正确的命题为①③④．
故答案为①③④．
17．【答案】
【解析】
试题分析：由三视图可知该几何体为三棱锥，其中侧棱V A⊥底面A B C，且A B C
∆为直角三角形，且
5,,6
A B V A h A C
===，所以三棱锥的体积为
11
56520
32
V h h
=⨯⨯⨯==，解得4
h=.
考点：几何体的三视图与体积.
18．【答案】105．
【解析】解：1785=840×2+105，840=105×8+0．
∴840与1785的最大公约数是105．
故答案为105
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由题意：集合A={x|2≤x≤6}，集合B={x|x≥3}．那么：A∩B={x|6≥x≥3}．
∴C R（A∩B）={x|x＜3或x＞6}．
（2）C={x|x≤a}，
∵A⊆C，
∴a≥6
∴故得实数a的取值范围是[6，+∞）．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
20．【答案】
【解析】（1）由a1=10，a2为整数，且S n≤S4得
a4≥0，a5≤0，即10+3d≥0，10+4d≤0，解得﹣≤d≤﹣，
∴d=﹣3，
∴{a n}的通项公式为a n=13﹣3n。

（2）∵b n==，
∴T n=b1+b2+…+b n=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）
=。

21．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查椭圆的定义及方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量数量积等基础知识，意在考查学生逻辑思维能力、运算求解能力、探索能力，以及分类讨论思想、待定系数法、设而不求法的应用．
下面证明54
m =
时，716
Q A Q B ⋅=-
恒成立．
当直线l 的斜率为0时，结论成立；
当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 由1x ty =+及
2
2
12
x
y
+=，得22
(2)210t y ty ++-=，
所以0∆>，∴12122
2
21,2
2
t y y y y t t +=-
=-
++．
111x ty =+，221x ty =+，
∴112212125511(,)(,)()()4
4
4
4
x y x y ty ty y y -
⋅-
=-
-
+=2
(1)t +121211()4
16
y y t y y -
++
＝
2
2
2
2
2
2
11212217(1)
2
4
2
162(2)
16
16
t t t t t t t t --+-++
⋅
+
=
+
=-+++．
综上所述，在x 轴上存在点5
(,0)4
Q 使得7
16
Q A Q B ⋅=-
恒成立．
22．【答案】
【解析】解：（1）若 x ＞0，则﹣x ＜0…（1分） ∵当x ＜0时，f （x ）=（）x
．
∴f （﹣x ）=（）﹣x
．
∵f （x ）是定义在R 上的奇函数， f （﹣x ）=﹣f （x ），
∴f （x ）=﹣（）﹣x =﹣2x
．…（4分）
（2）∵（x ）是定义在R 上的奇函数， ∴当x=0时，f （x ）=0，
∴f （x ）=．…（7分）
函数图象如下图所示：
（3）由（2）中图象可得：f（x）的减区间为（﹣∞，+∞）…（11分）（用R表示扣1分）
无增区间…（12分）
【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的解析式，函数的图象，分段函数的应用，函数的单调性，难度中档．
23．【答案】
【解析】解：∵向量（+3）⊥（7﹣5）且（﹣4）⊥（7﹣2），
∴=0，
+8=0，
∴=，
化为，代入=0，
化为：+16﹣cos2θ，
∴，
∴θ=或．
【点评】本题考查了数量积的定义及其运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
24．【答案】
【解析】解：（1）二次函数f（x）图象经过点（0，4），任意x满足f（3﹣x）=f（x）
则对称轴x=，
f（x）存在最小值，
则二次项系数a＞0
设f（x）=a（x﹣）2+．
将点（0，4）代入得：
f（0）=，
解得：a=1
∴f（x）=（x﹣）2+=x2﹣3x+4．
（2）h（x）=f（x）﹣（2t﹣3）x
=x2﹣2tx+4=（x﹣t）2+4﹣t2，x∈[0，1]．
当对称轴x=t≤0时，h（x）在x=0处取得最小值h（0）=4；
当对称轴0＜x=t＜1时，h（x）在x=t处取得最小值h（t）=4﹣t2；
当对称轴x=t≥1时，h（x）在x=1处取得最小值h（1）=1﹣2t+4=﹣2t+5．综上所述：
当t≤0时，最小值4；
当0＜t＜1时，最小值4﹣t2；
当t≥1时，最小值﹣2t+5．
∴．
（3）由已知：f（x）＞2x+m对于x∈[﹣1，3]恒成立，
∴m＜x2﹣5x+4对x∈[﹣1，3]恒成立，
∵g（x）=x2﹣5x+4在x∈[﹣1，3]上的最小值为，
∴m＜．。