福建省厦门市翔安第一中学高三数学上学期11月月考试卷 理

厦门市翔安第一中学2012~2013学年高三11月月考试卷
理科数学
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
第I 卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。

请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．。

1. 已知集合||0|,{|(1)(2)0},A x x B x x x =>=-->⋃则A B= （ ）
A ．R
B ．{|01}x x <<
C ．{|12}x x <<
D ． {|12}x x x <>或
2．“32<<x ”是“0)4(<-x x ”的 （ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 3. 函数x y 2sin 2
1
2=
的最小正周期是 （ ） A. π B. π2 C. π4 D. 2
π 4. 要得到函数x y 2sin =的图象，只需要将函数)4
2sin(π
+=x y 的图象（ ）
A. 向右平移
4π个单位 B.向右平移8π个单位 C.向左平移4
π个单位 D.向左平移8π
个单位
5. 若(0,)b
y ax y x
==-
+∞与在上都是减函数，对函数3y ax bx =+的单调性描述正确的是（ ）
A ．在(,)-∞+∞上是增函数
B ．在(0,)+∞上是增函数
C ．在()-∞+∞上是减函数
D ．在(,0)-∞上是增函数，在(0,)+∞上是减函 6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2,(3)x f x f =-则的值是（ ）
A ．8
B ．-8
C ． 1
8 D ．1
8
-
7. 如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，1,11===A A BC AB ,则1BC 与平面BD A 1所成角的正弦值为 （ ）
8 ．某个命题与正整数n 有关，若*()n k k N =∈时该命题不成立，那么可推得1n k =+时该命
题也不成立，现在已知当5=n 时该命题成立，那么可推得 （ ） A ．当5=n 时，该命题不成立 B ．当6=n 时，该命题成立
C ．当4=n 时，该命题不成立
D ．当4=n 时，该命题成立
9. 已知数列{}n a 的通项公式2
1
log ()2
n n a n N n *+=∈+，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使5n S <-成立的自然数n
（ ）
A ．有最大值63
B ．有最大值31
C ．有最小值63
D ．有最小值31
10. 记集合312
12323{1,2,3,4,5,6},{|,,,}101010
a a a A M m m a a a A ===
++∈，且321a a a 、、都不相等，将M 中的元素按从小到大排列，则第70个是 （ ）
A ．0.264
B ．0.265
C ．0.431
D ．0.432
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知向量a 与b 的夹角为120,||1,||3,||a b a b ︒==-则= 12．定积分
dx x x )9(3
2+-⎰
的值=
13. 函数1
()ln
ln(2)f x x x
=--的减区间是 14.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，若2
2
5
3sin 2sin ,2
B C a b bc =-=，则A=_______
15．定义在R 上的函数()f x ，其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ（λ∈R ，使得对任意的x ∈R ，都有f （x+λ）=λf （x ），则称y=f （x ）为“倍增函数”，λ为“倍增系数”，下列命题为真命题的是____（写出所有真命题对应的序号）．
①若函数()y f x =是倍增系数λ=-2的倍增函数，则()y f x =至少有1个零点；
②函数()21f x x =+是倍增函数，且倍增系数λ=1；③函数()x f x e -=是倍增函数，且倍增系数λ∈（0，1）；④若函数()sin(2)(0)f x x ωω=>是倍增函数，则(*)2
k k N π
ω=
∈. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

请在．．答题卡各自题目的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．。

16.（本题满分13分）
设13
()ln 1,22
f x a x x x =+
++其中a R ∈,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴. (Ⅰ) 求a 的值; (Ⅱ) 求函数()f x 的极值. 17．（本题满分13分）
如图是某函数()sin(
)(0)f x A x x ωϕ=+≥的图像，其中0,0,.2
2
A π
π
ωϕ>>-
<<
（Ⅰ）根据图象求函数()y f x =的解析式； （Ⅱ）将()y f x =图象上所有的点向左平移
6
π
个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若实数α满足0,()3,g x dx π
ααπα<<=⎰且求的值。

18.（本题满分13分）
已知()f x =
11(,)n n n P a a +在曲线*
()()y f x n N =∈上且11,0.n a a =>
（1）求证数列21n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的是等差数列，并求出{}n a 通项公式；
（2）记2222
22
12231n n n S a a a a a a +=⋅+⋅+
，求25.S
19. （本小题满分13分）
如图，为测量鼓浪屿郑成功雕像AB 的高度及取景点C 与F 之间的距离（B C D F 、、、在同一水平面上，雕
像垂直该水平面于点B ，且B C D 、、三点共线），某校
研究性学习小组同学在C D F 、、三点处测得顶点A 的仰角分别为45°、30°、30°(不考虑测量人的身高)。

若FCB ∠＝60°，CD
＝16）米。

（Ⅰ）求雕像AB 的高度；
（Ⅱ）求取景点C 与F 之间的距离。

20. （本小题满分14分）
已知函数()ln 1,.f x x ax a R =++∈ （Ⅰ）求()1f x x =在处的切线方程；
（Ⅱ）若不等式()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；
（Ⅲ）数列11{},2,21n n n a a a a +==+中，数列{}n b 满足ln ,{}n n n b n a b =记的前n 项和为n T ，求证：1
2
4.2
n n n T -+<-
21.（本小题满分14分）本题有（1）、（2）、（2）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时将所选题号填入括号中。

（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵10a M c ⎛⎫=
⎪⎝⎭的一个特征根为1-,属于它的一个特征向量113e ⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
.
（Ⅰ）求矩阵M ；
（Ⅱ）点P(1, 1)经过矩阵M 所对应的变换,得到点Q ，求点Q 的坐标.
（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，设直线l 的参数方程是324x t y t =-+⎧⎨=⎩
（t 为参数）．判
断直线l 和曲线C 的位置关系．
（3）(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲 已知函数()221f x x x =-++，(0,)x ∈+∞． （Ⅰ）求函数()f x 的最小值m ；
（Ⅱ）若,a b 是正实数，且满足a b m +=，求证：
22
2b a a b
+≥． 厦门市翔安第一中学2012~2013学年高三11月月考试卷
理科数学
第I 卷（选择题 共50分）
一、选择题：A B D B C B A D C D 二、填空题： 11、 13 12．
2
9
49+π 13. （0, 1） 14. 23π 15. ①③④
三、解答题：
16.（本题满分13分）
解:(1)因()13ln 122f x a x x x =+
++,故()21322
a f x x x '=-+ 由于曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线垂直于y 轴,故该切线斜率为0,即()10f '=,
从而13
022
a -
+=,解得1a =- …………………………………………………6分 (2)由(1)知()()13
ln 1022
f x x x x x =-+
++>, ()222113321
222x x f x x x x --'=--+=
()2
(31)(1)
2x x f x x +-'∴=
令()0f x '=,解得1211,3
x x ==-(因21
3
x =-
不在定义域内,舍去), ………9分 当()0,1x ∈时,()0f x '<,故()f x 在()0,1上为减函数;
当()1,x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在()1,+∞上为增函数; ………………11分 故()f x 在1x =处取得极小值()13f =. ……………………………………13分 17．（本题满分13分）
解：（Ⅰ）由函数图象及函数模型
()sin()
f x A x ωϕ=+知
2
A =；
-----------------1分
由171
266
T πππ=
-=，得2T π=，由22ππω=得1ω=； ---------------3分
由2sin 1ϕ=-得6
π
ϕ=-
．
∴所求函数解析式为()2sin()6
y f x x π
==-． -------------------------6分
（Ⅱ）将()2sin()6
y f x x π
==-
图象向左平移
6
π
个单位长度，
得到函数x x g y sin 2)(==的图象， ---------------------------8分
∵
⎰π
α
dx x g )(⎰=π
α
xdx sin 2π
α
|cos 2x -= απcos 2cos 2+-=3cos 22=+=α，
∴2
1
cos =α，又πα<<0， 解得3πα=． ----------------------------------13
分
18.（本题满分13分） 解：⑴由点11
(,
)n n n P a a +在曲线)(x f y =上，有21141n
n a a +=+，又0>n a ， 则
4112
2
1=-
+n
n a a （*N n ∈）
，∴数列}1
{n a 是等差数列。

首项1121
=a ，公差4=d ∴
344*)1(112
-=-+=n n a n
，∴3
41-=
n a n *
N n ∈
2222
22
12231
n n n S a a a a a a +=⋅+⋅+14)1411(41)]141341()13191()9151()5111[(41)14(*)34(1
13*919*515*11+=+-=+--++-+-+-=+-++++=
n n n n n n n 101
25
25=
S
19. （本小题满分13分） 解：（I ）（解法一设AB=x ，在AB C Rt ∆中，
x BC ACB =∴︒=∠,45
在
,30,︒=∠∆ADB ABC R t 中)
13(1630tan -+=
︒∴x x
16=∴x
答：雕像高度为16米…………6分
解法二：设AB=x ，在ABC Rt ∆中，x BC ACB =∴︒=∠,45
x AC 2=∴
在ADC ∆中，
)3045sin(30sin ︒-︒=︒DC AC )
3045sin()
13(1630sin 2︒-︒-=
︒∴x 16=∴x
答：雕像高度为16米…………6分
（2）解：
在ABC Rt ∆中，16,45=∴︒=∠BC ACB 在AFB Rt ∆中，,30︒=∠AFB 316,16
30tan =∴=︒∴FB FB
在BCF ∆中，设CF=y ，︒=∠60BCF
∴由余弦定理︒⋅⋅-+=60cos 22
2
2
2
FC BC FC BC BF
︒⋅⋅⋅-+=∴60cos 16216)316(22y y 05121672=--∴y y
、
0)32)(16(=-+y y 16,3221-==∴y y （负数舍去）
答：观景点C 与F 之间的距离为32米 …………13分 解法二：在ABC Rt ∆中，16,45=∴︒=∠BC ACB
在AFB Rt ∆中，,30︒=∠AFB 316,16
30tan =∴=
︒∴FB FB
在BCF ∆中，
BFC BC
BCF BF ∠=∠sin sin
BFC
∠=
︒∴
sin 16
60sin 316 2
1sin =∠∴BFC )
150(15030舍去或︒︒︒=∠∴BFC
22222)316(16,+=+=∆∴FB CB CF CBF 中在32=∴CF
答：观景点C 与F 之间的距离为32米 20. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）
1
0,'()x f x a x
>=
+，'(1)1f a ∴=+，切点是(1,1)a +， 所以切线方程为(1)(1)(1)y a a x -+=+-，即(1)y a x =+．----------------3分 （Ⅱ）（法一）
10,'()ax
x f x x
+>=
，
①当0a ≥时， (0,)x ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增，
显然当1x >时，()0f x >，()0f x ≤不恒成立． ---------------------4分 ②当0a <时， 1(0,)x a
∈-，'()0f x >，()f x 单调递增，
1
(,)x a
∈-+∞，'()0f x <，()f x 单调递减，---------------------6分
max 11
()()()ln()0f x f x f a a
∴==-=-≤极大值，1a ∴≤-，
所以不等式()0f x ≤恒成立时，a 的取值范围(,1]-∞- -------------8分 （法二）0,x >所以不等式()0f x ≤恒成立，等价于ln 1
ln 1,x ax x a x
--≤--≤
即， 令ln 1()x h x x --=
，则2221ln 1ln '()x x
h x x x x
-=-
+=， 当(0,1)x ∈时，'()0h x <，()h x 单调递减，
当(1,)x ∈+∞时，'()0h x >，
()h x 单调递增． -----------------------6分min ()()(1)1h x h x h ∴===-极小值，1a ∴≤-．
所以不等式()0f x ≤恒成立时，a 的取值范围(,1]-∞-． ---------------8分 Ⅲ）
121n n a a +=+，11
1(1)2
n n a a +∴-=-，
11111
2,1(),()122
n n n n a a a --=∴-=∴=+，
1
1ln[1]2n n b n -⎛⎫
∴=⋅+ ⎪
⎝⎭
， ---------------------10分
由（2）知，当1a =-时，ln 10x x -+≤恒成立，即ln 1x x ≤-，当且仅当1x =取等号．
11111111ln 111122b --⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=⨯+<⨯+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ，21212112ln 121122b --⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=⨯+<⨯+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，
1111ln 11122n n n b n n --⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=⨯+<⨯+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
， ---------------12分
1121111111121111222n n T n ---⎡⎤⎡⎤
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴<⨯+-+⨯+-+
+⨯+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
11
21
1
11112...222n n ---⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯++⨯ ⎪
⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
，
令0
1
1
11112...222n n S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
则1
2
1
1111112...(1)22222n n
n S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
，
1
1
11()11111112...()2(2)()1222222212
n
n n
n n n S n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++-⨯=
-⋅=-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，
114(2)()2n n S n -∴=-+⋅，12
42
n n n T -+∴<-． ---------------------------14分 21.（本小题满分14分）
（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换 （1）解：由题知 10a c ⎛⎫
⎪⎝⎭13⎛⎫ ⎪-⎝⎭=13⎛⎫- ⎪-⎝⎭即313
a c -=-⎧⎨=⎩ …………………4分
23a c =⎧⇒⎨
=⎩ ∴M=2130⎛⎫ ⎪
⎝⎭ …………………5分 ∴M 1313⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即点Q 的坐标(3,3) …………………7分
（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
本题考查极坐标、直线和圆位置关系等基础知识,考查运算求解能力及化归与转化思想.
解：曲线C 的极坐标方程可化为：ρ2
=2ρsin θ
又 222sin x y y
ρρθ⎧=+⎨=⎩曲线C 的直角坐标方程为：2220x y y +-= ……2分
将直线l 的参数方程化为直角坐标方程得：4x +3y -8=0 ……………4分
又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(0,1)，半径r =1
………………5分
则圆心C 到直线l
1r ==
∴ 直线l 与圆C 相切
………………7分
（3）(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲 （3）（Ⅰ）3,01,
()()31231, 1.x x f x f x x x x -<≤⎧==->⎨
->⎩
当01x <≤时，()3[2,3)f x x =-∈； 当1x >时，()312f x x =->，
所以()312f x x =-≥，即当1x =时，2m =.……………………………………………4分 （Ⅱ）由2a b +=且,a b 是正实数，根据柯西不等式，得
22
2
2()()()4a b b a a b b a ++≥=+=，
即22
2a b b a +≥.………………………………………………………………7分。