第2讲 空间中的公理与平行关系-拔高难度-讲义

空间中的公理与平行关系
知识讲解
一、空间中的公理
1．集合的语言：
我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系： 点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ∉； 点A 在平面α内，记作：A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉； 直线l 在平面α内（即直线上每一个点都在平面α内），记作l α⊂； 直线l 不在平面α内（即直线上存在不在平面α内的点），记作l α⊄； 直线l 和m 相交于点A ，记作{}l m A =，简记为l m A =； 平面α与平面β相交于直线a ，记作a αβ=． 2．平面的三个公理：
公理一：如果一条直线上的两点在同一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内．图形语言表述：如右图：
符号语言表述：A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂，，， 公理二：
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面， 也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面． 图形语言表述：如右图，
符号语言表述：,,A B C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A B C ααα∈∈∈，，．
公理三：
如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且 只有一条过这个点的公共直线． 图形语言表述：如右图：
符号语言表述：A a A a αβαβ∈⇒=∈，．
如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共 直线叫做这两个平面的交线．
3．平面基本性质的推论：
推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
4．共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面内，那么我们说它们共面．
二、平行的证明
1．平行线：
在同一个平面内不相交的两条直线．
平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 公理４（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行； 等角定理：两个角相等．
2．空间中两直线的位置关系： 共面直线：平行直线与相交直线；
异面直线：不同在任一平面内的两条直线．
3．直线与平面的位置关系：
⑴直线l 在平面α内：直线上所有的点都在平面内，记作l α⊂，如图⑴；
⑵直线l 与平面α相交：直线与平面有一个公共点A ；记作l A α=，如图⑵； ⑶直线l 与平面α平行：直线与平面没有公共点，记作l α∥，如图⑶．
4．
直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，
那么这条直线和这个平面平行．符号语言表述：l m αα⊄⊂，图象语言表述：如右图．
5．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直
线的平面和这个平面相交，那么这条直线和
两平面的交线平行．符号语言表述：l l αβ⊂∥，． 图象语言表述：如右图． 6．两个平面的位置关系
⑴ 两个平面,αβ平行：没有公共点，记为αβ∥；
画两个平行平面时，一般把表示平面的平行四边形画成对应边平行． ⑵ 两个平面,αβ相交，有一条交线，l αβ=．
7．两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平
面， 那么这两个平面平行．如右图所示．,,,a b A a b ββαβ=⇒∥∥∥． 推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面
内的两条相交直线，则这两个平面平行．
8.两个平面平行的性质定理：
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平
行．a b a b αβαγβγ==⇒∥，
，∥． 图象语言表述：如右图所示．
l
3()
2()
1()
l
A
α
α
α
l
m
l αβαl m
A
b
a α
β
γ
β
α
b a
典例精讲
一．选择题（共14小题）
1．（2017秋•清远期末）已知直线m⊄平面α，直线n⊂平面α，且点A∈直线m，点A∈平面α，则直线m，n的位置关系不可能是（）
A．垂直B．相交C．异面D．平行
2．（2017秋•淄博期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=CC1，点D，O 分别是AB，BC1的中点，则下列结论错误的是（）
A．AC1与平面ABC所成的角为60°
B．AC1∥平面CDB1
C．AC1与BB1所成的角为45°
D．AC1∥OD
3．（2018春•南岗区校级期末）已知m，n是空间中两条异面直线，则过m与n 垂直的平面（）
A．有且只有一个B．有无数个
C．不存在D．至多一个
4．（2018•德阳模拟）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，平面α∥平面A1BD，平面α∩平面ABCD=l，则直线l与直线CD1所成的角为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
5．（2018秋•武平县校级月考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PO⊥平面ABCD，E为线段AP的中点，底面ABCD为菱形，若BD=2，PC=4，则异面直线DE与PC所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
6．（2017秋•温州期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=，P是底面正方形ABCD内一点，M是CC1中点若PA1，PM与底面所成角相等，则tan∠A1PA最大值为（）
A．B．C．D．
7．（2017秋•镇海区校级期末）直线a与平面α所成角的为30o，直线b在平面α内，且与b异面，若直线a与直线b所成的角为φ，则（）
A．0°＜φ≤30°B．0°＜φ≤90°C．30°≤φ≤90°D．30°≤φ≤180°
8．（2018春•临川区校级期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，
F是四边形BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，下列说法正确的个数是（）
①点F的轨迹是一条线段
②A1F与D1E不可能平行
③A1F与BE是异面直线
④当F与C1不重合时，平面A1FC1不可能与平面AED1平行
A．1B．2C．3D．4
9．（2018•浙江模拟）四个同样大小的球O1，O2，O3，O4两两相切，点M是球O1上的动点，则直线O2M与直线O3O4所成角的正弦值的取值范围为（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]
10．（2018•全国三模）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AD中点，过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为（）
A．5B．2C．2D．6
11．（2018•新疆一模）在空间中，与边长均为3cm的△ABC的三个顶点距离均为cm的平面的个数为（）
A．2B．3C．4D．5
12．（2018春•思明区校级期中）如图，等边△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）
A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上
B．恒有平面A′GF⊥平面BCED
C．三棱锥A′﹣EFD的体积有最大值
D．异面直线A′E与BD不可能垂直
13．（2018•四川模拟）如图是某几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点．在此几何体中，以下结论一定成立的是（）
A．直线BE∥PF
B．直线EF∥平面PBC
C．平面BCE⊥平面PAD
D．直线PB与DC所成角为60°
14．（2017秋•重庆期中）如图所示，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列结论中不恒成立的是
（）
A．EP∥BD B．EP∥面SBD C．EP⊥AC D．EP与SD异面
二．填空题（共6小题）
15．（2017秋•林芝县校级期末）已知l，m为直线，α为平面，l∥α，m⊂α，则l与m之间的关系是．
16．（2018秋•徐州期中）在三棱锥P﹣ABC中，D，E分别是PB，BC中点，若F 在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，则的值为．
17．（2018春•汕头期末）已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E为棱AD中点，现有一只蚂蚁从点B1出发，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上行走一周后再回到点B1，这只蚂蚁在行走过程中与平面A1BE的距离保持不变，则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为．
18．（2017秋•小店区校级期中）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AB的中点，F在CC1上，且CF=2FC1，点P是侧面AA1D1D（包括边界）上一动点，且PB1∥平面DEF，则tan∠ABP的取值范围为．
19．（2016秋•平罗县校级期末）如图，在四面体ABCD中，AB=CD=2，AB与CD 所成的角为45°，点E，F，G，H分别在棱EC，BD，BC，AC上，若直线AB，CD都平行于平面EFGH，则四边形EFGH面积的最大值是．
20．（2018•聊城二模）如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E边AB的中点，将△ADE 沿直线DE翻折成△A1DE（A1∉平面ABCD），若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）
①V：V=1：3；
②存在某个位置，使DE⊥A1C；
③总有BM∥平面A1DE；
④线段BM的长为定值．
三．解答题（共13小题）
21．（2018秋•香坊区校级期中）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD 为菱形，且∠BAD=120°，AD=2，AA1=．
（1）求证：直线CD1∥平面A1BD；
（2）求四面体A﹣BDA1的表面积．
22．（2018•邕宁区校级模拟）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等边三角形，AB=2，∠A1AB=∠A1AC=60°，M，N分別为AB，A1C1的中点．（1）证明：MN∥平面BCC1B1；
（2）若MN=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积．
23．（2018春•贵阳期末）将一块边长为8cm的正方形铁皮按如图①所示的阴影部分裁下，其中分点均为所在边的四等分点，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是
底面中心的四棱锥）形的容器如图②所示（不考虑接头部分的材料损
耗）．
（1）若E为棱PC的中点，求证：PA∥平面BDE；
（2）求异面直线PB与AD所成角的余弦值．
24．（2018春•龙凤区校级期末）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，E、F分别为CC1、BB1上的点，且EC=B1F，过点B做截面BMN，使得截面交线段AC于点M，交线段CC1于点N．
（1）若EC=3BF，确定M、N的位置，使面BMN∥面AEF，并说明理由；（2）K、R分别为AA1、C1B1中点，求证：KR∥面AEF．
25．（2018•红河州二模）如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为2，点D是A1B 的中点，点E是B1C1的中点．
（1）证明：DE∥平面ACC1A1；
（2）若三棱锥E﹣DBC的体积为，求该正三棱柱的底面边长．
26．（2018•东莞市二模）如图，平面CDEF⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形CDEF为直角梯形，∠ADC=120°，CF⊥CD，且CF∥DE，AD=2DC=DE=2CF．（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；
（Ⅱ）若AD=2，求该几何体的各个面的面积的平方和．
27．（2018•鄂伦春自治旗二模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AA1=2，D为棱CC1的中点AB1∩A1B=O．
（1）证明：C1O∥平面ABD；
（2）已知AC⊥BC，△ABD的面积为，E为线段A1B上一点，且三棱锥C﹣ABE 的体积为，求．
28．（2017秋•香坊区校级期末）一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N．
（1）请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；
（2）证明：直线MN∥平面BDH；
（3）过点M，N，H的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比．
29．（2018秋•仙桃校级月考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．设M，N分别为PD，AD 的中点．
（1）求证：平面CMN∥平面PAB；
（2）求三棱锥P﹣ABM的体积．
30．（2018•赣州二模）如图，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=∠CDA=90°，AB=AD=DE=CD=2，M是线段AE 上的动点．
（Ⅰ）试确定点M的位置，使AC∥平面MDF，并说明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求平面MDF将几何体ADE﹣BCF分成的两部分的体积之比．
31．（2018春•新疆期末）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，M，N分别为PB，AC的中点，
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求点B到平面AMN的距离．
32．（2017秋•河南月考）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，CC1，AD的中点．
（1）求异面直线EG与B1C所成角的大小；
（2）棱CD上是否存在点T，使AT∥平面B1EF？请证明你的结论．
33．（2017秋•沙坪坝区校级期中）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，AA1=AB=2，∠ABC=60°，E为BC的中点．
（1）图1中，点F是A1C的中点，求异面直线EF，AD所成角的余弦值；（2）图2中，点H，N分别是A1D1，AD的中点，点M在线段A1D上，=，求证：平面AEH∥平面CNM．。