第二章第6课时知能演练轻松闯关

1．(2011·高考江西卷)若f (x )
＝1log (2x ＋1)，则f (x )的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，0 B.⎝⎛⎦
⎤－12，0 C.⎝⎛⎭
⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞) 解析：选A.要使f (x )有意义，需log 12(2x ＋1)＞0＝log 12
1，
∴0＜2x ＋1＜1，
∴－12
＜x ＜0. 2．设a ＝30.5，b ＝log 32，c ＝cos 23
π，则( ) A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜b
C ．a ＜b ＜c
D ．b ＜c ＜a
解析：选A.因为30.5＞30＝1,0＝log 31＜log 32＜log 33＝1，
cos 2π3＝－12
＜0，因此有c ＜b ＜a ，选A. 3．(2011·高考四川卷)计算⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷100－ ＝__________.
解析：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷100－ ＝⎝⎛⎭
⎫lg 1100÷10－1＝－2×10＝－20. 答案：－20
4．(2011·高考辽宁卷改编)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
21－x ， x ≤1，1－log 2x ， x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是________．
解析：当x ≤1时，由21－x ≤2，知x ≥0，即0≤x ≤1.当x >1时，由1－log 2x ≤2，知x ≥12
，即x >1，所以满足f (x )≤2的x 的取值范围是[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞) 一、选择题
1．函数y ＝2－x lg x
的定义域是( ) A ．{x |0<x <2}
B ．{x |0<x <1或1<x <2}
C ．{x |0<x ≤2}
D ．{x |0<x <1或1<x ≤2}
解析：选D.要使函数有意义只需要⎩⎪⎨⎪⎧
2－x ≥0x >0lg x ≠0
，
解得0<x <1或1<x ≤2，
∴定义域为{x |0<x <1或1<x ≤2}．
2．(2011·高考大纲全国卷)函数y ＝2x (x ≥0)的反函数为( ) 121212
A ．y ＝x 24
(x ∈R) B ．y ＝x 24(x ≥0) C ．y ＝4x 2(x ∈R) D ．y ＝4x 2(x ≥0)
解析：选B.∵y ＝2x (x ≥0)，∴x ＝y 2，∴x ＝y 24，互换x 、y 得y ＝x 24
(x ≥0)，因此y ＝2x (x ≥0)的反函数为y ＝x 24
(x ≥0)． 3．当0<a <1时，函数①y ＝a |x |与函数②y ＝log a |x |在区间(－∞，0)上的单调性为( )
A ．都是增函数
B ．都是减函数
C ．①是增函数，②是减函数
D ．①是减函数，②是增函数
解析：选A.①②均为偶函数，且0<a <1，x >0时，y ＝a |x |为减函数，y ＝log a |x |为减函数，∴当x <0时，①②均是增函数．
4．函数y ＝lg|x －1|的图象是( )
解析：选A.∵y ＝lg|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg (x －1)，x ＞1lg (1－x )，x ＜1. ∴A 项符合题意．
5．若函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)在区间[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 等于( )
A.22
B.24
C.14
D.12
解析：选B.∵0＜a ＜1，∴f (x )＝log a x 在[a,2a ]上为减函数，
∴f (x )max ＝log a a ＝1，f (x )min ＝log a 2a ＝1＋log a 2，
∴1＝3(1＋log a 2)，即log a 2＝－23，∴a ＝24
. 二、填空题
6．已知f (x )＝|log 2x |，则f (38)＋f (32
)＝________. 解析：f (38)＋f (32)＝|log 238|＋|log 232
|＝3－log 23＋log 23－1＝2. 答案：2
7．函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________．
解析：令u ＝x 2－2x ，则y ＝log 3u .
∵y ＝log 3u 是增函数，u ＝x 2－2x ＞0的减区间是(－∞，0)，
∴y ＝log 3(x 2－2x )的减区间是(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
8．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________．
解析：当x ≤0时，3x ＋1>1⇒x ＋1>0，∴－1<x ≤0；
当x >0时，log 2x >1⇒x >2，∴x >2.
综上所述，x 的取值范围为－1<x ≤0或x >2.
答案：{x |－1<x ≤0或x >2}
三、解答题
9．已知函数f (x )＝lg(a x －b x )(a ＞1＞b ＞0)．求y ＝f (x )的定义域．
解：由a x －b x ＞0，得⎝⎛⎭⎫a b x ＞1，
由a ＞1＞b ＞0，得a b
＞1， 所以x ＞0，
即f (x )的定义域为(0，＋∞)．
10．(2012·贵阳质检)比较下列各组数的大小：
(1)log 323与log 565
； (2)2a,2b,2c ，已知log 12b ＜log 12a ＜log 12
c .
解：(1)∵log 323
＜log 31＝0， log 565＞log 51＝0，∴log 323＜log 565
. (2)∵y ＝log 12x 为减函数，且log 12b ＜log 12a ＜log 12
c ，
∴b ＞a ＞c ，而y ＝2x 是增函数，
∴2b ＞2a ＞2c .
11．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．
(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；
(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 解：(1)∵f (1)＝1，
∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，
这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．
由－x 2＋2x ＋3＞0得－1＜x ＜3，函数定义域为(－1,3)．
令g (x )＝－x 2＋2x ＋3.
则g (x )在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减，
又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上递增，
所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)．
(2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0，
则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，
因此应有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，3a －1a
＝1，解得a ＝12. 故存在实数a ＝12
使f (x )的最小值等于0.。