1901杭州市高三上期末考数学答案

2018学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
11．3；3
12．－
12 13．(0，1)；y 14．288－24π，264＋12π
15．4 16．[2，4]
17．k ＞
1
2
三、解答题：本大题共5小题，共 74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）
解 （Ⅰ）f (
5π6)＝sin 5π3＋3cos 5π
3＝－3＋3＝0． ……4分
（Ⅱ）因为 f (x )＝2sin π23x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭，
当x ∈[0，
π4
]时，ππ5π2,336x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，
所以sin π23x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭
∈1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， 所以f (x )的取值范围为[1，2]．
……10分
19．（本小题满分15分） 解 （Ⅰ）当k ＝1时，
|1|
2x x --－k (x －1)2＝0， 所以 | x －1 |∙11|(2)
2
x x x |----＝0，
所以 | x －1 |＝0或1－| x －1 |(x －2)＝0，
所以解x ＝1，x ．
……7分
（Ⅱ）因为| x －1 |∙(1
2x -－k | x －1 | )＝0，
即| x －1 |＝0或1
2
x -－k | x －1 |＝0，
当| x －1 |＝0时，x ＝1，此时k ∈R ；
所以1
2
x -－k | x －1 |＝0有三个不等于1的解， 即
1
k
＝| x －1 |∙(x －2)有三个不等于1的解， 根据函数y ＝| x －1 |∙(x －2)的图象，
所以－
14＜1
k
＜0，即k ＜－4． ……8分
20．（本题满分15分）
解（Ⅰ）由AD ⊥BC 可知，| DM |＝| AM |，| DN |＝| AN |，
所以∠MDN ＝∠MAN ，
因为 DM ∙DN ＝12cos ∠MAN ＝－6， 所以cos ∠MAN
＝－
12
， 所以 | BC |2＝| AB |2＋| AC |2－2| AB |∙| AC | cos ∠MAN ＝148，
所以 | BC |＝237．
……8分
（Ⅱ）因为||
||
DM DB DN DC DB DC ⋅⋅+＝
1
2
( | DB |＋| DC | )＝5， 所以 | BC |＝10，
所以∠BAC =90°
．
……7分
21．（本题满分15分） 解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，
则⎩⎪⎨⎪⎧
6a 1＋15d ＝60，a 1(a 1＋20d )＝(a 1＋5d )2，解得1
2
5d a =⎧⎨=⎩， ∴ a n ＝2n ＋3． S n ＝
(82)
2
n n +＝n (n ＋4)． ……7分
（Ⅱ）由b n ＋1－b n ＝a n ， ∴b n －b n －1＝a n －1(n ≥2，n ∈N *)． 当n ≥2时，
b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝a n －1＋a n －2＋…＋a 1＋b 1 ＝(n －1)(n －1＋4)＋3＝n (n ＋2)． 对b 1＝3也适合， ∴ b n ＝n (n ＋2)(n ∈N *)．
1 x
y
O
∴
1n
b ＝1
(2)n n +＝12∙(1n －1+2n )． T n ＝
12∙(1－13＋12－14
＋…＋1n －1+2n ) ＝12(32－1n ＋1－1n ＋2)＝3n 2＋5n 4(n ＋1)(n ＋2)
．
……8分
22．（本题满分15分）
解：（Ⅰ）
（i ）根据题意，f ′(x )＝221
x ax x
++， 所以方程 2x 2＋ax ＋1＝0有两个正根t 1，t 2（不妨设t 1＜t 2），
所以 004
a ∆>⎧⎪⎨->⎪⎩，解得a ＜－
． ……3分
（ii ）易知f (x )在x ＝t 1时取到极大值，在x ＝t 2时取到极小值．
由（i ）知 2t 12＋at 1＋1＝0， 所以 f (t 1)＝－t 12＋ln t 1－1． 令 g (x )＝－x 2＋ln x －1，所以g ′(x )＝1
x
－2x ， 由
1
x
－2x ＝0，解得x ＝2．
所以 g (x )≤g (
2)＝ln 2－3
2
＜0， 所以f (t 1)＜0，故f (x )至多只有一个零点．
又f (－a )＝ln (－a )＞0，可知f (x )存在唯一零点．
……5分
（Ⅱ）由题意知：2x 1＋a ＋1
1x ＋2x 2＋a ＋21
x ＝0，
即 a ＝－(x 1＋x 2)－
12
12
+2x x x x ， 所以f (x 1)－f (x 2)＝x 12－x 22＋a (x 1－x 2)＋ln 1
2
x x
＝－
12(1
2x x －21
x x )＋ln 12x x ， 设t ＝12
x x ∈(1，2)，记h (t )＝－2t
＋12t ＋ln t ，
则 h ′(t )＝－12－21
2t ＋1t
＝－12(1t ＋1)2≤0，
故h (t )单调递增，所以h (t )∈(h (2)，h (1))， 即h (t )∈(－3
4
＋ln2，0)．
……7分。