几何证明选讲内容高考题选

几何证明选讲内容高考题选
1.几何证明选讲
例1.（全国卷新课标i文理科）如图1，四边形abcd是o的内接四边形，ab的延长线与dc的延长线交于点e，且
cb=ce.
（ⅰ)证明：∠d=∠e.
（ⅱ）设ad不是o的直径，ad的中点为m，且
mb=mc，证明：∆ade为等边三角形.
b、d四点共圆，
c、【解析】(ⅰ)由题设知a、所以∠d=∠cbe，由未知得∠cbe=∠e,
（ⅱ）设bc中点为n，连接mn,则由mb=mc,知mn⊥bc所以o在mn上，又ad不是o 的直径，m为ad中点，故om⊥ad，即mn⊥ad，所以ad//bc,故
∠a=∠cbe，又∠cbe=∠e，故∠a=∠e.由(ⅰ)言∠d=∠e，所以∆ade为等边
【分析】主要查考圆的基本性质、圆内接四边形的性质、垂径定理、等腰三角形的性质，考查考生逻辑推理能力及转化与化归的思想.
基准2（全国卷新课标ii文理科）例如图2，p就是o外一点，pa就是切线，a为切点，割线pbc与o平行于点b和点c，pc=2pa，
d为pc的中点，ad的延长线交o于点e.
证明：（ⅰ）be=ec
（ⅱ）ad⋅de=2pb【解析】（ⅰ）
pc=2pa,pd=dc,∴pa=pd,
∆pad为等腰三角形.
相连接ab，则∠pab=∠deb=β,∠bce=∠bae=α
∠pab+∠bce=∠pab+∠bad=∠pad=∠pda=∠deb+∠dbe,
∴β+α=β+∠dbe,α=∠dbe，即为∠bce=∠dbe，所以be=ec.
ad⋅de=bd⋅de,pa2=pb⋅pc,pd=dc=pa,
∴bd⋅dc=(pa-pb)pa=pb⋅pc-pb⋅pa=pb（⋅pc-pa)=pb⋅pa=pb⋅2pb=pb2
【点评】本题主要考查圆周角定理的推论、相交弦定理及切割线定理.在以圆为载体
的三角形和四边形的问题中，涉及到相交弦的问题就考虑用相交弦定理，设及到切线和割
线的问题就考虑用切割线定理.
基准3．（辽宁文理科）例如图3，ep交圆于e、c两点，pd切圆于d，g为ce上一
点且pg=pd，相连接dg并缩短交圆于点a，作弦ab横向ep，像距为f.（ⅰ）澄清：ab为圆的直径；（ⅱ）若ac=bd，澄清：ab=ed.【解析】（ⅰ）缩短pd至d'，
pd=pg，
∴∠adp=∠pgd=∠fga，pd为切线，∴∠d'db=∠fag.
∠d'db+∠bda+∠adp=π，∴∠fag+∠bda+∠fga=π，
=π，∴∠bda=
，所以ab为直径.
bd=ac，∴∠bad=∠fag=∠aec，在∆ace中，af⊥eg，
∴∠eac=
⇒∠ead=
，∴ed为直径，∴ab=ed.
【评测】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形全系列等、弦切角定理等科学知识，考查学生推理小说论证能力.
dabc是圆的内接三角形，ðbac例4．（天津文7理6）如图4，
的平分线交圆于点d，交bc于点e，过点b的圆的切线与ad的延长线处设点f.在上
述条件下，得出以下四个结论：①bd平分ðcbf；②fb=fdfa；③ae?ce④af?bd
bede；
abbf.
则所有正确结论的序号是（）
（a）①②（b）③④（c）①②③（d）①②④
【解析】由弦切角定理得?fbd
eacbae，又?bfdafb，所以
dafb，所以
=，即af?bdafab
abbf，排除a、c.
eacdbc，确定b.
【点评】本题背景新颖，考查弦切角定理、三角形的角平分线性质、相交弦定理、切割线定理，考查考生的推理论证能力.
基准5．（2021陕西文理科）例如图5，∆abc中，bc=6，以bc为直径的半圆分别交ab，ac于点e,f，若ac=2ae,则ef=【答案】3.
∴∆aef与【解析】由圆内接四边形对角互补可得∠aef=∠acb，
∆acb相近，∴
efae1==∴ef=3cbac2
（原稿并无答案,麻烦王老师检查）
【点评】考查圆内接四边形的性质，相似三角形的判断及性质.
基准6．（湖南理科）例如图6，未知ab，bc就是o的两条弦，ao⊥
bc=o的半径等于________.
【解析】例如图7，设立线段ao交bc于点d，缩短ao交圆与另外一点
e，因为ao⊥bc且ao
为圆半径，所以
bd=dc=由∆abd的勾股定理可得
ad=1，由双割线定理可以得
bd:dc=ad:de⇒de=2，则直径ae=3⇒r=
,【评测】考查圆的性质、垂径定理、平行弦定理、直角三角形的性质，考查转变与化归的思想，数形融合的思想和方程的思想.
p为例7．（湖北理科）如图8，o外一点，过p点作o
的两条切线，切点分别为a，b，过pa的中点q作割线缴
o于c，d两点，若qc=1，cd=3，则
pb=_____.
【解析】由切割线定理得
qa2=qc⋅qd=1⨯(1+3)=4，所以qa=2，pb=pa=4.
【点评】主要考察切线的性质，切割线定理.
基准8．（重庆理科）过圆外一点p作圆的切线pa（a为切点），再并作割线pb，pc 分别交圆于b，c，若pa=6，ac=8，bc=9，则ab=________.【解析】
δpab与∆pca相似，
papbab6pbab
====，∴，pb=3，pcpacapb+968
∴ab=4.
【点评】考查切割线定理、相似三角形的性质.
基准9．（广东理科）例如图9，在平行四边形abcd中，点e在ab上且eb=2ae，ac 与de处设点f，则【解析】似乎∆cdf
=_______s∆aef
cd2eb+ae2s∆cdf
)=()=9.=(aeaes∆aef
【评测】考查平行四边形的性质，三角形相近的认定、及相近三角形的性质.
2.坐标系与参数方程
+=1，基准1．（全国卷新课标1文理科）未知曲线c：
⎧x=2+t
（t为参数）.
⎧y=2-2t
（ⅰ）写下曲线c的参数方程，直线l的普通方程；
（ⅱ）过曲线c上任意一点p作与直线l夹角为30°的直线，交l于点a，求pa的最大值与最小值.
⎧x=2cosθ【解析】（ⅰ）曲线c的参数方程为：⎧（θ为参数），
y=3sinθ⎧
直线l的普通方程为：2x+y-6=0
（ⅱ）在曲线c上任意取一点p(2cosθ,3sinθ)到l
θ+3sinθ-6，则|pa|=
4dtanα=，其中为锐角．且.=θ+α-6α(
3sin30当sin(θ+α)=-1时，|pa
|当sin(θ+α)=1时，|pa
|.【评测】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，点至直线的距离公式，直角三角形的边角关系，三角函数的有关科学知识.考查学生转变与化归以及运算解能力.
例2．（全国卷新课标2文理科）在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆c的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈⎧0⎧（ⅰ）求半圆c 的参数方程
（ⅱ）设点c在半圆c上，半圆c在d处的切线与直线l
：垂直，根据（ⅰ）中你得到的参数方程，确定d的坐标.
【解析】（ⅰ）c的普通方程为(x-1)+y=1(0≤y≤1)
⎧x=1+cost,
只须c的参数方程为⎧（t为参数，0≤t≤x）.
y=sint,⎧
（ⅱ）设d点座标(1+cost,sint).由（ⅰ）言c就是以g(1,0)为圆心，1为半径的上时半圆.
因为c在点d处的切线与l垂直，所以直线gd与l
的斜率相同，tant=t=
故d的直角坐标为(1+
π3,sin)，即为(.332【评测】考查极坐标方程与直角坐标方程的转变，圆的参数方程及其应用领域，直线与圆的边线关系，考查学生的分析转变能力及运算解能力.
例3．（2021安徽理科）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是⎧
⎧x=t+1,
(t为参数)，圆c
⎧y=t-3
的极坐标方程是ρ=4cosθ,则直线l被圆c截得的弦长为（）（a）（b）2（c）2（d）22【答案】d
【解析】（原稿中并无解析）
【点评】考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程化为普通方程，直线与圆
的位置关系，点到直线的距离公式等知识，考查考生的分析转化能力及运算求解能力.
基准4．（2021北京理科）曲线⎧
⎧x=-1+cosθ
（θ为参数）的对称中心（）
⎧y=2+sinθ
a.在直线y=2x上
b.在直线y=-2x上
c.在直线y=x-1上
d.在直线y=x+1上【答案】b
【解析】（原稿中无解析）
【评测】考查圆的参数方程，圆的对称性.
例5．（2021天津理科）在以o为极点的极坐标系中，圆r=4sinq和直线rsinq=a相
交于a,b两点.若daob是等边三角形，则a的值为___________.
【解析】圆的方程为x+(y-2)=4，直线为y=a.因为daob就是等边三角形，所以其
中一个交点坐标为a)，代入圆的方程可得a=3.【点评】考查极坐标方程与直角坐标
方程的转化，直线与圆的位置关系，在解决有关极坐标的问题时要注意：一、准确使用公式，二、注意方程中的限制条件.另外，要掌握圆、直线、圆锥曲线的参数方程与普通方
程的互化，其中要注意参数的范围.
⎧x=a-2t
l例6．（福建理科）已知直线的参数方程为⎧，（t为参数），圆c的参数方程为
⎧y=-4t⎧x=4cosθ
，（θ为常数）.⎧
⎧y=4sinθ
（ⅰ）求直线l和圆c的普通方程；
（ⅱ）若直线l与圆c存有公共点，谋实数a的值域范围.【解析】（原稿中并无答
案和解析）
【点评】考查直线与圆的参数方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系.
解决问题的关键就是：掌控公式可以转变，特别注意参数的范围，等价转变记心中，
懂技巧赖草应用领域.
例7．（辽宁文理科）将圆x+y=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线c.
（ⅰ）写下c的参数方程；
（ⅱ）设直线l:2x+y-2=0与c的交点为p1，p2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为
极轴建立极坐标系，求过线段pp12的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.【解析】（ⅰ）曲线c的参数方程：⎧
⎧x=cosθ
,θ∈[0,π].
y=2sinθ⎧
（ⅱ）设曲线c上的点p(cosθ,2sinθ)在直线上，则2cosθ+2sinθ-2=0，
)=1即θ=0或.所以，a(1,0)，b(0,2)，ab中点(,1).
所以，垂直ab的中垂线方程是y-1=
(x-)即4y-3=2x.22
所以，所求直线的极坐标方程式2ρcosθ-4ρsinθ+3=0.
【评测】题目立意多样，从图像转换的角度去考查曲线方程，考查椭圆的参数方程，
两直线的边线关系，直线方程的带发修行，直线的直角坐标方程与参数方程的转变等科学
知识.
例8．（陕西文理科）在极坐标系中，点(2,【答案】1
【解析】（原稿中并无解析）
【点评】考查极坐标系的概念，点的极坐标与直角坐标的转化，直线的直角坐标方程
与极坐标方程的转化，点到直线的距离公式.
)至直线ρsin(θ-)=1的距离就是
⎧x=2+cosαπ
基准9．（湖南理科）11.在平面直角坐标系则中，倾斜角为的直线l与曲线c：，⎧
4y=1+sinα⎧
（α为参数）处设a、b两点，且ab=2，以座标原点o为极点，x轴正半轴为极轴创建极坐标系，则直线l的极坐标方程就是________.【答案】ρ(cosθ-sinθ)=1
【解析】利用sinα+cosα=1可得曲线c的普通方程为(x-2)+(y-1)=1，
即为曲线c为直径2r=2的圆，因为弦长|ab|=2=2r，所以圆心在直线l上，又因为直线的斜率为1，所以直线的直角坐标方程为y=x-1，则根据直角坐标与极坐标之间的转变可以得
y=x-1⇒ρsinθ=ρcosθ-1⇒ρ(cosθ-sinθ)=1.故填ρ(cosθ-sinθ)=1
【评测】本题考查圆的参数方程，直线与圆的边线关系，直线的方程带发修行，直线的极坐标方程，考查数形融合的思想、转变与化归的思想.
⎧x=2+⎧
基准10．（湖南文科）12
、在平面直角坐标系中，曲线c:⎧
⎧y=1+⎧⎧
（t为参数）的2
普通方程为___________.【答案】x-y-1=0
⎧x=2+⎧
【解析】阿提斯鲁夫尔谷⎧
⎧y=1⎧⎧
2，消可得x-y=1⇒x-y-1=0，故填上x-y-1=0.
【点评】直接考查直线的参数方程与普通方程的转化，加减消元，较为简单.
基准11．（江西理科）若以直角坐标系则的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴创建极坐标系，则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标为（）a.ρ=
,0≤θ≤b.ρ=,0≤θ≤
cosθ+sinθ2cosθ+sinθ4
c.ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤【答案】a
d.ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤
【解析】qy=1-x(0≤x≤1)∴ρsinθ=1-ρcosθ(0≤ρcosθ≤1)∴ρ=
sinθ+cosθ⎧2⎧
【点评】考查极坐标系的概念，直角坐标方程与极坐标方程的转化，注意变量的取值范围，等价变形是关键.
基准12．（湖北理科）未知曲线c1的参数方程就是⎧t(t为参数)，以座标原点为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程是ρ=2，则c1与c2交点的直角坐标为______.
⎧x=⎧2222
ρ=2【解析】试题分析，
由⎧解出得，由得x=3yx+y=4，x≥0,y≥0t()⎧y=
22⎧⎧x+y=4
求解方程组⎧2得c1与c
2的交点坐标为2
⎧⎧x=3y
【点评】考查参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，两曲线的交点坐标的求法.
基准13．（重庆理科）15.未知直线l的参数方程为⎧
⎧x=2+t
（t为参数），以座标原点为极点，
⎧y=3+t
x轴正半轴为极轴创建极坐标系，曲线c的极坐标方程为
则直线l与曲线c的公共点的极经ρ=________.
ρsin2θ-4cosθ=0(ρ≥0,0≤θ
x=2+t,y=3+t,y-x=1
ρsin2θ-4cosθ=0∴ρ2sin2θ=4ρcosθ⇒y2=4x.
联立y2=4x与y-x=1得y2-4y+4=0⇒y=2∴交点(1,2)
所以，ρ=【评测】考查极坐标系的概念，极坐标方程化成直角坐标方程，两曲线的
交点座标的带发修行.
例14．（广东理科）14.在极坐标系中，曲线c1和c2的方程分别为ρsin
θ=cosθ和
以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，
ρsinθ=1，
则曲线c1和c2的交点的直角坐标为【答案】(1,1)
【解析】c1即(ρsinθ)=ρcosθ，∴其直角坐标方程为：y=x，c2的直角坐标方程为：y=1，∴c1与c2的交点的直角坐标为(1,1).
【评测】考查极坐标系的概念，极坐标方程化成直角坐标方程，两曲线的交点座标的带发修行.
例15．（2021上海理科）7、已知曲线c的极坐标方程为ρ(3cosθ-4sinθ)=1，则
c与极轴的交点到极点的距离是.
【解析】距离就是
ρ(3cosθ-4sinθ)=1∴3x-4y=1交于点(,0).∴c与极轴的交点到极点的
【评测】考查极坐标系的概念，极坐标方程化成直角坐标方程，交点座标的带发修行.
3.不等式选讲
基准1．（全国卷新课标i文理科）24、若a>0,b>
0，且（ⅰ）求a+b的最小值；
（ⅱ）与否存有a,b，使2a+3b=6,并表明理由.
【解析】（ⅰ）
11+≥，得ab≥
2，且当a=b=
ab故a3+b3≥=
，且当a=b=时等号成立，∴a+
b的最小值为
（ⅱ）由6=2a+3b≥ab≤
，又由(ⅰ)言ab≥2，二者矛盾，所以不存有2
a,b，使得2a+3b=6成立.
【评测】考查不等式的基础知识及利用均值不等式谋最值，考查学生推理小说论证能力、转变与化归能力.
例2．（2021全国卷新课标ii文理科）24、设函数（fx）=x+（ⅰ）证明：f(x)≥2
（ⅱ）若f(3)
+x-a,(a>0)a
【解析】（ⅰ）由a>0，存有f(x)=x+所以f(x)≥2.
+x-a≥x+-(x-a)=+a≥2.aaa
（ⅱ）f(3)=|3+
|+|3-a|a
1，由f(3)
当a>3时，f(3)=a+
的值域范围就是(
1+5.22
【评测】考查绝对值三角不等式与均值不等式的应用领域，考查不含绝对值的不等式的数学分析，考查学生运算解能力及分类探讨的思想.
例3．（2021全国卷大纲2文科）3.不等式组⎧
⎧x(x+2)>0
的解集为（）
a．{x|-21}
⎧x(x+2)>0⎧x>0或x
【评测】考查不含绝对值的不等式的数学分析，属难题.
例4．（2021山东理科）（2）设集合a={x||x-1|
ab=()
（a）[0,2]（b）(1,3)（c）[1,3)（d）(1,4)【答案】c【解析】
a={x|-1
【点评】考查含绝对值的不等式的解法.
基准5．（安徽文理科）（9）若函数f(x)=x+1+2x+a的最小值为3，则实数a的值（）（a）5或8（b）-1或5（c）-1或-4（d）-4或8
【解析】（原稿中无解析）
【评测】考查不含绝对值的不等式的数学分析.
*例6．（安徽理科）（21）设实数c>0，整数p>1，n∈n.
（ⅰ）证明：当x>-1且x≠0时，(1+x)p>1+px；（ⅱ）数列{an}满足用户a1>c，
an+1
p-1c-p
，证明：an>an+1>cp.=an+a1n
【解析】（ⅰ）证：用数学归纳法证明
①当p=2时，(1+x)2=1+2x+x2>1+2x，原不等式设立.②假设p=k(k≥2,k∈n*)时，不
等式(1+x)k>1+kx设立，当p=k+1时，
(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x．
所以p=k+1时，原不等式也设立.
综合①②可得，当x>-1,x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1+x)>1+px均成立.
（ⅱ）证法1：先用数学归纳法证明an>c.①当n=1时，由题设a1>c言an>c设立.
②假设n=k（k≥1,k∈n）时，不等式ak>c成立.
由an+1=
p-1c-p
an+a1易知，an>0,n∈n*.npp
当n=k+1时，
ak+1p-1c-p1c
=+ak=1+(p-1).akpppak
由ak>c
由（ⅰ）中的结论得，
ak+1p1c1cc
)=[1+(p-1)]p>1+p⋅(p-1)=p．akpakpakak
因此akp+1>c，即ak+1>c.
所以n=k+1时，不等式an>c也成立.
综合①、②可以得，对一切正整数n，不等式an>c均设立.再由
an+1a1c
=1+(p-1)只须n+1ananpan
综上所述，an>an+1>c,n∈n*.
证法2：设f(x)=x+x1-p,x≥cp，则xp≥c，并且
ppp-1cp-1c
f(x)=+(1-p)x-p=(1-p)>0,x>cp.
pppx
由此可以得，f(x)在[c,+∞)上单调递减，因而，当x>c时，f(x)>f(c)=c.①当n=1时，由a1>c
>0，即a1p>c可知
p-1c1-p1ca2=a1+a1=a1[1+(p-1)]cp，
pppa1
从而a1>a2>c.
故当n=1时，不等式an>an+1>c成立.
②假设n=k（k≥1,k∈n）时，不等式ak>ak+1>c设立，则
当n=k+1时，f(ak)>f(ak+1)>f(c)，即有ak+1>ak+2>c.所以，n=k+1时，原不等式也成立.
综合①②可以得，对一切正整数n，不等式an>an+1>c均设立．
【点评】本题为数列与不等式的综合问题，主要考查数列递推公式、数列迭代、数学归纳法、不等式的性质等知识，考查用放缩法、数学归纳法、导数的性质来证明不等式.考查考生推理运算求解、综合分析问题的能力；熟练运用数学归纳法，推理证明是解题的关键；本题背
景常规，抓起较宽，深入细致较难，两小题关联精妙，也可以运用导数工具，构造函数去展开解.第一问实质上就是证明贝不懈努力不等式，就是人教社b版4—5教材中的例题，因此在自学备考的过程中要特别注意教材的采用.
例7．（浙江理科）10、设函数f1(x)=x2，f2(x)=2(x-x2),f3(x)=
|sin2πx|，3
,i=0,1,2,,99，99
记ik=|fk(a1)-fk(a0)|+|fk(a2)-fk(a1)|++|fk(a99)-fk(a98)|，
k=1,2,3.则()
【解析】（原稿中并无解析）
【点评】考查绝对值函数求和，比较大小问题.
基准8．（福建理科）21.（3）未知定义在r上的函数f(x)=x++x-2的最小值为a.（ⅰ）谋a的值；
q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3.（ⅱ）若p，
【解析】（原稿中并无解析）
【点评】绝对值不等式，柯西不等式的基础知识，考查考生的运算求解能力，化归与转化的数学思想方法.
基准9．（2021辽宁理科）12.未知定义在[0,1]上的函数f(x)满足用户：
①f(0)=f(1)=0；
②对所有x,y∈[0,1]，且x≠y，有|f(x)-f(y)|
|x-y|.2
若对所有x,y∈[0,1]，|f(x)-f(y)|
b．c．d．
【解析】数形结合法.据题可知，y=f(x)的图像只能在由4个顶点(0,0)，(,)，(1,0)，
(-,-)共同组成的平行四边形区域内（不不含边界）.具体内容说道，可以只在x轴上方，或只在x轴24
下方，或在x轴上下方都有3中情况.前两种情况容易判断|f(x)-f(y)|
对第3种情况，若有点p1(x1,y1)在平行四边形内，则不能存有p2(x2,-y1)也在平行
四边形内.∴|f(x)-f(y)|
，即k≥.选b.
【评测】考查绝对值不等式，考查分类探讨的思想.
例10．（2021辽宁文理科）24.设函数f(x)=2|x-1|+x-1，g(x)=16x2-8x+1，记
f(x)≤1的边值问题为m，g(x)≤4的边值问题为n.
（ⅰ）求m；（ⅱ）当x∈m
n时，证明：x2f(x)+x[f(x)]2≤
【解析】（ⅰ）f(x)=2|x-1|+x-1.当x≥1时，解得1≤x≤
44∴f(x)≤1的边值问题为[0,].所以，m={x|0≤x≤.
（ⅱ）g(x)=16x-8x+1≤4,解得-≤x≤
m=[0,]，n=[-,]，m⋂n=[0,]
x2f(x)+x[f(x)]2=x2[2(1-x)+(x-1)]+x(1-x)2
x2(1-x)+x(1-x)2=x2-x3+x(1-2x+x2)=x-x2=x(1-x)≤(1-)=
∴x2f(x)+x[f(x)]2≤，x∈[0,].
【评测】考查绝对值不等式与一元二次不等式的数学分析，二次函数分体式方法等基
本知识.不等式证明的基本方法.考查分类探讨的思想和转变与化归的思想，考查分析问题，解决问题的能力.
例11．（陕西文理科）15.设a,b,m,n∈r，且a+b=5，ma+nb=
5的最小值为.
【解析】由柯西不等式可得：(a2+b2)(m2+n2)≥(ma+
【评测】考查柯西不等式及不等式的基本性质.
例12．（湖南理科）13、若关于x的不等式ax-2
【解析】因为等式|ax-2|
|-a-2|=3⎧⎧3
⇒a=-3，故填上-3.的木，即为⎧
1⎧|a-2|=3⎧⎧3
【考点定位】绝对值不等式，绝对值方程.
【点评】考查绝对值不等式的解法及转化与化归的思想.
基准13．（湖南文科）21.未知函数（ⅰ）谋
f(x)=xcosx-sinx+1(x>0).
f(x)的单调区间；
（ⅱ）记xi为有
f(x)的从小到大的第i(i∈n*)个零点，证明：对一切n∈n*，
11++22x1x2
【解析】（ⅰ）函数f(x)微分只须f(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx(x>0)，
令f(x)=0可得x=kπ(k∈n)，当x∈(2kπ,(2k+1)π)(k∈n)时，sinx>0.此时f(x)0，故函数f(x)的单调递增区间为(2kπ,(2k+1)π)(k∈n)，
单调递增区间为((2k+1)π,(2k+2)π)(k∈n*).
（ⅱ）由（ⅰ）所述函数f(x)在区间(0,π)上单调递增，又f()=0，所以x1=
当n∈n时，因为f(nπ)f((n+1)π)=[(-1)nnπ+1][(-1)n+1(n+1)]
(nπ,(n+1)π)上就是单调的，故nπ
x12π23
当n=2时，
x1x2π3
当n≥3时，
111+++222x1x2x3
111+++222x1x2x3111+++222x1x2x3
++22x1x2
(n-2)(n-1)+(
111162-)]=2(6-)
综上所述，对一切的n∈n*，都存有
【考点定位】导数单调性放缩法裂项求和
【评测】在科学知识的交汇处出题，著重学科间的综合，考查学生分析问题、解决问题的能力.本题以三角函数为载体，考查函数的单调区间，导数、函数的零点以及不等式的证明，利用数形融合的思想、函数与方程的思想以及转变与化归的思想解函数的综合问题.
例14．（2021江西理科）11(1).对任意x,y∈r,x-+x+y-1+y+1的最小值为（）
a.1
b.2
c.3
d.4【答案】c.
【解析】|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1≥|x-1-x|+|y-1-(y+1)|=1+2=3【评测】考查绝对值不等式，考查学生转变与化归的能力.
例15．（2021江西文科）15.x，y∈r，若x+y+x-+y-≤2，则x+y的取值范围为
__________.【答案】0≤x+y≤2
【解析】x+x-≥1且y+y-≥1要使x+x-+y+y-1≤2就可以x+x-+y+y-=2x+x-=1y+y-
=1∴0≤x≤10≤y≤1∴0≤x+y≤2
【点评】文理科姊妹题，同样的考查内容，体现对文理科学生不同的要求立意.
基准16．（2021重庆理科）16、若不等式|2x-1|+|x+2|≥a+则实数a的值域范围就是____________.【答案】[-1,]
a+2对任意实数x恒成立，2
1115|+|x-|+|x+2|存有最小值f()=2222
∴f(x)≥a2+a+2恒成立，即≥a2+a+2，即0≥2a2+a-1，
Champsaura∈[-1,]
由数轴可知，f(x)=|x-
【评测】考查绝对值不等式的性质及绝对值不等式的数学分析，和恒设立问题，考查转变与化归的思想.
例17．（2021广东理科）9.不等式x-+x+2≥5的解集为.【答案】
(-∞,-3][2,+∞)
【解析】数轴上到1与-2距离之和为5的数为-3和2，故该不等式的解集为：
(-∞,-3][2,+∞)
【点评】考查绝对值不等式的解法.
基准18.（2021江苏）21未知x>0，y>0，证明：(1+x+y)(1+x+y)≥9xy
【解析】证明：因为x>0，y>0，
22所以1+x+y≥>
0，1+x+y≥>0，
22故(1+x+y)(1+x+y)≥xy.
【点评】主要考查均值不等式及不等式的基本性质.
4.矩阵与转换
例1．（福建理科）21.已知矩阵a的逆矩阵a-1=1
⎧（ⅰ）谋矩阵a；
（ⅱ）求矩阵a的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.【解析】（原稿中无解析）
⎧2⎧⎧-12⎧⎧11⎧
例2.已知矩阵a=⎧向量a=⎧⎧，x，y为实数．若aa=ba，⎧，b=⎧2-1⎧，
y1x⎧⎧⎧⎧⎧⎧
求x+y的值．
【解析】[报读4-2：矩阵与转换]
本小题主要考察矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.
⎧-12⎧⎧2⎧⎧-2+2y⎧⎧11⎧⎧2⎧⎧2+y⎧
解：由已知，得aα=⎧⎧⎧y⎧=⎧2+xy⎧，bα=⎧2-1⎧⎧y⎧=⎧4-y⎧.
1x⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧
1⎧⎧-2+2y⎧⎧2+y⎧⎧-2+2y=2+y⎧x=-
因为aα=bα，所以⎧，故⎧，Champsaur⎧=⎧2，⎧⎧
⎧2+xy⎧⎧4-y⎧⎧2+xy=4-y⎧⎧y=4
所以x+y=
【点评】主要考查矩阵及其逆矩阵的关系，矩阵的特征值及特征向量.
5.其他内容装饰其中...
例：陕西卷欧拉公式，上海卷数列与极限例1．（2021天津文20理19）（本小题满分14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合m={0,1,2,
,q-1}，子集
a={xx=x1+x2q++xnqn-1,xi?m,i1,2,,n}.
（ⅰ）当q=2，n=3时，用列出法则表示子集a；
（ⅱ）设s,tîa，s=a1+a2q+其中ai,biîm，i=1,2,+anqn-1，t=b1+b2q++bnqn-1，,n.证明：若an
【解析】本小题主要考查子集的含义和则表示，等比数列的前n项和公式，不等式的证明等基础知识和基本方法.考查运算能力、分析问题和解决问题的能力.满分14分后.
n=3时，（ⅰ）解：当q=2，m={0,1}，a={xx=x1+2x2+4x3,xi?m,i
可以得，a={0,1,2,3,4,5,6,7}.
（ⅱ）证明：由s,tîa，s=a1+a2q+1,2,3}.+anqn-1，t=b1+b2q++bnqn-1，ai,biîm，i=1,2,,n及an
s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+
=+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-11)+(q-1)q++(q-1)qn-2-qn-1(q-1)(1-qn-1)
1-q-qn-1=-1
【点评】考查集合及其表示方法，数列求和以及不等式的证明方法，考查基本运算能力、推理论证及分析问题、解决问题的能力.
基准2．（2021陕西理科）14.观测分析下表中的数据：
猜想一般凸多面体中，f，v，e所满足的等式是_________.
【解析】（原稿中并无解析）
【点评】考查归纳推理，其结论就是选修中的欧拉公式.
基准3．（2021上海理科）8、设立无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=lim(a3+a4+)，则n→∞q=
【答案】12
q≠1，a1=lim(a3+a4+a5+n
→∞【解析】a3a1q21-qn-2
+an)=lim(a3)==n→∞
1-q1-q1-q
∴q2+q-1=0，Champsaurq=>1，或q=（舍弃）
【点评】考查数列求和与数列的极限.。