浙江省五校高三下学期5月联考数学试题(解析版)

浙江省五校高三下学期5月联考数学试题
一、单项选择题
1．全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，那么U
A
〔 〕
A ．∅
B ．{}1,3
C ．{}2,4,5
D ．{}1,2,3,4,5
【答案】C
【分析】根据补集的定义可得结果.
【详解】因为全集{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =，所以根据补集的定义得{}2,4,5U
A =，
应选C.
【点睛】假设集合的元素，那么求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．
2．a ∈R ，复数()
2
32(1)i z a a a =-++-〔i 为虚数〕是纯虚数，那么复数
12
z +的虚部是〔 〕 A ．13
-
B ．15
-
C ．1i 3
-
D ．1i 5
-
【答案】B
【分析】由纯虚数的概念可得a 的值，计算
1
2
z +即可得结果. 【详解】因为()
()2
321z a a a i =-++-是纯虚数，
所以232010a a a ⎧-+=⎨-≠⎩
，解得2a =，即z
i ，
()()122122255i i z i i -==-++-，其虚部为15
-， 应选：B.
3．假设,x y 满足线性约束条件1
10x y x y x +⎧⎪
-⎨⎪⎩
，那么2z x y =+的最小值是〔 〕
A ．0
B ．1
C ．2
D ．1-
【答案】B
【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析得解.
【详解】,x y 满足约束条件110x y x y x +⎧⎪
-⎨⎪⎩
的平面区域如以下图所示：
由2z x y =+得2y x z =-+，它表示斜率为2-纵截距为z 的平行直线系，
平移直线2y x =-，由图易得，当0,1x y ==时，即经过A 点时，直线的纵截距最小， 目标函数2z x y =+的最小值1． 应选：B ．
【点睛】方法点睛：线性规划问题解题步骤如下：〔1〕根据题意，设出变量,x y ；〔2〕列出线性约束条件；〔3〕确定线性目标函数(,)z f x y =；〔4〕画出可行域〔即各约束条件所示区域的公共区域〕；〔5〕利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数)；〔6〕观察图形，找到直线()(y f x z =为参数)在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.
4．a ，b ∈R ，那么“a b >〞是“122a b +>〞的〔 〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【详解】略
5．函数2
ln ||
()x f x x x
=+
的图象大致是〔 〕
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【分析】根据函数的解析式，结合二次函数与对数的性质，利用排除法，即可求解.
【详解】由题意，函数2
ln ||
()x f x x x
=+
， 当x →+∞时，可得()f x →+∞，可排除B 项； 当x →-∞时，可得()f x →+∞，可排除C 项；
当1x e =-时，可得2
11
()0f e e e -=+>，可排除D 项， 应选：A.
6．实数x ，y 满足2244x y +=，那么xy 的最小值是〔 〕 A ．2- B ．3-C ．2-D ．1-
【答案】D
【分析】运用三角代换法，结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可.
【详解】由2
2
2
24414x x y y +=⇒+=，令2cos sin x y θθ=⎧⎨
=⎩
， 因此2cos sin sin 2xy θθθ==，因为1sin 21θ-≤≤，所以11xy -≤≤， 因此xy 的最小值是1-， 应选：D
7．不全相等的实数a ，b ，c 成等比数列，那么一定不可能．．．是等差数列的为〔 〕 A ．a ，c ，b
B ．2a ，2b ，2c
C ．||a ，||b ，||c
D ．
1
a ，1
b ，1c
【答案】D
【分析】根据等比数列的性质，结合等差数列的性质逐一判断即可. 【详解】因为不全相等的实数a ，b ，c 成等比数列，
所以该等比数列的公比1q ≠，显然有0,0a q ≠≠，2,b aq c aq ==， A ：假设a ，c ，b 成等差数列，显然2c a b =+成立，即22aq a aq =+， 化简为2210q q --=，解得1
2
q =-，或1q =〔舍去〕，所以假设成立，故a ，c ，b 有可能是等差数列；
B ：假设2a ，2b ，2c 成等差数列，显然2222b a c =+成立，即222244a q a a q =+，
化简为：42410q q -+=，解得：22q =显然q =q =所以假设成立，故2a ，2b ，2c 有可能成等差数列；
C ：假设||a ，||b ，||c 成等差数列，显然2||b a c =+，即2
2aq a aq =+，
化简为：2
210q q -+=，解得1q =，因为1q ≠，所以1q =-，因此假设成立， 故||a ，||b ，||c 有可能 成等差数列；
D ：假设
1
a ，1
b ，1
c 成等差数列，显然1112b a c
⋅=+，即21112aq a aq ⋅
=+， 化简为：2210q q -+=，解得1q =，而1q ≠，因此假设不成立，故1
a ，1
b ，1c
一定不可能成等差数列， 应选：D
8．甲、乙、丙、丁、戊5个人分到,,A B C 三个班，要求每班至少一人，那么甲不在A 班的分法种数有〔 〕 A ．160 B ．112 C ．100 D ．86
【答案】C
【分析】根据甲自己去一个班、甲和其他四人中一人去一个班，甲和其他四人中二人去一个班进行分类讨论进行求解即可. 【详解】根据题意有以下三类情况：
1、甲单独去一个班，那么有1
22C =种方法，剩下四人就分两组去剩下的二个班，
〔1〕每班都有2人，那么有224243
162
C C ⨯⋅=
⨯=种方法；
〔2〕一班1人，一班3人，那么有32
424218C A ⋅=⨯⨯=种方法，
因此甲单独去一个班，共有2(68)28⨯+=种方法；
2、甲和剩下4人中其中一人去一个班，那么有11
42428C C ⋅=⨯=种方法，剩下的3人，
分两组分别去剩下的2个班，那么有22
323216C A ⋅=⨯⨯=种方法，因此甲和剩下4人中其中一人去一个班，共有4868=⨯种方法；
3、甲和剩下4人中其中二人去一个班，那么有214243
2122
C C ⨯⋅=
⨯=种方法，因此剩下的2人去剩下的2个班，共有2
2212A =⨯=种方法，所以甲和剩下4人中其中二人去一个班共有12224⨯=，
所以甲不在A 班的分法种数有284824100++=种方法， 应选：C
9．三棱锥A BCD -的所有棱长均为2，E 为BD 的中点，空间中的动点P 满足
PA PE ⊥，PC AB ⊥，那么动点P 的轨迹长度为〔 〕
A ．
1116
π
B
．
8
C
．
2
D
【答案】C
【分析】将正四面体A BCD -放入正方体，建立空间直角坐标系，求得P 点满足的方程，判断出P 点的轨迹为圆，求得圆的半径，由此计算出圆的周长也即P 的轨迹长度. 【详解】正四面体A BCD -
标系如以下图，
)(,,22E C B ⎛ ⎝，设(),,P x y z ，
()22,,2,,,22PE x y
z AP x y z ⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭
，(
)
2,PC x y z =-
.
由于PA PE ⊥，
PC AB ⊥，所以00AP
PE PC AB ⎧⋅=⎨
⋅=⎩
，
即)
)
2
20x x y y z z y ⎧⎛⎫⎛⎫
-+-+=⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨=，
即22222202220x x y y z z y z ⎧-+-+-=⎪⎨⎪+-=⎩
， 即222
2223442420
x y z y z ⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪+-=⎪⎩， 222
2223
4424
x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
表示球心为222,,442⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，半径为3
2
R =
的球. 20y z +-=表示垂直于yAz 平面的一个平面.
所以P 的轨迹是上述平面截球面所得圆.
球心222,,442⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
到平面20y z +-=的距离为22222142411d +-==+， 所以截得的圆的半径223111
4164
r R d =
-=
-=
， 所以截得的圆，也即P 点的轨迹的长度为1111
2242
r πππ=⨯=. 应选：C
【点睛】空间中求动点轨迹长度，可考虑采用坐标法求得动点轨迹方程，结合轨迹方程求得轨迹的长度.
10．双曲线22
22:1(0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是双曲线C 上
的一点，且Q ⎫⎪⎪⎝⎭
满足16F PQ π∠=，22F PQ π
∠=，那么双曲线C 的离心率为〔 〕
A ．
2
B ．
2
C ．
5
D ．
5
【答案】D
【分析】设2PF t =，得到12PF t a =+，在12F PF △中，由余弦定理求得
2
2
364t at b +=，
再根据222
2
22133(2)4444
c c PQ t a t t =++-=-，化简求得52t a =，代入上式，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】如以下图，点(,0)2c Q ，所以22
c QF =， 设2PF t =，那么12PF t a =+， 因为16
F PQ π
∠=
，22
F PQ π
∠=
，可得1223
F PF π∠=
， 在12F PF △中，由余弦定理可得22212(2)41
2(2s )c 2
o t t a c F PF t t a ++-∠=
=-+， 即2222442t at b t at +-=--，即22364t at b +=，
又由222
2
22133(2)4444
c c PQ t a t t =++-=-，
即2222244434t at a c c t ++-=-，即22284440t at a c ++-=， 即222284444t at c a b +=-=，
所以228436t at t at +=+，可得252t at =，即52t a =， 将52t a =代入22364t at b +=，可得2272425a b =，即22272
4425
a c a =-，
可得c e a =
=
. 应选：D.
【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
1、定义法：通过条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；
2、齐次式法：由条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；
3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
二、填空题
11．626
0126(1)(1)(1)x a a x a x a x =+++++⋅⋅⋅++，那么2a =______，
126a a a ++⋅⋅⋅+=______.
【答案】15 1-
【分析】空一：根据二项式的通项公式进行求解即可； 空二：利用赋值法进行求解即可.
【详解】空一：因为66[(1)1]x x =+-，所以该二项式的通项公式为：
616(1)(1)r
r r r T C x -+=⋅+⋅-，
令624r r -=⇒=，所以44226665
(1)152
a C C ⨯=⋅-==
=； 空二：在626
0126(1)(1)(1)x a a x a x a x =+++++⋅⋅⋅++中，
令0x =，所以01260a a a a =+++⋅⋅⋅+，
令1x =-，所以01a =，因此1261a a a ++⋅⋅⋅+=-， 故答案为：15；1-
12．函数()3sin cos f x x a x =+，0,3x π⎛⎤
∈ ⎥⎝
⎦
的最小值为a ，那么实数a 所有取值组成的集合为______. 【答案】{3}
【分析】由函数()f x 的最小值可能是或
322
a
+，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，函数()cos f x x a x =+，0,3x π⎛⎤
∈ ⎥⎝
⎦
的最小值为a ，
可得3()3
22
a
f a π
=
+≥，可得3a ≤，
又由函数()cos f x x a x =+的最小值可能是或322
a +，
假设a =，此时方程无解； 当
322
a
a +=时，解得3a =， 所以实数a 所有取值组成的集合为{}3. 故答案为：{}3.
13．设a ，b 为向量，那么3a b a b ++-的最大值是________
【分析】用坐标表示a ，b ，化简3a b a b ++-，利用柯西不等式求得最大值. 【详解】依题意a ，b 为向量，设()()cos ,sin ,cos ,sin a b ααββ==，
()1cos 1αβ-≤-≤
那么3a b a b ++-
=
=
=
≤
==，
=()1cos 3αβ-=-时等号
成立.
【点睛】有关向量模的运算，可考虑利用模的坐标运算去解决.
14．0a >，设函数2(22),(02)
(),(2)
x a x x a f x ax x a ⎧-++<<+=⎨≥+⎩，存在0x 满足
()()00f f x x =，且()00f x x ≠，那么a 的取值范围是______.
1a ≤< 【分析】求得()2x ax a y =≥+关于y x =对称所得函数的解析式，通过构造函数，结合零点存在性列不等式，由此求得a 的取值范围. 【详解】由于()f x 存在0x 满足()()0
f
f x x
=，且()00f x x ≠，所以()f x 图象上存
在关于y x =对称的两个不同的点.
对于()()
2,2y ax x a y a a =≥+≥+，交换,x y 得x ay =， 即()()1
2,2y x x a a y a a
=
≥+≥+， 构造函数()()2
2111222222g x x a x x x a x x x a a a a ⎛⎫⎛
⎫=-++-
=-++-=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭〔()22a a x a +≤<+〕，所以()g x 的零点1
22a a
+-
满足()1
2222a a a a a
+≤+-
<+， 由1222a a a +-<+得()()21111001a a a a a a a a
+---==<⇒<<， 由()1
222a a a a
+≤+-
得3210a a -+≤，即()()()()3
1111a
a a a a a a --+=+---
()()()21110a a a a a a ⎛=+--=-≤ ⎝⎭⎝⎭
，
由于01a <<，所以解得
1
12
a ≤<.
故答案为：
1
12
a ≤< 【点睛】此题解题关键是()2x ax a y =≥+关于y x =对称的图象与
()()22202y x a x x a =-++<<+有交点.
三、双空题
15．某三棱柱的三视图如以下图，那么该三棱柱的体积为______，外表积为______.
【答案】1 55+
【分析】根据给定的几何体的三视图，得到该几何体为一个直三棱柱，其中底面ABC 为直角三角形，且12,1,1AC BC AA ===，结合体积和外表积公式，即可求解. 【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图，可得该几何体为一个直三棱柱，如以下图，
其中12,1,1AC BC AA ===，且底面ABC 为直角三角形，
所以该直三棱柱的体积为1
21112V =⨯⨯⨯=， 外表积为：1
2221(125)1552
S S S =+=⨯⨯⨯+++⨯=+侧底.
故答案为：1；55+.
16．直线:l y kx =与圆22:(2)1C x y -+=，假设1
3
k =
，直线l 与圆相交于A ，B 两点，那么AB =______，假设直线l 与圆相切，那么实数k =______.
215 3
【分析】空一：利用圆的垂径定理，结合勾股定理、点到直线距离公式进行求解即可； 空二：根据圆的切线性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】空一：圆22:(2)1C x y -+=的圆心坐标(2,0)C ，半径为1，
当13k =时，1
303y x x y =⇒-=，(2,0)C
=
所以AB ==
空二：因为直线l 与圆相切，所以(2,0)C 到直线:l y kx =的距离等于1，
1k =⇒=
；17．某同学在上学路要经过两个红绿灯十字路口，他在第一个十字路口遇到红灯的概率为
1
2
，假设他在第一个十字路口遇到红灯，那么在第二个十字路口遇到红灯的概率为13；假设他在第一个十字路口遇到绿灯，那么在第二个十字路口遇到红灯的概率为23
.记他在上学路上遇到红灯的次数为ξ，那么(0)ξ==P ______，ξ的数学期望为______. 【答案】
1
6
1 【分析】空一：根据积事件的公式进行求解即可；
空二：由题意可知：ξ的可能取值为0，1，2，分别求出每种可能取值的概率，最后利用数学期望的公式进行求解即可.
【详解】空一：12111
(0)(1)(1)23236
P ξ==-⋅-=⨯=；
空二：1(0)6P ξ==
，12122(1)(1)23233P ξ==⨯+-⨯=，111
(2)236
P ξ==⨯=， 所以ξ的数学期望为121
0121636
E ξ=⨯+⨯+⨯=， 故答案为：
1
6
；1
四、解答题
18．设常数k ∈R
，()cos2cos f x k x x x =+. 〔Ⅰ〕假设()f x 是奇函数，求k 的值及()f x 的单调递增区间；
〔Ⅱ〕设1k =，ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，b .假设()1f A =，且ABC 的面积S abc =，求ABC 周长的取值范围.
【答案】〔Ⅰ〕0k =，,4
4k k π
πππ⎡
⎤
-
+
⎢⎥⎣
⎦，k Z ∈；〔Ⅱ〕⎝⎦. 【分析】〔Ⅰ〕根据奇函数的性质，结合正弦型函数的单调性进行求解即可； 〔Ⅱ〕根据辅助角公式，结合特殊角的正弦函数值、三角形面积公式、正弦定理、正弦型函数的性质进行求解即可.
【详解】〔Ⅰ〕由题意知，(0)0f k ==，得0k =， 下面对0k =进行检验：
假设0k =，那么，()cos 2f x x x x =，
对任意x ∈R 都有()2)2()f x x x f x -=-==-，
()f x ∴是奇函数，0k ∴=.
又因为()f x x =，由2222
2
k x k π
π
ππ-≤≤+
，k Z ∈，
所以得4
4
k x k π
π
ππ-
≤≤+
，k Z ∈
()f x ∴的单调递增区间为,44k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦，k Z ∈.
〔Ⅱ〕当1k =时()cos 222sin 26f x x x x π⎛
⎫
==+
⎪⎝
⎭
， ()2sin 216f A A π⎛
⎫∴=+= ⎪⎝⎭；得1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝
⎭
(0,)A π∈，132,666⎛⎫∴+
∈ ⎪
⎝⎭
A π
ππ，3A π∴= 由1
sin 2sin 2sin ,2sin 2
S abc bc A a A b B c C ==
⇒=∴==， ABC ∴的周长为：
112(sin sin sin )[sin sin()]223a b c A B C B B π++=++=+-+
11(sin sin )22B B B =+++
13(cos sin )2224B B =++
)6B π=
+
251(0,
)(,)sin()(,1]366662
B B B πππππ∈⇒+∈⇒+∈ AB
C ∴的周长的取值范围为333,24⎛⎤
⎥ ⎝⎦
.
19．如图，四边形ABCD 中，满足//AB CD ，90ABC ∠=︒，1AB =，3BC =，2CD =，将BAC 沿AC 翻折至PAC △，使得2PD =.
〔Ⅰ〕求证：平面PAC ⊥平面ACD ； 〔Ⅱ〕求直线CD 与平面PAD 所成角的正弦值. 【答案】〔Ⅰ〕证明见解析；〔Ⅱ15
【分析】〔Ⅰ〕过B 作BO AC ⊥，垂足为O ，连PO ，DO ，作DE AC ⊥，垂足为E ，易得PO AC ⊥，通过勾股定理可得PO OD ⊥，即可得PO ⊥平面ACD ，进而可得结果；
〔Ⅱ〕建立如以下图的空间直角坐标系，平面PAD 的法向量，利用向量法即可得结果. 【详解】〔Ⅰ〕过B 作BO AC ⊥，垂足为O ，连PO ，DO ，那么PO AC ⊥， 作DE AC ⊥，垂足为E ，那么3DE =12OE =，13
DO =
所以222PO DO PD +=，即PO OD ⊥ 又AC DO O ⋂=，所以PO ⊥平面ACD ， 又PO ⊂平面PAC ， 所以平面PAC ⊥平面ACD ；
〔Ⅱ〕以O 为坐标原点，OC ，BO 所在的直线为x ，y 轴建立空间直角坐标系
那么1,0,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,0,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,3,02D ⎛⎫
⎪⎝⎭，30,0,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭， ()
1,3,0AD =，13,0,22AP ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
设平面PAD 的法向量为(,,)n a b c =，那么13
02230AP n a c AD n a b ⎧⋅=+
=⎪⎨
⎪⋅=+=⎩
取法向量(
)
3,1,1n =
--，()
1,3,0CD =-
设直线CD 与平面PAD 所成角为θ， 那么15sin cos ,5
CD n θ=<>=
.
20．数列{}n a ，{}n b 中，11a =，12b =，1
12(1)n n n n a a b ++=++-，
11(1)n n n n b a b ++=++-，*n N ∈.
〔Ⅰ〕证明{}
(1)n
n n a b +--是等比数列，并求{}n a 的通项公式；
〔Ⅱ〕设2log n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前2n 项和2n S .
【答案】〔Ⅰ〕证明见解析，2(1)n
n
n a =+-；〔Ⅱ〕21
2(21)22n n S n n +=-++.
【分析】〔Ⅰ〕根据递推关系，结合等比数列的定义进行求解即可； 〔Ⅱ〕利用分组求和的方法，结合错位相减法进行求解即可.
【详解】〔Ⅰ〕
112(1)n n n n a a b ++=++-，11(1)n n n n b a b ++=++-，
()11123(1)n n n n n a b a b +++∴+=++-
()111(1)2(1)n n n n n n a b a b +++∴+--=+--，且11(1)4a b +--=
所以{}
(1)n
n n a b +--是等比数列.
11(1)4a b +--=，1(1)2n n n n a b +∴+--=，即12(1)n n n n a b ++=+-
又
112(1)n n n n a a b ++=++-，1112(1)n n n a +++∴=+-，
又11a =，故2(1)n n
n a =+-，2n n b =.
〔Ⅱ〕因为2(1)n n
n c n n =+-，
记232212223222n
n T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯
那么23421
2212223222n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯
两式相减，得2
21
122(12)22222
2212
n n n n n T n n ++--=++
+-⋅=-⋅-
212(21)22n n T n +=-+.
设1
2212
2(1)1(1)2(1)(21)(1)2n n n M n n n -=-+-⋅++--+-⋅⋅⋅=，
所以21
2(21)2
2n n S n n +=-++.
21．如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b
+=>>与抛物线2
2:4C y x =共焦点F ，且椭圆的
离心率为
1
2
.
〔Ⅰ〕求椭圆1C 的方程；
〔Ⅱ〕假设点P 在射线4(2)x y =≥上运动，点A ，B 为椭圆1C 上的两个动点，满足
//AB OP ，且Q 为AB 的中点，连接PF 交抛物线2C 于G 、H 两点，连接OQ 交椭圆
1C 与M 、N 两点，求四边形MGNH 面积的取值范围.
【答案】〔Ⅰ〕22
143x y +=；〔Ⅱ
〕⎛ ⎝⎦
. 【分析】〔Ⅰ〕根据椭圆与抛物线共焦点求出c ，根据椭圆的离心率求出a ，根据
222b a c =-求出2b ，那么可得椭圆的方程；
〔Ⅱ〕利用点差法求出OQ 的斜率，联立直线OQ 与椭圆方程，由弦长公式求出||MN ，联立直线PF 与椭圆方程，由弦长公式求出||GH ，根据OQ PF ⊥求出四边形MGNH 的面积，然后换元后，利用导数可求出结果.
【详解】〔Ⅰ〕由24y x =可知24p =，所以2p =，所以(1,0)F ，所以1c =， 又因为
1
2
c a =，所以2a =，所以2223b a c =-=， 所以椭圆方程为22
143
x y +=.
〔Ⅱ〕设(4,)(2)P t t ≥，因为//AB OP ，∴0404
AB OP t t
k k -===-， 设11(,)A x y 、22(,)B x y ，00(,)Q x y ，
那么22
1122221431
43
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以22221212
43x x y y =---，所以1222121134y y x x x x y y -+=-⋅-+0034x y =-⋅， 所以34AB
OQ k k =-，所以3344
OQ k t t =-=-⋅
，
将直线3:OQ l y x t =-代入椭圆22143x y +=，得22
2
412
t x t =+， 设33(,)M x y 、44(,)N x y ，那么340x x +=，2
342412
t x x t =-+，
那么||MN =
==
因为0413PF t t k -=
=-，所以直线:(1)3
t
PF y x =-， 将直线:PF (1)3
t
y x =-与抛物线24y x =联立，得2222(236)0t x t x t -++=，
设55(,)G x y 、66(,)H x y ，
那么2562
236
t x x t
++=，561x x =，
所以||GH =
==224(9)t t +， 又因为1OQ FP k k ⋅=-，所以OQ PF ⊥， 所以四边形MGNH
面积
2
2114(9)||||22t S MN GH t +=⨯⨯=⨯=
，
令2
[4,)t m =∈+∞，那么3
2(9)()(12)
m f m m m +=+，
2232423(9)(12)(9)[2(12)]
()(12)m m m m m m m f m m m +⋅+-+++'=
+242
3(9)(572)(12)m m m m m -++=+，
因为4m ≥，所以()0f m '<，
所以()f m 在[4,)+∞上单调递减，那么3213
()(4)16
f m f ≤=，
又39
(
1)()121m f m m
+=+，当m 趋近于正无穷时，()f m 趋近于1， 那么3213()1,16f
m ⎛⎤∈ ⎥
⎝⎦，所以S
=，
所以四边形MGNH 面积的取值范围为⎛ ⎝⎦
.
【点睛】关键点点睛：利用弦长公式求出||MN 和||GH ，再根据OQ PF ⊥求出四边形MGNH 的面积，然后换元后，利用导数求解是解题关键.
22．3
2()6
x
e f x ae x bx cx =-
++，(,,R)a b c ∈，〔e 为自然对数的底数，
2.71828e =…〕.
〔Ⅰ〕当0a =时，假设函数()f x 与直线y ex =相切于点()1,e ，求b ，c 的值； 〔Ⅱ〕当1
a e
=时，假设对任意的正实数b ，()f x 有且只有一个极值点，求负实数c 的取值范围. 【答案】〔Ⅰ〕3e b =
，56
e c =；〔Ⅱ〕c e ≤-. 【分析】〔Ⅰ〕()1
f e =且()1f e '=列出关于,b c 的方程组，解出即可得结果； 〔Ⅱ〕对()f x 进行求导得()f x '，对()f x '再次求导得()1
2x t e x b x e -=-+，通过研
究()t x '
与0的关系，得到()t x 的单调性，分为2e
b ≥
和02
e b <<两种情形，研究()
f x '的变号零点进而可得结果.
【详解】〔Ⅰ〕当0a =时，32()6e f x x bx cx =-
++，2()22
e
f x x bx c '=-++， 由题知()1f e =且()1f e '=，所以6
22e
b c e e b c e
⎧-++=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，解得3e b =，56e c =
〔Ⅱ〕当1a e
=
时，132()6x e f x e x bx cx -=-++，那么1
2()22x e f x e x bx c -'=-++
令1
2()22
x e h x e x bx c -=-++，
那么1()2x h x e ex b -'=-+，令1()2x t x e ex b -=-+， 那么1()x t x e e -'=-，
当(,2)x ∈-∞时()0t x <，()t x 在(,2)-∞上单调递减，
当(2,)x ∈+∞时()0t x >，()t x 在(2,)+∞上单调递增，所以min ()(2)2t x t b e ==-. 〔1〕当2
e
b ≥
时，()()0t x h x '=≥恒成立，所以()'f x 在R 上单调递增， 故()0f x '=在R 上有唯一解，所以()f x 有且只有一个极值点. 〔2〕当02
e
b <<
时，(2)20t b e =-<，所以()t x 有两个零点1x ，2x ， 即方程120x e ex b --+=有两根1x ，2x ， 又因为1
(0)0t b e
=
+>，所以1202x x <<<，
所以()h x 在()1,x -∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增， 所以要使()h x 只有一个变号零点只需()10h x ≤或()20h x ≥. 首先考虑：
()()()111122111111210222
x x e e
h x e x bx c x e x c x --=-
++=-++<<， 令1
2()(1)2x e p x x e x c -=-++，()1()x p x x e e -'=-，
即()p x 在(0,2)上单调递增，所以()(2)p x p <， 要使()10h x ≤恒成立，只需(2)0p ≤即可，即c e ≤-. 其次考虑：
()()212
22212
x e h x x e x c -=-+
+，因为()p x 在(2,)+∞上单调递减， 同理可得，所以要使得()20h x >恒成立不可能，即c 无解. 综上可知：c 的取值范围为c e ≤-.
【点睛】关键点点睛：函数的导数与切线的关系：1、函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率；2、切点在曲线上，切点坐标满足曲线的方程；3、切线在切线上，切点坐标满足切线方程.。