四川省成都市高三数学10月月考试题 理

四川省成都市2018届高三数学10月月考试题 理
（考试用时：120分 全卷满分：150分 ）
注意事项：
1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后，请将答题卡上交；
第Ι卷（选择题部分，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的． 1.
集
合
{}
1,0,1,3A =-，集合
{}
220,B x x x x N
=--≤∈，全集
{}
14,U x x x Z =-≤∈，则=B C A U I ( )
A.{}3
B.{}3,1-
C.{}3,0,1-
D.{}3,1,1- 2．i 是虚数单位，复数
21=-+i
i z
，则Z 的共轭复数是（ ） A ．1-+i B ．1-+i C ．1+i D ．1--i
3.已知等比数列{}n a 的各项都为正数, 且35412
a ,a ,a 成等差数列, 则35
46
a a a a ++的值是
（ ） A
4．已知随机变量2(0,)X N σ:，若(||2)P X a <=，则(2)P X >的值为（ ） A ．
12a - B ．2a C ．1a - D ．12
a + 5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A .3π
B .4π
C .2π＋4
D .3π＋4
6.已知函数f （x ）=|lnx|﹣1，g （x ）=﹣x 2+2x+3，用min{m ，n}表示m ，n 中的最小值，设函数h （x ）=min{f （x ），g （x ）}，则函数h （x ）的零点个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7.在ABC △中，
sin 2sin 3cos cos 3sin 2cos A C A
A A C
-=-，是角A ，B ，C ，成等差数列的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也必要条件
8.某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( ) A.0.3
B.0.5
C.0.6
D.0.9
9．若函数f （x ）=
（a ，b ，c ，d ∈R ）的图象如图所示，则a ：b ：c ：d=（ ）
A ．1：6：5：8
B ．1：6：5：（﹣8）
C ．1：（﹣6）：5：8
D ．1：（﹣6）：5：（﹣8）
10.若函数)1,1(12)(3
+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围 （ ） A ．3113≥≤≤--≤k k k 或或
B ．不存在这样的实数k
C ．22<<-k
D ．3113<<-<<-k k 或 11.如右图所示的程序框图输出的结果是（ ） A.6 B.6- C.5
D.5-
12．已知函数2()2ln 22x f x x x =+--，若函数
()|()|log (2)(1)a g x f x x a =-+>在区间[1,1]-上有4个不同
的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,2) B ．(2,)+∞ C ． 1
1ln 2
[3
,)-+∞ D ．11ln 2
(2,3
]-
第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22～23题为选做题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分
13．已知O 是锐角△ABC 的外心，B ＝30°，若cos sin A C BA u u
u r ＋
cos sin C A
BC uuu r ＝λBO uuu r ，则λ＝___
_
_
_
_
_
_
．
14．在（2
﹣
）6的展开式中，含x 3项的系数是 （用数字填写答案）
15.抛物线y 2=﹣12x 的准线与双曲线﹣
=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于
______
16.对某同学的6次物理测试成绩(满分100分)进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学物理成绩的以下说法：①中位数为84；②众数为85；③平均数为85；④极差为12.其中，正确说法的序号是________.
开
结0,1
S i ==S S i =-S S i =+1
i i =+i 是10i ≤否
否
输出是 是
三、解答题:（本题包括6小题，共70分。

要求写出证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
设数列{a n }各项为正数，且a 2=4a 1，a n+1=
+2a n （n ∈N *
）
（Ⅰ）证明：数列{log 3（1+a n ）}为等比数列；
（Ⅱ）令b n =log 3（1+a 2n ﹣1），数列{b n }的前n 项和为T n ，求使T n ＞345成立时n 的最小值．
18.（本小题满分12分）
如图，在ABC ∆中，3
B π
∠=
．D 为边BC 上的点，E 为AD 上的点，且8AE =，410AC =4CED π
∠=．
（Ⅰ）求CE 的长；
（Ⅱ）若5CD =，求cos DAB ∠的值．
19.（本小题满分12分）
近几年出现各种食品安全问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病，为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：
患三高疾病 不患三高疾病
合计 男 6 30 女
合计
36
(1)请将如图的列联表补充完整：若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽9人，其中女性抽多少人？
(2)为了研究三高疾病是否与性别有关，请计算出统计量K 2，并说明你有多大的把握认
E
C
B
A
为三高疾病与性别有关？ 下面的临界值表供参考：
(参考公式K 2
＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )
20.（本小题满分12分）
已知椭圆C ：22
21(3
x y a a +
=>的右焦点为F ，右顶点为A ，设离心率为e ，且满足113e OF OA AF +=，其中O 为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点(0,1)的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求△OMN 面积的最大值．
21. （本小题满分12分）
已知函数()3
1()ln(1),3
f x a x
g x x ax =+=
- ，()e 1x h x =-． （Ⅰ）当0x ≥ 时， ()()f x h x ≤恒成立，求a 的取值范围； （Ⅱ）当0x < 时，研究函数()()()F x h x g x =-的零点个数；
（Ⅲ）求证：
10953000
10002699
<< (参考数据：ln1.10.0953≈)．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

作答时请写清题号，本小题满分10分。

22．选修4-4：坐标系与参数方程（本体满分10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，
直线l 的极坐标方程为(sin )ρθθ+=，若射线6
π
θ=
，3
π
θ=
分别与l 交于
,A B 两点．
（Ⅰ）求||AB ；
（Ⅱ）设点P 是曲线2
2
:19
y C x +=上的动点，求ABP ∆面积的最大值．
23.（本小题满分10分）
已知函数|1|)(-=x x f
（Ⅰ）解不等式()(4)8f x f x ++≥；
成都龙泉二中2015级高三上学期10月月考试题
数学（理工类）参考答案
1—5 ACAAD 6—10 CBBDD 11—12 CC 13.1 14. 64 15.
16.①③ [6个数分别为：78，83，83，85，91，90可得中位数为83＋85
2＝84，故①正确；②众数为83，故错误；③平均数为85，正确；④极差为91－78＝13，故错误；故答案为①③.
17.（本小题满分12分）
【解答】（I ）证明：∵a 2=4a 1，a n+1=+2a n （n ∈N *
），
∴a 2=4a 1，a 2=，解得a 1=2，a 2=8．
∴a n+1+1=
+2a n +1=
，
两边取对数可得：log 3（1+a n+1）=2log 3（1+a n ）， ∴数列{log 3（1+a n ）}为等比数列，首项为1，公比为2． （II ）解：由（I ）可得：log 3（1+a n ）=2n ﹣1， ∴b n =log 3（1+a 2n ﹣1）=22n ﹣2=4n ﹣1， ∴数列{b n }的前n 项和为T n ==
．
不等式T n ＞345， 化为＞345，即4n ＞1036．
解得n ＞5．
∴使T n ＞345成立时n 的最小值为6．
18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ） ∵344
AEC ππ∠=π-
=，……………………………………………1分 在AEC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AE CE AE CE AEC =+-⋅∠，………2分 ∴21606482CE CE =++，
∴282960CE CE +-=， ………………………………………………………4分
∴CE =………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）在CDE ∆中，由正弦定理得sin sin CE CD
CDE CED
=∠∠， ………………6分
∴5sin 2
CDE ∠=， ∴4
sin 5
CDE ∠=
， ………………………………………………………………7分 ∵点D 在边BC 上，∴3
CDE B π∠>∠=
， ∴CDE ∠只能为钝角，………………………………………………………8分
∴3
cos 5CDE ∠=-，…………………………………………………………9分
∴cos cos()3DAB CDE π
∠=∠- ，………………………………………10分
cos cos sin sin 33CDE CDE ππ
=∠+∠
314525=-⨯+
=
分 19.（本小题满分12分） .解： (1)3
在患三高疾病人群中抽9人，则抽取比例为936＝1
4. ∴女性应该抽取12×1
4＝3人.
(2)∵K 2
＝60（24×18－6×12）2
30×30×36×24＝10>7.879，
那么，我们有99.5%的把握认为是否患三高疾病与性别有关系. 20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设椭圆的焦半距为c ，则|OF | = c ，|OA | = a ，|AF | =a c -．
所以113e c a a c
+=-，其中c e a =，又2223b a c ==-，联立解得2a =，1c =．
所以椭圆C 的方程是22
143x y +
=． …………………………………………… 4分 （Ⅱ）由题意直线不能与x 轴垂直，否则将无法构成三角形． ……………… 5分 当直线l 与x 轴不垂直时，设其斜率为k ，那么l 的方程为1y kx =+． 联立l 与椭圆C 的方程，消去y ，得22(43)880k x kx ++-=．
于是直线与椭圆有两个交点的充要条件是Δ=22(8)32(43)k k ++，这显然大于0． 设点11(,)M x y ，22(,)N x y ． 由根与系数的关系得122843k x x k +=-
+，12
28
43
x x k =-+． ……………… 7分
所以
12MN x =-=
，又O 到l 的距离d =．
所以△OMN 的面积12S d MN === 10分
令2433t k =+≥，那么S ==≤t = 3时取等．
所以△OMN ． …………………………………… 12分 21.（本小题满分12分）
解： (Ⅰ)令()()()()1ln(1)0x H x h x f x e a x x =-=--+≥则()()01
x
a
H x e x x '=-
≥+ ①若1≤a ，则
11
x a
e x ≤≤+，()0H x '≥，()H x 在[)0,+∞递增，()(0)0H x H ≥=，即()()
f x h x ≤在 [)0,+∞恒成立，满足，所以1≤a ； …………………2分
②若1>a ，()1
x
a
H x e x '=-
+在[)0,+∞递增，()(0)1H x H a ''≥=-且10a -< 且x →+∞时，()H x '→+∞，则0(0)x ∃∈+∞，
使0()0H x '=进而()H x 在[)00x ，递减，在0()x +∞，递增，
所以当()00x x ∈，
时()(0)0H x H <=，即当()00x x ∈，时，()()f x h x > ，不满足题意，舍去；
综合①，②知a 的取值范围为(],1-∞. …………………4分
(Ⅱ)依题意得()()()()3
1e 103
x
F x h x g x x ax x =-=--
+<，则2()x F x e x a '=-+， 则()20x F x e x ''=->在(),0-∞上恒成立，故2()x F x e x a '=-+在(0)-∞，
递增， 所以()(0)1F x F a ''<=+，且x →-∞时，()F x '→-∞；
①若10a +≤，即1a -≤，则()(0)10F x F a ''<=+≤，故()F x 在(0)-∞，
递减，所以()(0)0F x F >=，
()F x 在(0)-∞，
无零点； …………………6分 ②若10a +>，即1a >-，则0(0)x '∃∈-∞，使0()0F x ''=，进而()F x 在0()x '-∞，递减，在
0(0)x '，递增，0()(0)0F x F '<=且x →-∞时，21
()(1)(3)3
x
F x e x x a =--
-→+∞，()F x 在0()x '-∞，上有一个零点，在0[0)x '，无零点，故()F x 在(,0)-∞有一个零点.
综合①②，当1a -≤时无零点；当1a >时有一个公共点. ………………8分 (Ⅲ)由(Ⅰ)知，当1a =时，1ln(1)x e x >++对0x >恒成立，
令110x =，则1
10
10951ln1.1 1.09531000e >+≈>
即10951000>； …………………10分
由(Ⅱ)知，当1a =-时，3
113
x
e x x >
++对0x <恒成立， 令110x =-，则1310
1112699()1310103000
e ->--+=
，所以30002699；
故有
1095300010002699
<. ……………12分 22.选修4-4：坐标系与参数方程（本体满分10分） 解：（1
）直线:sin()3l πρθ⋅+
=，令6
π
θ=
，解)6A πρ=∴ 3
π
θ=
，解4,(4,)3A πρ=∴
又,4366AOB OA OB πππ∠=
-===Q ,2
BAO π
∴∠=||2AB ∴= （2
）直线:l y +=曲线cos :3sin x C y αα=⎧⎨
=
⎩d ∴=
≤
11 当且仅当+=2k -62ππαπ，即223k αππ=-时取“=”
. 11||222
ABC S AB d ∴=⋅≤⋅⋅=V 23.（满分10分）
解：（Ⅰ）f (x )＋f (x ＋4)＝|x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，x ＜－3，
4，－3≤x ≤1，2x ＋2，x ＞1．
当x ＜－3时，由－2x －2≥8，解得x ≤－5；
当－3≤x ≤1时，f (x )≤8不成立；
当x ＞1时，由2x ＋2≥8，解得x ≥3．……………………………………4分
所以，不等式f (x )≤4的解集为{x |x ≤－5，或x ≥3}．………………………5分
（Ⅱ）f (ab )＞|a |f ( b
a )，即|a
b －1|＞|a －b |． ………………………………………6分 ∵因为|a |＜1，|b |＜1，
∴|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2
－1)＞0， 所以，|ab －1|＞|a －b |．故所证不等式成立．……………………………10分。