2专题二 常见相似三角形比例中项模型

第一节 常见相似三角形比例中项模型
如果说全等三角形是初中几何的入门图形，是几何部分的地基，那么相似三角形便扮演着几何大楼的砖瓦，起着举足轻重的作用。

相似三角形的证明，证明之后的比例关系应用成为相似三角形的重要考点，几何部分的线段计算往往离不开相似三角形的比例关系，利用相似比建立关系式是破解线段计算的良策。

这个专题我们将围绕相似三角形，介绍相似三角形当中的比例关系，揭开旋转相似模型的特点，最后为大家带来“瓜豆原理”进一步去探索旋转相似中的点线关系，破解中考压轴题中的动点轨迹难题．
【例1】如图，在ABC ∆中，CD 是AB 边上的高，且2CD AD BD =． （1）求ACB ∠的度数；
（2）若4AC =，10AB =，求AD 的长．
【例2】如图，AB 为O 的直径，弦//CD AB ，E 是AB 延长线上一点，CDB ADE ∠=∠． （1）DE 是O 的切线吗？请说明理由； （2）求证：2AC CD BE =．
【例3】已知：如图，在ABC ∆中，点D 在边AC 上，BD 的垂直平分线交CA 的延长线于点
E ，交BD 于点
F ，联结BE ，2ED EA EC =．
（1）求证：EBA C ∠=∠；
（2）如果BD CD =，求证：2AB AD AC =．
【例4】如图，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点E ，AB AD =，2AB AE AC =． （1）求证：ABE ACB ∠=∠；
（2）当8CE =，13BD =，4DE =时，求线段AE 的长．
【例5】如图，在ADE ∆中，C 是AD 边上一点，AEC ∠的平分线交AD 于点B ，且
DB DE =．求证：2DE DC DA =．
【例6】如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，正方形DEFG 内接于ABC ∆，点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长是 ．
【同步训练】
1．如图，在矩形ABCD 中，点H 为边BC 的中点，点G 为线段DH 上一点，且90BGC ∠=︒，
延长BG 交CD 于点E ，延长CG 交AD 于点F ，当4CD =，1DE =时，则DF 的长为(
)
A ．2
B ．
32
C
D ．95
2．如图，在ABC ∆中，AD 和BE 是高，45ABE ∠=︒，点F 是AB 的中点，AD 与FE ，BE 分别交于点G ，H ，CBE BAD ∠=∠．有下列结论：①FD FE =；②2AH CD =；③22BC AD AE =；④21
2
AD AG AC =
．其中正确的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 上一动点（不与A 、B 重合），对角线AC 、BD 相交于点O ，过点P 分别作AC 、BD 的垂线，分别交AC 、BD 于点E 、F ，交AD 、BC 于点M 、N ．下列结论： ①APE AME ∆≅∆； ②PM PN AC +=； ③222PE PF PO +=； ④POF BNF ∆∆∽；
⑤点O 在M 、N 两点的连线上． 其中正确的是( )
A ．①②③④
B ．①②③⑤
C ．①②③④⑤
D ．③④⑤
4．如图，一等腰三角形，底边长是18厘米，底边上的高是18厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度均为3厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第 个．
5．已知：如图，AB 是O 的直径，点E 为O 上一点，点D 是AE 上一点，连接AE 并延长至点C ，使CBE BDE ∠=∠，BD 与AE 交于点F ． （1）求证：BC 是O 的切线；
（2）若BD 平分ABE ∠，求证：2AD DF DB =．
6．已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，BE FD =，AF 的延长线交BC 的延长线于点H ，AE 的延长线交DC 的延长线于点G ．
（1）求证：AFD GAD ∆∆∽；
（2）如果2DF CF CD =，求证：BE CH =．
7．已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 至点E ，使得AE AB =，联结DE 、AC ．点F 在线段DE 上，联结BF ，分别交AC 、AD 于点G 、H ．
（1）求证：BG GF =；
（2）如果2AC AB =，点F 是DE 的中点，求证：2AH GH BH =．
第二节 旋转相似模型
在平面内，首先将一个多边形以点O 为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k ；接着将所得多边形以点O 为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过缩放和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为(,)O k θ，其中点O 叫做旋转相似中心，
k 叫做相似比，θ叫做旋转角．这是2007年南京中考23题给出的“旋转相似变换”的概念．实
际上，旋转相似就是位似与旋转的结合，由于四边形连接对角线后的旋转位似与三角形的类似，下面我们就三角形的几种模型为例加以说明．
【例1】已知：如图，已知ABC ∆与ADE ∆均为等腰三角形，BA BC =，DA DE =．如果点
D 在BC 边上，且EDC BAD ∠=∠．点O 为AC 与D
E 的交点．
（1）求证：ABC ADE ∆∆∽； （2）求证：DA OC OD CE =．
【例2】如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧作等腰Rt ABC ∆和等腰Rt ADE ∆，其中90ABC AED ∠=∠=︒，CD 与BE 、AE 分别交于点P 、M ．对于下列结论：①CAM DEM ∆∆∽；
②CD =；③MP MD MA ME =；④22CB CP CM =．其中正确的是( )
A ．①②
B ．①②③
C ．①②③④
D ．①③④
【例3】如图，已知ABC ∆和AED ∆均为等边三角形，点D 在BC 边上，DE 与AB 相交于点
F ，如果12AC =，4CD =，那么BF 的长度为 ．
【例4】如图，ABC ∆中，45BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转得到△11AB C ，当点1C 、1B 、C 三点共线时，旋转角为α，连接1BB ，交AC 于点D ，下面结论：
①△1AC C 为等腰三角形；②△1AB D BCD ∆∽；③135α=︒；④1CA CB =；
⑤1AB B C =中，正确结论的个数是( )
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
【同步训练】
1．如图，等腰直角三角形ABC ，90BAC ∠=︒，D 、E 是BC 上的两点，且BD CE =，过D 、
E 作DM 、EN 分别垂直AB 、AC ，垂足为M 、N ，交于点
F ，连接AD 、AE ．其中①
四边形AMFN 是正方形；②ABE ACD ∆≅∆；③222CE BD DE +=；④当45DAE ∠=︒时，2AD DE CD =．正确结论有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．如图，Rt AOB Rt DOC ∆∆∽，90AOB COD ∠=∠=︒，M 为OA 的中点，5OA =，12OB =，将COD ∆绕O 点旋转，连接AD ，CB 交于P 点，连接MP ，则MP 的最大值为( )
A ．10
B ．11
C ．12
D ．12．5
3．AOC ∆在平面直角坐标系中的位置如图所示，4OA =，将AOC ∆绕O 点，逆时针旋转90︒得到△11A OC ，11A C ，交y 轴于(0,2)B ，若△1C OB ∽△11C A O ，则点1C 的坐标 ．
4．如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧作等腰直角ABC ∆和等腰直角ADE ∆，90ABC AED ∠=∠=︒，CD 与BE 、AE 分别交于点P 、M ．
求证：
（1）~BAE CAD ∆∆；
（2）若BC =
，3
2
PC =，求PM 长．
5．（1）如图1中，ABC ∆为正三角形，点E 为AB 边上任一点，以CE 为边作正DEC ∆，连结AD ．求
BE
AD
的值． （2）如图2中，ABC ∆为等腰直角三角形，90A ∠=︒，点E 为腰AB 上任意一点，以CE 为斜边作等腰直角CDE ∆，连结AD ．求
BE
AD
的值； （3）如图3中，ABC ∆为任意等腰三角形，点E 为腰AB 上任意一点，以CE 为底边作等腰
DEC ∆，使DEC ABC ∆∆∽，并且BC =．连结AD ，直接写出
BE
AD
的值．
6．如图①，以ABC ∆的两边AB ，AC 分别向外作等边ABD ∆和等边ACE ∆，BE 与DC 交于点P ，已知3PA =，4PB =，5PC =．
（1）证明：60DPB ∠=︒；
（2）求边BE的长；
（3）如图②，若点Q、R分别是等边ABD
∆和等边ACE
∆的中心，连接AQ、AR、QR，求QR的长．
7．几何探究：
【问题发现】
（1）如图1所示，ABC
∆是有公共顶点的等边三角形，BD、CE的关系是
∆和ADE
=（选填“相等”或“不相等”)；（请直接写出答案）
BD CE
【类比探究】
（2）如图2所示，ABC
∆是有公共顶点的含有30︒角的直角三角形，（1）中的结∆和ADE
论还成立吗？请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3所示，ADE
∆和ABC
∆是有公共顶点且相似比为1:2的两个等腰直角三角形，
将ADE
∆绕点A自由旋转，若BC=B、D、E三点共线时，直接写出BD的长．
第三节 瓜豆原理
古语有云：“种瓜得瓜，种豆得豆”。

在我们几何动点问题中也蕴含着同样的道理，定直线上的动点引起的新动点的运动轨迹是直线，定圆上的动点引起的新动点的运动轨迹是圆，反比例图像上的动点也会引起新动点的运动……这一讲我们将追着的古人的智慧，把“瓜豆思想”运用在几何动点题上，牵一发而动全身，破解动点的轨迹秘密，让动点的真身现平面。

一道好的中考动点题的命制最先确定的就是思想，考查“瓜豆原理”然后再选取诸如直线、三角形、圆和反比例函数等知识作为载体，隐藏条件，需要我们一步一步地挖掘其中的考点，中位线的知识、三角形的三边关系或相似，最后发现动点问题的本质就是找出运动轨迹，对动点的轨迹了如指掌，那么题目问的一系列问题便迎刃而解。

我们先来谈谈“瓜豆原理”中会出现的一些模型．
【例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ．点P 为抛物线对称轴上一点．以BP 为边在BP 的下方作等边三角形BPQ ∆，当点P 从点D 运动到点E 的过程中，求出点Q 经过路径的长度是多少？
【例2】如图，在等腰Rt ABC ∆中，2AC BC ==，点P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点．当点P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长是( )
A ．π
B ．2
C ．2 D
【例3】如图，在直角坐标系中，A 的半径为2，圆心坐标为(4,0)，y 轴上有点(0,3)B ，
点C 是A 上的动点，点P 是BC 的中点，则OP 的范围是( )
A ．272
3≤≤OP B ．42≤≤OP C ．2925≤≤OP D ．43≤≤OP
【例4】如图，在反比例函数3y x
=的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第二象限内有一点C ，满足AC BC =，当点A 运动时，点C 始终在函数k y x =
的
图象上运动，若AC AO
k 的值为( )
A ．6-
B ．12-
C ．18-
D ．24-
同步训练
1．如图，已知点A 是第一象限内横坐标为的一个定点，AC x ⊥轴于点M ，交直线y x =-于点N ．若点P 是线段ON 上的一个动点，30APB ∠=︒，BA PA ⊥，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．
求当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是 ．
2．如图1是边长为6的菱形ABCD，E是BC的中点，AE、BD相交于点P．
当ABC
∠从90︒逐步减少到30︒的过程中，求P点经过路线长．
3．如图，以(0,2)
G为圆心，半径为4的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为G上一动点，CF AE
⊥于F，当点E在O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为．
4．如图，在平面直角坐标系中，(0,4)
C，(3,0)
A，A半径为2，P为A上任意一点，E
是PC 的中点，则OE 的最小值是 ．
5．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，12AB =，5BC =，点D 是半径为4的A 上一动点，点M 是CD 的中点，则BM 的取值范围是 ．
6．如图，已知点A 是双曲线y =在第一象限分支上的一个动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为边作等边三角形ABC ，点C 在第四象限内，且随着点A 的运动，点C 的横、纵坐标之间存在一规律，这个规律是 ．
达标训练
1．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，CD AB ⊥，BE 平分ABC ∠交CD 于F ，EH CD ⊥于
H ，则下列结论：①2CD AD BD =；②2222AC BD BC AD +=+；③
1BD EH BC +=；④若F 为BE 中点，则3AD BD =，其中正确的结论有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．如图，AB 为O 的直径，点P 为AB 延长线上的一点，过点P 作O 的切线PE ，切点为M ，过A 、B 两点分别作PE 的垂线AC 、BD ，垂足分别为C 、D ，连接AM ，则下列结论正确的个数是( )
①AM 平分CAB ∠；②2AM AC AB =；③若4AB =，30APE ∠=︒，则BM 的长为3
π；
④若3AC =，1BD =，则有CM DM =
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，//DE BC ，点F 在边AB 上，CF 与DE 相交于点G ，( )
A ．若D 、F 是A
B 的三等分点，则
2DG GE
= B ．若D 、F 是AB 的三等分点，则95DBCG AFGE S S = C ．若2BC BF BA =，则DF AB AC DG =
D ．若2BC BF BA =，则EC FC AC CG =
4．如图，ABC ∆是等边三角形，被一平行于BC 矩形所截，AB 被截成三等分，图中阴影部分的面积是ABC ∆的面积的( )
A ．
12 B ．13 C ．29 D ．49
5．如图，BC 为半圆O 的直径，EF BC ⊥于点F ，且:5:1BF FC =，若8AB =，2AE =，则AD 的长为 ．
6．如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 上一动点（不与A 、B 重合），对角线AC 、BD 相交于点O ，过点P 分别作AC 、BD 的垂线，分别交AC 、BD 于点E 、F ，交AD 、BC 于点M 、N ．下列结论：①APE AME ∆≅∆；②PM PN AC +=；③222PE PF PO +=；④POF BNF ∆∆∽；⑤点O 在M 、N 两点的连线上．其中正确的是 ．
7．如图，点P 在以MN 为直径的半圆上运动（点P 不与M ，N 重合），PQ MN ⊥，NE 平分MNP ∠，交PM 于点E ，交PQ 于点F ．
（1）PF PE PQ PM
+= ． （2）若2PN PM MN =，则
MQ NQ = ．
8．如图，在边长为4正方形ABCD 中，以AB 为腰向正方形内部作等腰ABE ∆，点G 在CD 上，且3CG DG =．连接BG 并延长，与AE 交于点F ，与AD 延长线交于点H ．连接DE 交BH 于点K ．若2AE BF BH =，则CDE S ∆= ．
9．如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，下列条件：（1）90B DAC ∠+∠=︒；（2）B DAC ∠=∠；
（3）CD AC AD AB
=；（4）2AB BD BC =．其中一定能够判定ABC ∆是直角三角形的有（填序号） ．
10．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，棱长为1的立方体的表面展开图有两条边分别在AC ，BC 上，有两个顶点在斜边AB 上，则ABC ∆的面积为 ．
11．如图，在O 中，AB 为直径，
点C 为圆上一点，延长AB 到点D ，使CD CA =，且30D ∠=︒． （1）求证：CD 是O 的切线．
（2）分别过A 、B 两点作直线CD 的垂线，垂足分别为E 、F 两点，过C 点作AB 的垂线，垂足为点G ．求证：2CG AE BF =．
12．如图，在平行四边形ABCD 中，BE 、DF 分别是平行四边形的两个外角的平分线，
12
EAF BAD ∠=∠，边AE 、AF 分别交两条角平分线于点E 、F ． （1）求证：ABE FDA ∆∆∽；
（2）联结BD 、EF ，如果2DF AD AB =，求证：BD EF =．
13．如图，Rt ABC
∆中，90
ACB
∠=︒，D是BC的中点，CE AD
⊥于E．
（1）求证：2
CD DE DA
=；
（2）当47
BED
∠=︒时，求ABC
∠的度数．
14．如图，已知在ABC
∆中，AD是ABC
∆的中线，DAC B
∠=∠，点E在边AD上，CE CD
=．
（1）求证：AC BD AB AD
=；
（2）求证：22
AC AE AD
=．
15．如图，在ADE
∆中，C是AD边上一点，AEC
∠的平分线交AD于点B，且DB DE
=．求证：2
DE DC DA
=．
16．如图，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点E ，AB AD =，2AB AE AC =．
（1）求证：ABE ACB ∠=∠；
（2）当8CE =，13BD =，4DE =时，求线段AE 的长．
17．在ABC ∆中，P 为AB 上一点．
（1）如图1，若ACP B ∠=∠，求证：2AC AP AB =；
（2）如图2，若M 为CP 的中点，3AC =，若PBM ACP ∠=∠，5AB =，直接写出BP 的长 ．
18．已知，如图，在平行四边形ABCD 中，M 是BC 边的中点，E 是边BA 延长线上的一点，联结EM ，分别交线段AD 于点F 、AC 于点G ．
（1）求证：
GF EF
GM EM
=
； （2）当22BC BA BE =时，求证：EMB ACD ∠=∠．
19．如图，在ABC ∆中，ABC C ∠=∠，将ABC ∆绕点B 逆时针旋转得DBE ∆，点E 在AC 上，若3ED =，1EC =，则(EB = )
A
B ．
3
2
C
D ．2
20．如图，ABC ∆中，45BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转得到△111A B C ，当C ，1B ，1C 三点共线时，旋转角为α，连接1BB ，交于AC 于点D ，下面结论： ①△1AC C 为等腰三角形；②1CA CB =；③135α=︒；④△11AB D ACB ∆∽；
⑤1AB B C =中，正确的结论的序号为 ．
21．如图所示，在等边中ABC ∆，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，//DE BC ，如图（1），然后将ADE ∆绕A 点顺时针旋转120︒，使B 、A 、E 三点在同一直线上，得到图（2），M
、
N分别是BD、CE的中点，连接AM、AN、MN得到图（3），请解答下列问题：
（1）在图（2）中，线段BD与线段CE的大小关系是；
（2）在图（3）中，AMN
∆是相似三角形吗？请证明你的结论．
∆与ABC
22．如图，已知：ABC
∆均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AC交于点F ∆和ADE
（1）写出图中的相似三角形；
（2）求证：2
=．
AE AF AC
23．探究：如图①，ABC
∆是等边三角形，AD是BC边上的高线，以点D为中点作线段EF，且EF不与BC边重合，以EF为边作等边三角形EFG，连结AG，GD，CF．求证：∽；
ADG CDF
∆∆
应用：如图②，将线段EF绕着点D逆时针旋转，当点F落在AD上时，延长CF交AG于点H，求AHF
∠的度数．
24．如图①，ABC ∆是等腰直角三角形，
在两腰AB 、AC 外侧作两个等边三角形ABD 和ACE ，AM 和AN 分别是等边三角形ABD 和ACE 的角平分线，连接CM 、BN ，CM 与AB 交
于点P ．
（1）求证：CM BN =；
（2）如图②，点F 为角平分线AN 上一点，且30CPF ∠=︒，求证：APF AMC ∆∆∽； （3）在（2）的条件下，求
PF
BN
的值．
25．若ABC ∆绕点A 逆时针旋转α后，与ADE ∆构成位似图形，则我们称ABC ∆与ADE ∆互为“旋转位似图形”．
（1）知识理解：
如图1，ABC ∆与ADE ∆互为“旋转位似图形”．
①若25α=︒，100D ∠=︒，28C ∠=︒，则BAE ∠= 27︒ ； ②若6AD =，7DE =，4AB =，则BC = （2）知识运用：
如图2，在四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，AE BD ⊥于点E ，DAC DBC ∠=∠，求证：ACD ∆与ABE ∆互为“旋转位似图形”． （3）拓展提高：
如图3，ABG ∆为等边三角形，点C 为AG 的中点，点F 是AB 边上的一点，点D 为CF 延长线上的一点，点E 在线段CF 上，且ABD ∆与ACE ∆互为“旋转位似图形”．若6AB =，
4AD =，求
DE
CE
的值．
26．如图，边长为ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点（点P 与A 、C 不重合），连接BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转90︒到BQ ；连接PQ ，PQ 与BC 交于点E ，QP 延长线与AD （或AD 延长线）交于点F ，连接CQ ．求证： （Ⅰ）CQ AP =； （Ⅱ）APB CEP ∆∆∽．
27．如图，ACB
∆中，4
CA CB
==，90
ACB
∠=︒，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM BP
⊥于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为()
A B C D．2π
28．如图，在平面直角坐标系中，直线y x
=-与双曲线
k
y
x
=交于A、B两点，P是以点
(2,2)
C为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点．若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为()
A．
1
2
-B．
3
2
-C．2-D．
1
4
-
29．如图，点P为函数
16
(0)
y x
x
=>的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，P半径为2，
(3,0)
A，(6,0)
B，点Q是P上的动点，点C是QB的中点，则AC的最大值是()
A．1
-B．1
+C．4 D．2
30．如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD的中点，过点C作CP AB
⊥于点P．若3
CD=，
5AB =，PM x =，则x 的最大值是( )
A ．3 B
C ．2．5
D ．
31．如图，线段AB 的长为D 在AB 上，ACD ∆是边长为15的等边三角形，过点
D 作与CD 垂直的射线DP ，过DP 上一动点G （不与D 重合）作矩形CDGH ，记矩形
CDGH 的对角线交点为O ，连接OB ，则线段BO 的最小值为( )
A ．
B ．15
C ．
D ．30
32．如图，已知点(3,0)A ，(0,4)C -，C ，点P 为C 上一动点，连接AP ，若M 为AP 的中点，连接OM ，则OM 的最大值= ．
33．如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为2，点A 是O 上一动点，点B 、C 分别在x 轴和y 轴上，AB BC =，4
tan 3
A =
，M 是AC 的中点，则OM 的最大值是 ．
34．如图，点A 是双曲线9
y x
=-
在第二象限分支上的一个动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为底作等腰ABC ∆，且120ACB ∠=︒，点C 在第一象限，随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线k
y x
=
上运动，则k 的值为 ．
35．如图，等边ABC ∆中，2AB =，点D 是以A 为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD ，取CD 的中点E ，连接BE ，则线段BE 的最大值与最小值之和为 ．
36．如图，ABC ∆中，AC BC =，CD 是ABC ∆的高，8AB =，3CD =，以点C 为圆心，半径为2作C ，点E 是C 上一动点，连接AE ，点F 是AE 的中点，则线段DF 的最小值是 ．
37．如图，已知扇形AOB中，3
∠=︒，C是在AB上的动点．以BC为边作
OA=，120
AOB
正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是．
38．如图，在Rt ABC
∠=︒，4
BC=，D为AB上的动点，以DC为
A
ACB
∠=︒，30
∆中，90
斜边向右侧作等腰Rt DCE
∠=︒，连接BE，则线段BE的最小值为．
∆，使90
CED。