高三数学第六次阶段考试题 理含解析 试题

实验中学2021届高三数学第六次阶段考试题 理〔含解析〕
本套试卷分第一卷和第二卷两局部.本套试卷满分是150分，考试时间是是120分钟.
试卷Ⅰ
一、选择题：本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的. 1.集合{|124}x
P x =≤<，{1,2,3}Q =，那么P Q =〔 〕
A. {1}
B. {1,2}
C. {2,3}
D.
{1,2,3}
【答案】A 【解析】
集合{}
02P x x =≤<,那么P Q ⋂＝{}1,应选A.
点睛: 集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.此题利用了指数函数的单调性求解不等式.在求交集时注意区间端点的取舍. 纯熟画数轴来解交集、并集和补集的题目.
2.x ，y 满足约束条件0
401x y x y y -≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≥⎩
，那么2z x y =-+的最大值是〔 〕
A. -1
B. -2
C. -5
D. 1
【答案】A 【解析】
由不等式组表示的平面区域如图阴影局部，
当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由
1
y
y x
=
⎧
⎨
=
⎩
得到A〔1，1〕，
所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；
故答案为：A．
3.执行如下图的程序框图，那么输出S=〔〕
A. 26
B. 57
C. 120
D. 247 【答案】B
【解析】
试题分析：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
应选B.
考点：程序框图.
【方法点睛】根据流程图〔或者伪代码〕写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，难度不大；分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量
的值，并输出
时，变量
的值，模拟程序的运行，用表格
对程序运行过程中各变量的值进展分析，不难得到输出结果.
,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，那么“l m ⊥〞是“//l α〞的〔 〕
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充
分也不必要条件 【答案】B 【解析】
假设l m ⊥，因为m 垂直于平面α，那么//l α或者l α⊂；假设//l α，又m 垂直于平面α，那么l m ⊥，所以“l m ⊥〞是“//l α的必要不充分条件，应选B ． 考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系． 【此处有视频，请去附件查看】
5.〔10〕设O 为坐标原点，1F ,2F 是双曲线22
22x y 1a b
-=〔a ＞0，b ＞0〕的焦点，假设在双
曲线上存在点P ，满足∠1F P 2F 7a ,那么该双曲线的渐近线方程为 3y="0" 3x±y=0 2y ="0" 2x ±y=0
【答案】D
不妨设12(,0),(,0)F c F c -，那么11221222
OF F P OF F P F P F P
OP ++++=
=
因为1260F PF ∠=，所以121212
cos602
F P F P
F P F P F P F P ⋅⋅=⋅=
，
222
12121212
||||1
cos 2
2PF PF F F F PF PF PF +-∠=
=
⋅ 所以2
2
2
1212||4PF PF PF PF c +=⋅+ 因为P 在双曲线上，所以122PF PF a -=
那么2
2
2
2
2
12121212()||244PF PF PF PF PF PF c PF PF a -=+-⋅=-⋅= 所以2
2
1244PF PF c a ⋅=-，故122212
222
F P F P
F P F P c a ⋅⋅=
=-
22222121
2||484PF PF PF PF c c a +=⋅+=-
因为OP =，所以1272
F P F P
OP +=
=
故
22121212||274
F P F P F P F P
a ++⋅=，即2
22
327c a a -=
故
22237b a a +=
，解得b =
所以双曲线的渐近线方程为
0x a =0y ±=，应选D 【此处有视频，请去附件查看】
6.设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且
(2)()f x f x +=-，那么有〔 〕
A. 13
()()(1)3
2f f f <<
B. 3
1(1)()()2
3
f f f <<
C. 13
(1)()()32
f f f <<
D. 31()(1)()23
f f f <<
【解析】 【分析】
由题意可得11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，再利用函数在区间[1,0)-上是增函数可得答案. 【详解】解：()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，
又
(2)()f x f x +=-
11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫
∴=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
3112222f f f ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 又
11
11023
--<-<-≤，且函数在区间[1,0)-上是增函数，
11f (1)f f 023⎛⎫⎛⎫∴-<-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11f (1)f f 23⎛⎫⎛⎫
∴-->-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
31(1)23f f f ⎛⎫⎛⎫
∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
应选A.
【点睛】此题考察利用函数的单调性、奇偶性比拟函数值的大小，考察利用知识解决问题的才能.
7.函数sin()(0,0,)2
y A x b A π
ωϕωϕ=++>><
的图象上相邻的一个最大值点与对称中
心分别为,318π⎛⎫
⎪⎝⎭，2,09π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，那么函数()f x 的单调增区间为〔 〕 A. 222,3939k k ππππ⎛⎫-+
⎪⎝⎭
，k Z ∈ B. 242,3939k k ππππ⎛⎫
--
⎪⎝
⎭，k Z ∈ C. 227,3
18318k k ππππ
⎛⎫
++
⎪⎝⎭
，k Z ∈ D. 252,+3
18318k k ππππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭，k Z ∈ 【答案】D 【解析】
由题意得出()f x 的解析式，利用三角函数的性质得出其单调增区间可得答案. 【详解】解：由题意得：对称中心为2,09π⎛⎫
⎪⎝⎭
，可得b=0，图象上相邻的一个最大值点与对称中心分别为,318π⎛⎫
⎪⎝⎭，2,09π⎛⎫
⎪⎝⎭
， 124918T ππ∴=-可得23T π=，23T
π
ω∴==，3A ∴=， 可得3sin(3)y x ϕ=+将2,09π⎛⎫
⎪⎝⎭代入可得2sin 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
， 可得
2,3
k k Z ϕππ+=∈，且2πϕ<， 3π
ϕ∴=，
可得()3sin 3+3f x x π⎛
⎫
= ⎪⎝
⎭
， 令23+
+
2,232k x k k Z π
ππ
ππ-
+≤≤+∈，
可得252+318318
k x k ππ
ππ-
≤≤， 应选D.
【点睛】此题主要考察三角函数的单调性及sin()y A x ωϕ=+的性质，得出函数的解析式是解题的关键.
8.定义在(1,)+∞上的函数()f x 满足以下两个条件：〔1〕对任意的(1,)x ∈+∞恒有
(2)2()f x f x =成立；〔2〕当(1,2]x ∈时，()2f x x =-；记函数()()(1)g x f x k x =--，
假设函数()g x 恰有两个零点，那么实数k 的取值范围是〔 〕
A. [1,2)
B. 4,23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C. 4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D.
4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】C
【分析】
根据题中条件可得()f x 的解析式，又y=(1)k x -的函数图像过点〔1，0〕点直线，结合函数的图像，根据题意可得参数的范围.
【详解】解：因为(1,)x ∈+∞恒有(2)2()f x f x =成立，所以*
(2)2()()k k f x f x k N =∈.
所以当1
*22
()k k x k N +<≤∈时，有122
k x
<
≤，从而 ()22k k
x
f x f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
222k k x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
12k x +=-.
画出()f x 的图象如下图.
从图中可以看出，要使()g x 有两个零点，只要函数(1)y k x =-的图象与()y f x =的图象有
两个交点，当函数(1)y k x =-的图象经过点(4,4)时，这时43
k =
，函数()g x 恰有两个零点，当函数(1)y k x =-的图象经过点(2,2)时，2k =，函数()g x 只有一个零点，当4
3
k <时，
或者2k >时，都不符合题意，故实数k 的取值范围是4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭
.
【点睛】此题主要考察函数零点的断定定理，解決此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图象与函数的性质数形结合思想是高中数学的一个重要数学数学是解决数学问题的必备的解题工具，属于根底题.
试卷Ⅱ
二、填空题：本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分.把答案填在题中横线上.
9.假设复数z
满足iz i
=〔i为虚数单位〕，那么z=______.
【答案】2 【解析】
由题意可得：
i
z
i =，
那么：
2
2
1
z====.
10.正方体的全面积为a，它的顶点都在球面上，那么这个球的外表积是______.
【答案】
2
a
π
【解析】
【分析】
由题意可得正方体的边长及球的半径，可得球的外表积.
【详解】解：根据正方体的外表积可以求得正方体的边长为l=
位于正方体体心，半径为正方体体对角线的一半，求得球的半径r==
得外接球外表积为2
4
2
a
S r
π
π
==，
故答案：
2
a
π
.
【点睛】此题主要考察空间几何体的外表积,得出正方体的边长和球的半径是解题的关键. xOy中，直线l
的参数方程是
1
2
1
2
x
y t
⎧
=-+
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
〔t为参数〕，以坐标原点为极点，x轴非负半
轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-，那么圆C 的圆心到直线l 的间隔 为______. 【答案】
1
2
． 【解析】
直线l 的参数方程为312{
12
x t
y t
=-+
=〔t 为参数〕
，普通方程为x ﹣
3y+1=0，
圆ρ=﹣4cosθ 即ρ2=﹣4ρcosθ，即 x 2+y 2+4x=0，即 〔x+2〕2+y 2=4， 表示以〔﹣2，0〕为圆心，半径等于2的圆． ∴圆C 的圆心到直线l 的间隔 为
2113
-++=
12
， 故答案为：12
．
12.假设0a >，0b >，且
11
121
a b b =+++，那么2+a b 的最小值为______. 【答案】
231
2
+ 【解析】 试题分析：由
11
121
a b b =+++可得，即，所以
〔当且仅当
时取等号〕，即2+a b 的最
小值为.
考点：根本不等式及灵敏运用.
11
121
a b b =+++进展合理变形得到，再根据该等式中变量的关系，解
出用来表示，从而将欲求代数式中的两个变量消去一个，得到只含的代数式，然后运用根本不等式使其获解.这里要强调的是 “一正、二定、三相等〞是根本不等式的运用情境，也是学会运用根本不等式的精华，这是运用好根本不等式的关键之所在.
13.A ，B 是圆O ：22
4x y +=上的两个动点，2AB =，52
33
OC OA OB =
-.假设M 是线段AB 的中点，那么OC OM ⋅的值是__. 【答案】3 【解析】 【分析】 易得1OM (OA OB)2=
+，可得152()233OC OM OA OB OA OB ⎛⎫
⋅=+⋅- ⎪⎝⎭
，结合A ，B 是
圆O ：22
4x y +=上的两个动点，2AB =，计算可得答案.
【详解】解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 那么11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，1212,22x x y y OM ++⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，()2121,AB x x y y =--， 所以1212525
252,,333
333OC OA OB x x y y ⎛⎫=
-=-- ⎪⎝⎭. 由2AB =，
得()()2
2
21214x x y y -+-=， ① 又A ，B 在圆O 上，
所以2
2
114x y +=，2
2
224x y +=， ② 联立①②得12122x x y y +=， 所以121212125
252,,3
33322x x y y OC OM x x y y ++⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
化简并整理，得
()()()2222
11221212511632
x y x y x x y y +-+++ 511442632
=⨯-⨯+⨯ 3=.
优解
由条件易知OAB ∆为正三角形.
又由M 为AB 的中点， 那么1
OM (OA OB)2
=
+， 所以152()233OC OM OA OB OA OB ⎛⎫⋅=
+⋅- ⎪⎝⎭
2
2152||||233OA OA OB OB ⎛⎫=
+⋅- ⎪⎝⎭
3=.
【点睛】此题主要考察平面向量的应用及平面向量数量积运算，由得出1
OM (OA OB)2
=+代入计算是解题的关键.
14.用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数一共有______. 【答案】324 【解析】
分两大类：(1)四位数中假如有0，这时0一定排在个、十、百位的任一位上，如排在个位，这时，十、百位上数字又有两种情况：①可以全是偶数；②可以全是奇数．故此时一共有C 32A 33C 41＋C 32A 33C 41＝144(种)．(2)四位数中假如没0，这时后三位可以全是偶数，或者两奇一偶．此时一共有A 33C 31＋C 32C 31A 33C 31＝180(种)．故符合题意的四位数一共有144＋180＝324(种)．
【此处有视频，请去附件查看】
三、解答题：本大题一一共6小题，一共80分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
15.函数21()2cos 2
f x x x =
--. 〔1〕求()f x 的最小正周期；
〔2〕设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =
，()0f C =，假设
sin 2sin B A =，求a ，b 的值.
【答案】〔1〕函数()f x 的最小正周期为π.〔2〕1a =，2b = 【解析】 【分析】
〔1〕将原解析式化为一个角的正弦函数，代入周期公式即可求出()f x 的最小正周期; 〔2〕由()0f C =可得C 的范围,可得C 的值，由sin 2sin B A =，由正弦定理得2b
a
=，由余弦定理可得223a b ab +-=，联立可得a 、b 的值.
【详解】〔1〕21()2cos 2
f x x x =
--
1cos 21
222
x x +=
--
1
sin 2cos 2122
x x =
-- sin 216x π⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭.
所以函数()f x 的最小正周期为π. 〔2〕由()0f C =，得sin 216C π⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭
， 因为0C π<<， 所以1126
6
6
C π
π
π
-
<-
<
， 所以26
2
C π
π
-
=
，3
C π
=
，
又sin 2sin B A =，由正弦定理得2b
a
=. ① 由余弦定理，得2
222cos
3
c
a b ab π
=+-，
即223a b ab +-=. ② 由①②解得1a =，2b =.
【点睛】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有:正弦、余弦定理，正弦函数的定义域与值域，二倍角的余弦函数公式，以及两角和与差的正弦函数公式，纯熟掌握定理及公式是解此题的关键.
16. 〔10分〕盒中一共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全一样.
〔1〕从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球的颜色一样的概率；
〔2〕从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为123,,x x x ，随机变量X 表示123,,x x x 的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X .
【答案】〔1〕5
18；〔2〕20()9
E X =. 【解析】
试题分析：〔1〕先求出取2个球的所有可能，再求出颜色一样的所有可能，最后利用概率公式计算即可；〔2〕先判断X 的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可．
试题解析：解：2
2432
916315
3618
C C P C ++++=== 〔2〕X 的可能取值为2，3，4()()3131
4536449911
134,312663
C C C C P x P x C C +======
()198********
1261269
E x ++=
==
考点：1.离散型随机变量的期望与方差；2.古典概型及其概率计算公式． 【此处有视频，请去附件查看】
17.如图，在四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，AB AD ⊥，AB PA ⊥，
224BC AB AD BE ===，平面PAB ⊥平面ABCD .
〔1〕求证：平面PED ⊥平面PAC ；
〔2〕假设直线PE 与平面PAC 5
，求二面角A PC D --的平面角的余弦值.
【答案】15 【解析】
试题分析：〔1〕证明面面垂直的根本思路，是在其中一个面内，找一条直线垂直于另一个平面内两条相交直线，此题只需证明ED⊥PA，ED⊥AC 即可；〔2〕重点是找二面角的平面角，即在两个面内分别找垂直于交线的直线，然后构造三角形求解。

当然，利用空间向量也是解决此题的好方法。

试题解析：法一〔1〕取AD 中点F ，连接BF ，那么//FD BE ， ∴四边形FBED 是平行四边形，∴FB //ED ∵直角△BAF 和直角△CBA 中，
2BA CB
AF BA
== ∴直角△BAF ~直角△CBA ，易知BF AC ⊥ ∴ED AC ⊥
∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =
AB PA ⊥
∴PA ⊥平面ABCD ∴PA ED ⊥， ∵PA AC A ⋂= ∴ED ⊥平面PAC . ∴平面PED ⊥平面PAC .
〔2〕设ED 交AC 于G ，连接PG ，那么EPG ∠是直线PE 与平面PAC 1BE = 由△AGD ~△CGE ，知2
3
DG AD GE EC ==， ∵2AB AD == ∴33555EG DE =
=
，25
5
DG = ∵∴3PE =，225,2AE PA PE AE ==-=
作GH PC ⊥于H ，由PC DE ⊥，知PC ⊥平面HDG ， ∴PC DG ⊥，
∴GHD ∠是二面角A PC D --的平面角. ∵△PCA ~△GCH ， ∴
PA PC GH GC =，而22655
GC CE EG =-= ∴30
5
PA GC GH PC ⋅=
=
∴6
tan 3GHD ∠=
， ∴15cos 5
GHD ∠=
， 即二面角A PC D --的平面角的余弦值为15
5
. 法二：〔1〕∵平面PAB ⊥平面ABCD ，
平面PAB ⋂平面ABCD AB =，AB PA ⊥ ∴PA ⊥平面ABCD
又∵AB AD ⊥，故可如图建立空间直角坐标系o xyz -
由(0,2,0)D ，(2,1,0)E ，(2,4,0)C ，(0,0,)P λ〔0λ>〕 ∴(2,4,0)AC =，(0,0,)AP λ=，(2,1,0)DE =- ∴4400DE AC ⋅=-+=，0DE AP ⋅=， ∴DE AC ⊥，DE AP ⊥， ∴ED ⊥平面PAC ∴平面PED ⊥平面PAC
〔2〕由〔1〕，平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =-，(2,1,)PE λ=- 设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，
∴sin cos ,PE DE θ==2λ=± ∵0λ>
∴2λ=，即(0,0,2)P
设平面PCD 的一个法向量为n 000(,,)x y z =，(2,2,0)DC =，(0,2,2)DP =- 由n DC ⊥，n DP ⊥
∴0000220{220
x y y z +=-+=，令01x =，那么n (1,1,1)=--
∴cos
<n
，5DE >=
=显然二面角A PC D --的平面角是锐角，
∴二面角A PC D -- 考点：空间几何体，线面位置关系
18.数列{}n a 的前n 项和1
122n n n S a -⎛⎫
=--+ ⎪
⎝⎭
，n 为正整数.
〔1〕令2n
n n b a =，求证数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；
〔2〕令1n n n c a
n
+=，求12n n T c c c =+++…. 【答案】〔1〕2n n a n =；〔2〕3
32
n n
n T +=-. 【解析】
试题分析：由于题目给出
和
的关系，可令
求出，然后当时，利用
得出
和
的关系，由于2n
n n b a =可知：
，说明数列{}n b 是
等差数列，再求数列的通项公式，在得出{}n a 的通项公式；第二步由1n n n c a
n
+=得出
，符合使用错位相减法求和，于是采用错位相减法求出数列{}n c 的前n 项和n T 即可;
试题解析：〔1〕在1
1
()22
n n n S a -=--+中，令
，可得1112n S a a =--+=，即112
a =
当
时，2
1111111
()
2()2
2
n n n n n n n n n S a a S S a a ------=--+∴=-=-++，，
11n 111
2a (),2212
n n n n n n a a a 即----∴=+=+，因为2n n n b a =，那么
，即：当
时，
，
又1121,b a ==∴数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列．于是，
那么：
．
〔2〕由〔1〕得11(1)()2
n
n n
n c a n n +==+，所以: 231111
23()4()(1)()2222
n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯++
2341111112()3()4()(1)()22222
n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋯++ 由①-②得231
111111()()()(1)()22222
n n n T n +=+++⋯+-+
,那么
考点：1．数列前项和与通项
的关系；2．转化思想；3．错位相减法；
19.平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：22
221x y a b +=〔0a b >>〕右焦点的直线
0x y +-=交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为
1
2
. 〔Ⅰ〕求椭圆M 的方程；
〔Ⅱ〕C ，D 为M 上的两点，假设四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ABCD 面积的最大值.
【答案】(Ι)22163x y +=〔Ⅱ〕12AB CD ⋅=
3
【解析】 【分析】
(1)把右焦点()c,0代入直线方程可求出c ，设()11,,A x y ()22,B x y ，线段AB 的中点
()00,P x y ，利用“点差法〞即可得出a,b 的关系式，再与222a b c =+联立即可求出a,b ，
进而可得椭圆方程；
(2)由CD AB ⊥，可设直线CD 方程为y x m =+,与椭圆方程联立可得根与系数关系，即可得到弦长CD ，把直线
0x y AB +=与椭圆的方程联立得到根与系数关系，即可得到弦长，利用
ABCD 1
S 2
AB CD =
⋅四边形即可得到关于m 的表达式，利用二次函数的单调性即可求出其最大值.
【详解】(Ι)设()11,,A x y ()22,,B x y 那么()22112211x y a b +=，()22
222212x y a b
+=，〔1〕－
〔2〕得：
()()()()121212122
2
0x x x x y y y y a
b
-+-++=，因为12
12
1y y x x -=--，设()00,P x y ，因为P 为
AB 的中点，且OP 的斜率为
12，所以0012y x =，即()12121
2
y y x x +=+，所以可以解得
222a b =，即()
222
2a a c =-，即222a c =，又因为c =26a =，所以M 的方程
为22163
x y +=.
〔Ⅱ〕因为CD AB ⊥，直线AB 方程为0x y +=，所以设直线CD 方程为y x m =+，
将0x y +-=代入22163x y +=得：230x -=，即(A 、B ⎝⎭，
所以可得AB =y x m =+代入22
163x y +=得：2234260x mx m ++-=，设
()
33,,C x y ()44,,D x y 那么CD =()
221612260m m ∆=-->，即33m -<<，所以当0m =时，|CD|获得最大值4，所以
四边形ACBD 面积的最大值为
12AB CD ⋅= 3
. 【点睛】本小题考察椭圆的方程的求解、直线与椭圆的位置关系，考察数学中的待定系数法、设而不求思想 ，考察同学们的计算才能以及分析问题、解决问题的才能.圆锥曲线是高考的热点问题,年年必考,纯熟本局部的根底知识是解答好本类问题的关键.
2()ln (2)f x x ax a x =-+-.
〔1〕假设'(1)6f =-，求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线；
〔2〕设0a >，证明：当1
0x a <<
时，11f x f x a a ⎛⎫⎛⎫+>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
； 〔3〕假设函数()f x 的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：
0'()0f x <.
【答案】〔1〕620x y +-=〔2〕见解析〔3〕见解析 【解析】 【分析】
〔1〕求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程; (2)设函数11()g x f x f x a a ⎛⎫
⎛⎫
=+--
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，那么()g x ln(1)ln(1)2ax ax ax =+---，求出导数，判断单调性，即可得证；
(3)设出函数()y f x =的图象与x 轴交于AB 两点的横坐标，根据(2)的结论，和函数()f x 的单调性，即可证明结论.
【详解】证明：0'()0f x <.
解：〔1〕1
'()22f x ax a x
=
-+-， 由'(1)6f =-解得3a =，
有因为(1)4f =，所以切线为46(1)y x +=--， 即620x y +-=. 〔2〕令11()g x f x f x a a ⎛⎫⎛⎫
=+--
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
ln(1)ln(1)2ax ax ax =+---， 由32
22
2'()2111a a a x g x a ax ax a x
=+-=+--， 0a >且1
0x a
<<
，那么'()0g x >， 即()g x 在1(0,)a
上单调递增，
所以()(0)0g x g >=，即11f x f x a a ⎛⎫⎛⎫
+>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
成立. 〔3〕证明：由(21)(1)
'()(0)x ax f x x x
+-+=
>，
所以当0a ≤时，'()0f x >，即()f x 在(0,)+∞上单调递增， 此时()f x 与x 轴至多有1个交点，不符合题意. 当0a >时，有'()0f x =解得1x a
=
或者1
2x =-〔舍〕，
此时()f x 在1
(0,)a 上单调递增，1(,)a
+∞上单调递减，
所以max 1()0f x f a ⎛⎫
=>
⎪⎝⎭
. 不妨设1(,0)A x ，2(,0)B x ，那么必有121
0x x a
<<
<，
创 作人： 历恰面 日 期：
2020年1月1日 创 作人： 历恰面 日 期： 2020年1月1日 由〔2〕可知()()21111111f x f x f x f x a a a a
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--<+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12f x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 且2121,
(,)x x a a
-∈+∞， 所以122x x a
-<， 即1
2012x x x a +=>， 所以0'()0f x <.
【点睛】此题考察导数的运用，求切线的方程和单调区间、极值和最值，考察函数的単调性的运用，考察运算才能，属于中档题.。