上海市青浦区高二数学下学期期末考试试题(含解析)新人教A版

2012-2013学年上海市青浦区高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．
1．（3分）复数的模是 1 ．
解：∵复数=+
+
2．（3分）若直线a和平面α相交，则直线a和平面α所成角的范围是[0，π）．
所成角为
3．（3分）直线l1：x+3=0与直线l2：x+y﹣1=0的夹角的大小为60°．
y 的斜率为﹣
4．（3分）以直线x+3=0为准线的抛物线的标准方程是y2=12x ．
5．（3分）在正四面体ABCD中，点E为棱AD的中点，则异面直线AB与CE所成角的大小为arccos．
=a，CE=CF=2a•sin60°=
中，cos∠CEF=
=
arccos
6．（3分）若圆锥的侧面展开图是弧长为2πcm，半径为cm的扇形，则该圆锥的体积为
cm3．
，半径为
，半径为
V=•12•1=．
故答案为：．
7．（3分）k取任意实数时，直线2（k﹣1）x+（k﹣6）y﹣k﹣4=0恒过点P，则点P的坐标为（1，﹣1）．
，∴
8．（3分）多瑙河三角洲的一地点A位于北纬45°东经30°，大兴安岭地区的一地点B位
于北纬45°东经120°，设地球的半径为R，则A，B两地之间的球面距离是．
．
故答案为：．
9．（3分）已知复数z1=3﹣i，|z2|=2，则|z1﹣z2|的最大值为．
=
|=，故答案为
10．（3分）若将方程||=6化简为的形式，则a2﹣b2= 2 ．
|=6
）为焦点的双曲线，方程为
11．（3分）曲线上点到直线x﹣2y+8=0距离的最小值为．
+=1
，利用辅助角公式即可求得
解：设椭圆+
==
上点到直线距离的最小值为
故答案为：
12．（3分）定义直线关于圆的圆心距单位λ为圆心到直线的距离与圆的半径之比．若圆C 满足：①与x轴相切于点A（3，0）；②直线y=x关于圆C的圆心距单位λ=，试写出一个满足条件的圆C的方程（x﹣3）2+（y﹣1）2=1 ．
==
，则由题意可得=
二．选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分．
，即可得到它的一个方向向量（
k=，
=）
14．（3分）如果命题“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解”是正确的，则下
16．（3分）给出下列三个命题：
①若z1，z2∈C且z1﹣z2＞0，则z1＞z2．
②如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数z在复平面上所对应点的轨迹为椭圆．
③已知曲线C：和两定点F1，F2，若P（x，y）是C上的动点，则||PF1|﹣|PF2||是定值．
﹣（﹣）﹣
12c=
三．解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17．（10分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1和CC1的中点．
（1）画出由A，E，F确定的平面β截正方体所得的截面；（保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）
（2）求异面直线直线EF和AC所成角的大小．
=，=，
=2
cos∠HEF=，故∠HEF=arccos
arccos
18．（10分）如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．其中圆柱的高为2米，球的半径r为0.5米．
（1）这种“浮球”的体积是多少立方米（结果精确到0.1m3）？
（2）假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元．求该“浮球”的建造费用（结果精确到1元）．
=r3=π=
×2=π
=
19．（10分）已知虚数z1，z2是方程x2﹣4x+m2﹣3m=0，m∈R的两根，且满足|z1|=．（1）求实数m的值；
（2）设虚数z1，z2对应为F1，F2，求以F1，F2为焦点且过原点的椭圆的焦距，长轴的长和短轴的长．
得，即
m=
=2，得，
=2
2
20．（10分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点A在抛物线C上运动．
（1）当点A，P满足=﹣2，求动点P的轨迹方程；
（2）设M（m，0），其中m为常数，m∈R+，点A到M的距离记为d，求d的最小值．
的坐标，由
，则
，所以=
=，所以（
=
21．（12分）已知点A（﹣2，0），B（2，0）
（1）过点A斜率的直线l，交以A，B为焦点的双曲线于M，N两点，若线段MN的中点到y轴的距离为1，求该双曲线的方程；
（2）以A，B为顶点的椭圆经过点C（1，），过椭圆的上顶点G作直线s，t，使s⊥t，直线s，t分别交椭圆于点P，Q（P，Q与上顶点G不重合）．求证：PQ必过y轴上一定点．
（
=，∴
，∴，∴a=b
，∴
；
设椭圆方程为，）可得，，
﹣
x=
）
，
=
﹣（
﹣
）。