隆尧县高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

隆尧县高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 点A 是椭圆
上一点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，I 是△AF 1F 2
的内心．若，则该椭圆的离心率为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 已知函数()21
11
x f x x ++=+，则曲线()y f x =在点()()11f ，处切线的斜率为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2
-3． 如图在圆中，，是圆互相垂直的两条直径，现分别以，，，为直径作四个O AB CD O OA OB OC OD 圆，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（
）
O D
A
B
C
O A ．
B ．
C ．
D ．
π
1
π
21
π
1
21-π
2141-【命题意图】本题考查几何概型概率的求法，借助圆这个载体，突出了几何概型的基本运算能力，因用到圆的几何性质及面积的割补思想，属于中等难度．4． 已知双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点，是两曲线的一个公共点，若
4
sin
π
21F F 、P ，则双曲线的离心率等于（ ）2
1
cos 21=
∠PF F A ． B ． C ． D ．
2
52627
5． 如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离1111ABCD A B C D -P 11BB C C P BC 11C D 相等，则动点的轨迹所在的曲线是（
）
P
A 1
C A.直线
B.圆
C.双曲线
D.抛物线
【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力.
6． 已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主（正）视图和俯视图如下，则它的左（侧）视图是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 底面为矩形的四棱锥P -ABCD 的顶点都在球O 的表面上，且O 在底面ABCD 内，PO ⊥平面ABCD ，当四棱锥P -ABCD 的体积的最大值为18时，球O 的表面积为（ ）
A ．36π
B ．48π
C ．60π
D ．72π
8． 执行如图所示的程序，若输入的，则输出的所有的值的和为（ ）
3x x A ．243 B ．363 C ．729 D ．1092
【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．9．执行如图的程序框图，则输出S的值为（）
A ．2016
B ．2
C ．
D ．﹣1
10．在平面直角坐标系
中，向量
＝(1，2)，
＝(2，m)，若O ，A ，B 三点能构成三角形，则
（ ）A ． B ． C ． D ．
11．设向量，满足：||=3，||=4， =0．以，，﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
12．在中，角，，的对边分别是，，，为边上的高，，若
ABC ∆A B C BH AC 5BH =，则到边的距离为（ ）
2015120aBC bCA cAB ++=
H AB A ．2 B ．3
C.1 D ．4
13．设函数F （x ）=是定义在R 上的函数，其中f （x ）的导函数为f ′（x ），满足f ′（x ）＜f （x ）对于x
∈R 恒成立，则（
）
A ．f （2）＞e 2f （0），f
B ．f （2）＜e 2f （0），f
C ．f （2）＞e 2f （0），f
D ．f （2）＜e 2f （0），f
14．设函数y=x 3与y=（）x 的图象的交点为（x 0，y 0），则x 0所在的区间是（ ）
A ．（0，1）
B ．（1，2）
C ．（2，3）
D ．（3，4）
15．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点是边上的动点，记四面体的体M AB FMC E -积为，多面体的体积为，则（ ）1111]1V BCE ADF -2V =2
1
V V A ．
B ．
C ．
D ．不是定值，随点的变化而变化
4
1
3
1
2
1
M
二、填空题
16．在（1+x ）（x 2+）6的展开式中，x 3的系数是 ．17．给出下列命题：①存在实数α，使
②函数是偶函数
③
是函数
的一条对称轴方程
④若α、β是第一象限的角，且α＜β，则sin α＜sin β其中正确命题的序号是 ． 18．二项式
展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，则其常数项为 ．
19．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】函数的单调增区间是__________．
()3
f x x x =-+三、解答题
20．已知：函数f （x ）=log 2
，g （x ）=2ax+1﹣a ，又h （x ）=f （x ）+g （x ）．
（1）当a=1时，求证：h （x ）在x ∈（1，+∞）上单调递增，并证明函数h （x ）有两个零点；（2）若关于x 的方程f （x ）=log 2g （x ）有两个不相等实数根，求a 的取值范围．
21．（本题满分15分）
如图，已知长方形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面
ABCD 2AB =1AD =M DC ADM ∆AM 平面．
⊥ADM ABCM （1）求证：；
BM AD ⊥（2）若，当二面角大小为
时，求的值．
)10(<<=λλDB DE D AM E --3
π
λ
【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．
22．已知函数f （x ）的定义域为{x|x ≠k π，k ∈Z}，且对定义域内的任意x ，y 都有f （x ﹣y ）=成立，且f （1）=1，当0＜x ＜2时，f （x ）＞0．（1）证明：函数f （x ）是奇函数；
（2）试求f （2），f （3）的值，并求出函数f （x ）在[2，3]上的最值．　
23．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数，()()323
1312
f x x k x kx =-+++其中.
k R ∈（1）当时，求函数在上的值域；
3k =()f x []0,5
（2）若函数在上的最小值为3，求实数的取值范围.
()f x []1,2k 24．已知矩阵A ＝，向量＝.求向量
，使得A 2＝.
25．在直角坐标系xOy 中，过点P （2，﹣1）的直线l 的倾斜角为45°．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cos θ，直线l 和曲线C 的交点为A ，B ．（1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）求|PA|•|PB|．　
隆尧县高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：设△AF 1F 2的内切圆半径为r ，则S △IAF1
=|AF 1|r ，S △IAF2=|AF 2|r ，S △IF1F2=|F 1F 2|r ，∵
，
∴|AF 1|r=2
×|F 1F 2|r
﹣|AF 2|r ，
整理，得|AF 1|+|AF 2
|=2|F 1F 2|．∴a=2，∴椭圆的离心率e===
．
故选：B ．　
2． 【答案】A 【解析】
试题分析：由已知得()2112x f x x x -=
=-，则()21
'f x x
=，所以()'11f =．考点：1、复合函数；2、导数的几何意义.3． 【答案】C
【解析】设圆的半径为，根据图形的对称性，可以选择在扇形中研究问题，过两个半圆的交点分别O 2OAC 向，作垂线，则此时构成一个以为边长的正方形，则这个正方形内的阴影部分面积为
，扇形
OA OC 112
-π
的面积为，所求概率为．OAC ππ
π
π
1
2112
-=
-=P 4． 【答案】C 【解析】
试题分析：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，，，且不妨设
1a 2a c 2m PF =1n PF =2，由，得，，又，由余弦定理可知：n m >12a n m =+22a n m =-21a a m +=21a a n -=2
1
cos 21=
∠PF F ∴，，，设双曲线的离心率为，则
，解mn n m c -+=22242
221234a a c +=∴432
221=+∴c a c a 432
2122=+e
）（得.故答案选C ．
2
6
=e 考点：椭圆的简单性质．
【思路点晴】本题主要考查圆锥曲线的定义和离心率.根据椭圆和双曲线的定义，由为公共点，可把焦半径
P 、的长度用椭圆的半长轴以及双曲线的半实轴来表示，接着用余弦定理表示
1PF 2PF 21,a a ，成为一个关于以及的齐次式，等式两边同时除以，即可求得离心率.圆锥曲线问题2
1cos 21=
∠PF F 21,a a 2
c 在选择填空中以考查定义和几何性质为主.5． 【答案】D.
第Ⅱ卷（共110分）
6． 【答案】A
【解析】解：由题意可知截取三棱台后的几何体是7面体，左视图中前、后平面是线段， 上、下平面也是线段，轮廓是正方形，AP 是虚线，左视图为：
故选A ．
【点评】本题考查简单几何体的三视图的画法，三视图是常考题型，值得重视．　
7． 【答案】
【解析】选A.设球O 的半径为R ，矩形ABCD 的长，宽分别为a ，b ，则有a 2＋b 2＝4R 2≥2ab ，∴ab ≤2R 2，
又V 四棱锥P －ABCD ＝S 矩形ABCD ·PO
13
＝abR ≤R 3.
13
2
3∴R 3＝18，则R ＝3，2
3
∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝36π，选A.8． 【答案】D
【解析】当时，是整数；当时，是整数；依次类推可知当时，是整数，则
3x =y 2
3x =y 3(*)n
x n N =∈y 由，得，所以输出的所有的值为3，9，27，81，243，729，其和为1092，故选D ．
31000n
x =≥7n ≥x 9． 【答案】B
【解析】解：模拟执行程序框图，可得s=2，k=0
满足条件k ＜2016，s=﹣1，k=1满足条件k ＜2016，s=，k=2满足条件k ＜2016，s=2．k=3满足条件k ＜2016，s=﹣1，k=4满足条件k ＜2016，s=，k=5…
观察规律可知，s 的取值以3为周期，由2015=3*671+2，有满足条件k ＜2016，s=2，k=2016
不满足条件k ＜2016，退出循环，输出s 的值为2．故选：B ．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出前几次循环得到的s ，k 的值，观察规律得到s 的取值以3为周期是解题的关键，属于基本知识的考查．　
10．【答案】B
【解析】【知识点】平面向量坐标运算
【试题解析】若O ，A ，B 三点能构成三角形，则O ，A ，B 三点不共线。

若O ，A ，B 三点共线，有：-m=4，m=-4．故要使O ，A ，B 三点不共线，则。

故答案为：B 11．【答案】B
【解析】解：∵向量ab=0，∴此三角形为直角三角形，三边长分别为3，4，5，进而可知其内切圆半径为1，∵对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，
对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．故选B
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．可采用数形结合结合的方法较为直观．　
12．【答案】D 【解析】
考
点：1、向量的几何运算及平面向量基本定理；2、向量相等的性质及勾股定理.
【方法点睛】本题主要考查向量的几何运算及平面向量基本定理、向量相等的性质及勾股定理，属于难题，平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线性运算问题时，注意两个向量的差
，这是一个易错点，两个向量的和（点是的中点）,另外，要选好基底
OA OB BA -= 2OA OB OD +=
D AB 向量，如本题就要灵活使用向量，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几
,AB AC
何意义等.13．【答案】B 【解析】解：∵F （x ）=，
∴函数的导数F ′（x ）==
，
∵f ′（x ）＜f （x ），∴F ′（x ）＜0，
即函数F （x ）是减函数，
则F （0）＞F （2），F （0）＞F ＜e 2f （0），f ，故选：B
14．【答案】A
【解析】解：令f （x ）=x 3﹣
，
∵f′（x）=3x2﹣ln=3x2+ln2＞0，
∴f（x）=x3﹣在R上单调递增；
又f（1）=1﹣=＞0，
f（0）=0﹣1=﹣1＜0，
∴f（x）=x3﹣的零点在（0，1），
∵函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x0，y0），
∴x0所在的区间是（0，1）．
故答案为：A．
15．【答案】B
【解析】
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
二、填空题
16．【答案】　20　．
【解析】解：（1+x）（x2+）6的展开式中，
x3的系数是由（x2+）6的展开式中x3与1的积加上x2与x的积组成；
又（x2+）6的展开式中，
通项公式为T r+1=•x12﹣3r，
令12﹣3r=3，解得r=3，满足题意；
令12﹣3r=2，解得r=，不合题意，舍去；
所以展开式中x 3的系数是=20．
故答案为：20．　
17．【答案】　②③　．
【解析】解：①∵sin αcos α=sin2α∈[，]，∵＞，∴存在实数α，使错误，故①
错误，②函数=cosx 是偶函数，故②正确，
③当
时，
=cos （2×
+
）=cos π=﹣1是函数的最小值，则
是函数
的一条对称轴方程，故③正确，
④当α=
，β=
，满足α、β是第一象限的角，且α＜β，但sin α=sin β，即sin α＜sin β不成立，故④错误，
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，考查学生的运算和推理能力．　
18．【答案】　70　．
【解析】解：根据题意二项式展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，
则n=8，所以二项式
=
展开式的通项为
T r+1=（﹣1）r C 8r x 8﹣2r 令8﹣2r=0得r=4则其常数项为C 84=70故答案为70．
【点评】本题考查二项式定理的应用，涉及二项式系数的性质，要注意系数与二项式系数的区别．　
19．
【答案】(【解析】 ,所以增区间是(
)2310f x x x ⎛=-+>⇒∈ ⎝'
⎛ ⎝三、解答题
20．【答案】
【解析】解：（1）证明：h（x）=f（x）+g（x）=log2+2x，
=log2（1﹣）+2x；
∵y=1﹣在（1，+∞）上是增函数，
故y=log2（1﹣）在（1，+∞）上是增函数；
又∵y=2x在（1，+∞）上是增函数；
∴h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增；
同理可证，h（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增；
而h（1.1）=﹣log221+2.2＜0，
h（2）=﹣log23+4＞0；
故h（x）在（1，+∞）上有且仅有一个零点，
同理可证h（x）在（﹣∞，﹣1）上有且仅有一个零点，
故函数h（x）有两个零点；
（2）由题意，关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根可化为1﹣=2ax+1﹣a在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）上有两个不相等实数根；故a=；
结合函数a=的图象可得，
＜a＜0；
即﹣1＜a＜0．
【点评】本题考查了复合函数的单调性的证明与函数零点的判断，属于中档题．　
21．【答案】（1）详见解析；（2）.3λ=
【解析】（1）由于，，则，
2AB =AM BM ==AM BM ⊥又∵平面平面，平面平面＝，平面，
⊥ADM ABCM ADM ABCM AM ⊂BM ABCM ∴平面，…………3分
⊥BM ADM 又∵平面，∴有；……………6分
⊂AD ADM BM AD ⊥
22．【答案】
【解析】（1）证明：函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称．
又f（x﹣y）=，
所以f（﹣x）=f[（1﹣x）﹣1]====
==，
故函数f（x）奇函数．
（2）令x=1，y=﹣1，则f （2）=f[1﹣（﹣1）]= =
，
令x=1，y=﹣2，则f （3）=f[1﹣（﹣2）]= =
=
，
∵f （x ﹣2）==
，
∴f （x ﹣4）=，
则函数的周期是4．
先证明f （x ）在[2，3]上单调递减，先证明当2＜x ＜3时，f （x ）＜0，设2＜x ＜3，则0＜x ﹣2＜1，则f （x ﹣2）=，即f （x ）=﹣
＜0，
设2≤x 1≤x 2≤3，
则f （x 1）＜0，f （x 2）＜0，f （x 2﹣x 1）＞0，则f （x 1）﹣f （x 2）=，
∴f （x 1）＞f （x 2），
即函数f （x ）在[2，3]上为减函数，
则函数f （x ）在[2，3]上的最大值为f （2）=0，最小值为f （3）=﹣1．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及函数的最值及其几何意义等有关知识，综合性较强，难度较大．　
23．【答案】（1）;（2）.[]1,212k ≥【解析】试题分析：（1）求导，再利用导数工具即可求得正解；（2）求导得，再()'f x =()()31x x k --分和两种情况进行讨论；1k ≤1k >试题解析：（1）解： 时，3k =()3
2
691
f x x x x =-++ 则()()()2
3129313f x x x x x =-+=--'
令得列表
()0f x '=121,3x x ==x 0
()
0,11
()
1,33()
3,53
()f x '+
0 -0
+()
f x 1
单调递增5
单调递减
1
单调递增
21
由上表知函数的值域为()f x []
1,21
（2）方法一：()()()()
2
331331f x x k x k x x k =-++=--'①当时，，函数在区间单调递增1k ≤[]()1,2,'0x f x ∀∈≥()f x []1,2所以()()()min 3
1113132
f x f k k ==-+++= 即（舍） 5
3
k =
②当时，，函数在区间单调递减
2k ≥[]()1,2,'0x f x ∀∈≤()f x []1,2 所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+= 符合题意
③当时,
12k <<当时，区间在单调递减
[)1,x k ∈()'0f x <()f x [)1,k 当时，区间在单调递增(],2x k ∈()'0f x >()f x (],2k 所以()()()322min 3
13132
f x f k k k k k ==-+++=化简得：32340k k -+=即()()2
120
k k +-=所以或（舍）
1k =-2k =注：也可令()3
2
34
g k k k =-+则()()2
3632g k k k k k =='--对()()1,2,0
k g k ∀∈'≤在单调递减
()3234g k k k =-+()1,2k ∈所以不符合题意
()02g k <<综上所述：实数取值范围为k 2
k ≥方法二：()()()()
2
331331f x x k x k x x k =-++=--'①当时，，函数在区间单调递减2k ≥[]()1,2,'0x f x ∀∈≤()f x []1,2 所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+= 符合题意 …………8分
②当时，，函数在区间单调递增
1k ≤[]()1,2,'0x f x ∀∈≥()f x []1,2所以不符合题意()()min 23f x f <=
③当时,
12k <<当时，区间在单调递减
[)1,x k ∈()'0f x <()f x [)1,k
当时，区间在单调递增(],2x k ∈()'0f x >()f x (],2k 所以不符合题意()()()min 23f x f k f =<=综上所述：实数取值范围为k 2k ≥24．【答案】＝【解析】A 2＝.
设
＝
.由A 2＝，得
，从而
解得x ＝-1，y ＝2，所以＝25．【答案】
【解析】（1）∵ρsin 2θ=4cos θ，∴ρ2sin 2θ=4ρcos θ，…∵ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，
∴曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x …
（2）∵直线l 过点P （2，﹣1），且倾斜角为45°．∴l 的参数方程为（t 为参数）．…
代入 y 2=4x 得t 2﹣6t ﹣14=0…
设点A ，B 对应的参数分别t 1，t 2
∴t 1t 2=﹣14…∴|PA|•|PB|=14．…　。