三角形重难点突破 人教版八年级数学上册(含解析)

三角形重难点突破
突破1 三角形(一) 三边关系
类型一三边关系定三角形
1.在学习“认识三角形”一节时,小颖用四根长度分别为2 cm,3 cm,4 cm,5 cm的小棒摆三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是( )
A.9 cm
B.10 cm
C.11 cm
D.12 cm
2.三边均为互不相等的整数，周长为15，这样的三角形有( )
A.3个
B.5个
C.7个
D.9个
类型二三边关系求范围
3.已知三角形的三边分别为2，a-1，4，那么a 的取值范围是.
4.已知△ABC的三边长分别为4,9,x.当△ABC 的周长为偶数时,x的值为.
类型三三边关系去绝对值
5.已知a,b,c 是三角形的三条边,则化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为.
6.若a,b,c分别是三角形的三边,化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a+b|的结果为.
类型四三边关系取舍值
7.已知等腰三角形的周长为18，一边长为4，则它的底边长是( )
A.4
B.10
C.4 或7
D.4 或10
8.已知等腰△ABC中,AB=8,BC=x+2,AC=2x,求△ABC 的周长.
类型五三边关系列不等式组
9.已知△ABC 的三边长分别为a,b,c.
(1)化简式子|a−b+c|+|a−b−c|=_____________;
(2)若a=x+8,b=3x—2,c=x+2,则x 的取值范围是.
10.已知a,b,c 是△ABC的三边长,若b=2a-1,c=a+5,且△ABC 的周长不超过20，求a 的取值范围.
类型六三边关系求最值
11.如图,将四根长度分别为3c m,5 cm,7 cm,8 cm的木条钉成一个四边形木架,扭动它，它的形状会发生改变，在变化过程中，点B 和点D 之间的距离可能是( )
A.1 cm
B.4 cm
C.9 cm
D.12 cm
12.如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,D 为BC上一动点,将△ACD沿AD 翻折得到△AED,连接BE,则BE 的最小值是.
突破2 三角形(二) 三种线段
类型一三角形的高
1.如图,AD⊥BC 于点D,GC⊥BC 于点C,CF⊥AB 于点F,图中是△ABC 的高的线段有( )
A.1条
B.2条
C.3 条
D.4 条
类型二三角形的中线
2.如图,在△ABC 中,AB=8,AC=5,AD 为中线,则. △ABD与△ACD的周长之差为.
3.如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,点E 在边AB 上, △BDE与四边形ACDE 的周长相等.
(1)求证:BE=AE+AC;
(2)若AB=10,AC=6,求AE的长.
类型三三角形的角平分线
4.已知AE 是△ABC的平分线,D 是射线BC 上一点,连接AD.若∠BAD=60°,∠CAD=30°,求∠BAE 的度数.
类型四“三线”综合
5.如图,在△ABC中，AD 是高，AE 是角平分线，AF 是中线，则下列说法错误的是( )
A.BF=CF
B.∠C+∠CAD=90°
C.∠BAF=∠CAF
D.S ABC=2S ABF
突破3 三角形(三) 求面积
类型一多中线求面积
1.如图,已知AD 是△ABC 的中线,CE 是△ACD 的中线,若△ABC 的面积为12,则△CDE 的面积为.
2.如图,BD 是△ABC 的中线,点E,F 分别为BD,CE 的中点,若△AEF 的面积为4cm²,,则△ABC 的面积是( )
A.12cm²
B.16cm²
C.20cm²
D.24cm²
3.如图,△ABC 的三条中线AD,BE,CF 交于点O,S阴影部分==6,则S△ABC为( )
A.16
B.18
C.24
D.不能确定
类型二中线+线段比求面积
4.如图,在△ABC 中,D 是AB 的中点,且AE : CE=3: 1,S△CEP =1,则S△BPC== .
5.如图,在△ABC 中,E 为边AC 的中点,点D 在边BC 上,BD:CD=5:8,AD,BE交于点F,若△ABC 的面积为26,则S_{ \triangle AEF}-S_{ \triangle BDF} 的值为.
C
突破4 三角形(四) 面积法
类型一三高图与面积法
1.在Rt△ABC 中, ∠ACB=90°,AC=8,BC=6,AB=10,，则AB 边上的高的长度是.
类型二平行线与面积法
2.如图,在长方形ABCD 中,F 是BC 上(不与B,C 重合)的任意一点,图中面积一定相等的三角形有对.
类型三垂线段与面积法
3.如图,△ABC 是等腰三角形,O 是底边BC 上任意一点,过点O 作( OE⊥AB 于点E,作OF⊥AC于点F,若( OE+OF=3,△ABC的面积为12,则AB 的长为.
类型四线段比与面积法
的值
4.如图,在△ABC中,AD 是中线, DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F,若A AB=6 cm,AC=4 cm,则DE
DF
为.
类型五线段最值与面积法
5.如图,在△ABC中,BC=9,D,E分别是CB,AB 上的点,( CD=2BD,AE=3BE,连接AD,CE 交于点F.当四边形
时，AB长度的最小值为.
BEFD 的面积为17
4
突破5 三角形(五) 内角和
类型一 内角和+内角关系
1.在△ABC 中,∠B=3∠A,∠C=2∠A+60°,求△ABC 各个内角的度数.
2具备下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是( )
A.∠A+∠B=∠C
B.∠A =1
2∠B =1
3∠C C.∠A=2∠B=3∠C D.∠A:∠B:∠C═1:2:3
类型二 内角和十角分线
3如图,在△ABC 和△ACD 中,BD 平分∠ABC,∠ABC=∠ACD═56°,∠ACB=68°,则∠BDC 的度数为( )
A.56°
B.58°
C.22°
D.28°
4.如图,AD 是△ABC 的角平分线,∠BAC=2∠C,BE ⊥AC 于点E.(1)求证:∠CBE-∠ABE=∠C;
(2)若 DG 平分∠ADC,试说明 DG ∥BE.
类型三 内角和十平行线
5.如图,在 △ABC 中,E,G 分别是AB,AC 上的点,F,D 是BC 上的点,连接EF,AD,DG,AB ∥DG,∠1+∠2=180°.
(1)求证:. AD‖EF;
(2)若 DG 是 ∠ADC 的平分线， ∠2=140°,求 ∠B 的度数.
6如图,在四边形ABCD 中,∠ADC+∠C=202°,E 为对角线BD上一点,点F,G分别在AB,CD边上,且EF∥DA,EG ∥BC,求∠FEG 的度数.
7.如图,在△ABC 中,∠B=50°,∠C=α,D是AB上一点,E是AC上一点,∠ADE=50°,F 为线段BC 上一点,连接EF,过点D 作DG∥AC 交EF 于点G,
(1)若α=70°,求∠EDG 的度数;
(2)若∠FEC=2∠DEF,3∠DGF=2∠BFG,求α的值.
类型四内角和十垂线
8.在△ABC中,∠B=2∠C,AE平分∠BAC.
(1)如图1,若AD⊥BC于点D,∠C=35°,求∠DAE 的度数;
(2)如图2,若EF⊥AE交AC于点F,求证:∠C=2∠FEC.
突破6 三角形(六) 外角
类型一外角+内角
1.如图,在△ABC 中,∠B=45°,∠C=38°,E 是BC 边上一点,ED 交CA 的延长线于点D,交AB 于点F,∠D=32°.求∠BFE 的度数.
C
类型二外角+外角
2.如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,则∠1,∠2,∠3的数量关系为( )
A.∠3=∠2+∠1
B.∠3=∠2+2∠1
C.∠3+∠2+∠1=180°
D.∠1+∠3=2∠2
类型三外角+等角
3.如图,∠BAE=∠AEB,∠CAD=∠ADC,∠DAE=28°,则∠BAC 的度数为.
D
4.如图,在△ABC 中,∠BAC=∠ACB,M,N 为BC 上两点,且∠BAM=∠CAN,∠MAN=∠AMN,求∠MAC 的度数.
类型四外角+平行线
5.如图,在△ABC 中,E 和F 分别是AC,BC上一点,EF∥AB,∠BCA 的平分线交AB 于点D,∠MAC 是△ABC 的外角,若∠MAC=α,∠EFC=β,∠ADC=γ,则α,β,γ三者间的数量关系是( )
A.β=α+γ
B.β=2γ-α
C.β=α+2γ
D.β=2α-2γ
6.如图,在△ABC 中,D 为BC 上一点,∠C=∠BAD,△ABC 的角平分线BE 交AD 于点F. G 为BC上一点,FE 平分∠AFG.求证:FG∥AC.
类型五外角+方程思想
7.如图,在△ABC 中,∠B=∠C,D 为BC 边上的一点,点E 在AC 边上,∠ADE=∠AED,若∠BAD=24°,则∠CDE 的度数为( )
A.12°
B.14°
C.16°
D.24°
类型六外角+整体思想
8.在△ABC 中,∠A=α(40°<α<60°),点M 在△ABC 的内部,过点M 的直线分别交AB,AC 于点P,Q,若∠APQ=2∠ABM,∠AQP=2∠ACM,则∠BMC 的大小是( )
A.90°+α
B.135∘−α
2C.2αD.90∘+α
2
参考答案
突破1 三角形(一) 三边关系
1. B 解：当三角形三边长分别为2cm ,3cm,5cm 时,
∵2+3=5,不能构成三角形,
∴所摆成的三角形的周长不可能是10 cm,故选 B.
2. A 解:这样的三角形有:2,6,7;3,5,7;4,5,6.共3个,故选A.
3.3<a<7 解:依题意,得4-2<a-1<4+2,即2<a-1<6,
∴3<a<7.
4.7或9或11 解：∵三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，∴9-4<x<9+4,即5<x<13,
∴x 的取值范围是5<x<13.
∵△ABC 的周长x+4+9=x+13为偶数，
∴x为奇数.
∵5<x<13,
∴x 的值为7 或9 或11.
5.0 解:∵a,b,c 是三角形的三边长,∴a+b-c>0,c-a-b<0,∴原式=a+b-c+c-a-b=0,故答案为0.
6.-a+b+3c 解:依题意,得a-b-c<0,b-c-a<0,c-a+b>0,∴原式=-a+b+c-b+c+a+c-a+b=-a+b+3c.
7. A 解：当4 为底边时，该等腰三角形的腰长为(18-4)÷2=7.
∵7，7，4满足等腰三角形的三边关系，
∴该等腰三角形的底边长是4；当4为腰时，该等腰三角形的底边长为18-4×2=10.
∵10，4，4 不满足等腰三角形的三边关系，
∴该等腰三角形的底边长不能是10.故选 A.
8.解:分三种情况:(1)x+2=8,x=6,
△ABC的三边长分别为8,8,12,周长为28;
(2)2x=8,x=4,△ABC 的三边长分别为8,8,6,周长为22;
(3)2x=x+2,x=2,△ABC的三边长分别为8,4,4,但4+4=8,不能构成三角形，故舍去.综上所述,△ABC 的周长为22 或28.
9.解：(1)由三角形三边关系定理，得a+c>b,b+c>a,
∴|a-b+c|+|a-b- cl=a-b+c+b+c-a=2c;
(2)∵a=x+8,b=3x-2,c=x+2,
∴x+8+3x−2>x+2, 3x−2+x+2>x+8, x+2+x+8>3x−2,
∴8
3
<x<12.
10.解:由题意,
得a+5<2a−1+a,
a+5+a+2a−1≤20,
解得3<a≤4,
∴a的取值范围为3<a≤4.
11. C 解:连接BD.在△ABD 中,7 cm-5 cm<BD<7 cm+5 cm,即2cm <BD<12 cm.在△BCD中,8cm --3cm<BD<8cm +3cm,即5cm <BD<11cm,所以5 cm<BD<11 cm.故选C.
12.2 解:由折叠可知,AE=AC=8.在△ABE 中，由三角形三边关系可得BE>AB-AE.
当点E 落在AB 边上时，BE=AB-AE=10-8=2,∴BE≥2,
全科A早E 的最小值为2.
突破2 三角形(二) 三种线段
1. B 解:CF,AD 都是△ABC 的高,共2条,故选B.
2.3 解:∵AD 为中线,∴BD=CD,
则C△ABD—C△ACD =(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB+AD+BD-AC-AD-CD=AB-AC=8-5=3.
故答案为3.
3.解:(1)∵△BDE 与四边形ACDE的周长相等，
∴BD+DE+BE=AC+AE+CD+DE.
∵BD=DC,
∴BE=AE+AC;
(2)设AE=x,则BE=10-x,由(1)得 BE=AE+AC,
∴10-x=x+6,解得x=2,
∴AE=2.
4.解:∵AE 是△ABC 的平分线, ∴∠BAE =12∠BAC.
①如图1,当点 D 在边 BC 上时,∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+ 30°=90°,
∴∠BAE =12∠BAC =45∘;
②如图2，当点 D 在边 BC 的延长线上时,∠BAC=∠BAD-∠CAD= 60°−30°=30°, ∴∠BAE =12∠BAC =15∘.
综上所述,∠BAE 的度数为 45°或15°.
5. C 解:∵AF 是△ABC 的中线,∴BF=CF,A 正确,不符合题意;∵AD 是高,
∴∠ADC=90°,
∴∠C+∠CAD=90°,B 正确,不符合题意；
∵AE 是角平分线，
∴∠BAE=∠CAE,C 错误,符合题意；
∵BF=CF,
∴S ABC =2S ABF ,D 正确，不符合题意；故选 C.
突破3 三角形(三) 求面积
1.3 解:∵AD 是△ABC 的中线, ∴S ACD =12S ABC =12×12=6.∵CE 是△ACD 的中线, ∴S CDE =12S ACD =3.故答案为3.
2. B 解:∵F 是CE 的中点,
△AEF 的面积为 4 cm²,
∴S ACE =2S AEF =8cm 2.
∵E 是BD 的中点,
∴S △ADE=S △ABE,S △CDE=S △BCE,
∴S ACE =12S ABC ,
∴△ABC 的面积为16 cm².故选 B.
3. B 解:设S △COD=m,S △COE=n.
∵AD,BE,CF 都是△ABC 的中线,
∴S △AOE=n,S △BOD=m.
∵S BAE =S BCE ,
∴S △BAO=S △BCO=2m.
∵S △BOF=S △AOF,
S BOF =S AOF =m.
∵S ADB =S ADC ,
∴3m=2n+m,
∴m=n.
∵m+n=6,
∴m=3,S △ABC=6m=18.故选 B.
4.4 解:连接 PA.
∵D 是AB 的中点,
∴S △ADC=S △BCD,S △PAD=S △PBD,
∴S △BPC=S △APC,
∵AE:CE=3:1,S △CEP=1,
∴S AEP =3S CEP =3,
∴S △APC=4,
∴S △BPc=4,
故答案为4.
5.3 解:∵E 为AC 的中点,
∴S ABE =12S ABC =12×26=13.
∵BD:CD=5:8,
∴S ABD =513S ABC =513×26=10,
∴S AEF −S BDF =(S ABE −S ABF ) −(S ABD −S ABF )=S ABE −S △ABD=13-10=3.
突破 4 三角形(四) 面积法
1.4.8 解:过点 C 作CD ⊥AB 于点D.
∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,AB=10,
∴S ABC =12AB ⋅CD =12AC.BC,
∴CD =AC ⋅BC AB =8×610=4.8.
2.5 解:∵S △ABD=S △CBD=S △ADF= 12S 长方形ABCD,
∴circle1S ABD =S CBD ,
②S △ABD=S △ADF,
③S △CBD=S △ADF·
∵BF ∥AD,
∴④S △ABF=S △BDF·
∵S △ABF—S △BEF=S △DBF—S △BEF,
∴⑤S △ABE=S △DEF,共有 5 对.
3.8 解:连接OA.设AB=x,则AC=AB=x.
∵S ABC =S ABO +S AOC ,
∴12AB ⋅OE +12AC ⋅OF =12,
即 12x ×3=12,解得x=8,所以 AB
=8.故答案为8.
4.2/3解:∵在△ABC 中,AD 为中线，
∴BD=DC.
∴S △ABD=S △ADC.
∵DE ⊥AB 于点 E,DF ⊥AC 于点F,AB=6,AC=4.
∴12AB ⋅ED =12AC ⋅DF,
∴12×6×ED =12×4×DF,
∴DE DF =46=23.5.22/3解:连接 BF,过点 A 作AH ⊥CB,交CB 的延长线于点H.
设S △EBF=a,S △DBF=b,
则S △AEF=3a,S △CDF=2b,
S △ACF=2S △ABF=8a,
S △ACF=3S △BCF=9b,
∴8a=9b,
∴b =89a,
∴S 圆锥侧BEFD =
179a =174, ∴a =94,
∴S ABD =11,即 12BD ⋅AH =11.
∵BD=3,
∴AH =223
. ∵AB ≥AH =
223,∴AB 的最小值为22/3.
突破 5 三角形(五) 内角和
1.解：由三角形的内角和定理，得∠A+∠B+∠C=180°.
∵∠B=3∠A,∠C=2∠A+60°,
∴∠A +3∠A +2∠A +60°=180°,解得∠A=20°,
∴∠B=3∠A=60°,∠C=2∠A+ 60°=2×20°+60°=100°,
∴△ABC 各个内角的度数分别为∠A=20°,∠B=60°,∠C=100°.
2. C
3. D 解:∵BD 平分∠ABC,∠ABC=56°,
∴∠DBC =12∠ABC =28∘.
∵∠ACD=56°,∠ACB=68°,
∴∠BCD = ∠ACB + ∠ACD =124°,
∴∠BDC =180°−∠DCB−∠DBC =28°.故选 D.
4.解:(1)设∠C=x,则∠BAC=2∠C=2x.
∵BE ⊥AC,
∴∠BEC=∠BEA=90°,
∴∠CBE =90°−∠C =90°−x , ∠ABE =90°−∠BAC =90°−2x,
∴∠CBE−∠ABE =90°−x−(90°-2x)=x,
即∠CBE--∠ABE=∠C;
(2)设∠C=x,
则∠BAC=2∠C=2x.
∵AD 是△ABC 的角平分线,
∴∠DAC =12∠BAC =x,
∴∠ADC =180°−∠DAC−∠C = 180°−2x.
∵DG 平分∠ADC,
∴∠CDG =12∠ADC =12(180∘−2x)=90°-x.
由(1)知∠CBE=90°-x,
∴∠CDG=∠CBE,
∴DG ∥BE.
5.解:(1)∵AB ∥DG,
∴∠1=∠DAE.
∵∠1+∠2=180°,
∴∠DAE+∠2=180°,
∴AD ∥EF;
(2)∵AD ∥EF,∠2=140°,
∴∠DAE=180°-∠2=180°-140°=40°.
∵AB ∥DG,
∴∠1=∠DAE=40°.
∵DG 是∠ADC 的平分线,
∴∠CDG=∠1=40°.
∵AB ∥DG,
∴∠B=∠CDG=40°.
6.解:∵EF ∥DA,EG ∥BC,
∴∠DEG=∠DBC,∠BFE=∠A.
∵∠DEF=∠BFE+∠ABD=∠A+∠ABD,
∴∠FEG=∠DEF+∠DEG=∠A+ ∠ABD + ∠DBC = ∠A +∠ABC.
∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°,∠ADC+∠C=202°,
∴∠FEG=∠A+∠ABC=360°-202°=158°.
7.解:(1)∵∠B=∠ADE=50°,
∴DE ∥BC,
∴∠AED=∠C=70°.
∵DG ∥AC,
∴∠EDG=∠AED=70°;
(2)∵DE ∥BC,
∴∠AED=∠C=α,
∴∠DEC=180°-α.
∵∠FEC=2∠DEF,
∴∠DEF =13∠DEC =60∘−13α,
∴∠DGE = ∠CEF = 2∠DEF = 120∘−23α,∠EFC =∠DEF =60∘ −13α,
∴∠DGF =180°--∠DGE =60°+ 23α,∠BFG =180∘−∠EFC =120∘ +13α.
∵3∠DGF=2∠BFG,
∴360∘+23α=2120∘+13α,解得α=45°.8.解:(1)∵∠C=35°,∠B=2∠C,
∴∠B=70°,
∴∠BAC=75°.
∵AE 平分∠BAC,
∴∠EAC=37.5°.
∵AD ⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴∠DAC=90°-35°=55°,
∴∠DAE=55°—37.5°=17.5°;
(2)过点 A 作AD ⊥BC 于点 D.
∵EF ⊥AE,
∴∠AEF=90°,
∴∠AED+∠FEC=90°.
∵∠DAE+∠AED=90°,
∴∠DAE=∠FEC.
∵AE 平分∠BAC,
∴∠EAC =12∠BAC =12(180∘− ∠B−∠C)=12(180∘−3∠C )=90∘ −32∠C,
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=(90°
−∠C)−90∘−32∠C =12∠C, ∴∠FEC =12∠C,
∴∠C=2∠FEC.
突破 6 三角形(六) 外角
1.解:∵∠D=32°,∠C=38°,∴∠BED=∠D+∠C=32°+38°=70°.
∵∠B+∠BED+∠BFE=180°,
∴∠BFE=180°-∠B--∠BED=180°—45°-70°=65°.
2. D 解:∵AD 平分∠BAC,
∴可设∠DAC=∠BAD=x,
∴∠2=∠1+x,∠3=∠2+x,
∴x=∠3-∠2,
∴∠2=∠1+∠3-∠2,
∴∠1+∠3=2∠2.故选 D.
3.56° 解:设∠CAE=α,则∠CAD=∠ADC=28°+α,∴∠BEA = ∠BAE = ∠ADC +∠DAE=56°+α,∴∠BAC+∠CAE=56°+α,
∴∠BAC=56°.
4. 解: 设 ∠BAM = ∠CAN = α,∠MAN=∠AMN=β,
则∠BAC = ∠ACB = 2α + β,∠MAC=α+β.
在△ACM 中,∠MAC + ∠C +∠AMC=180°,
∴α+β+(2α+β)+β=180°,
∴α+β=60°,
∴∠MAC=α+β=60°.
5. B 解:∵EF∥AB,∠EFC=β,
∴∠B=∠EFC=β.
∵CD 平分∠BCA,
∴∠ACB=2∠BCD.
∵∠ADC 是△BDC 的外角,
∴∠ADC=∠B+∠BCD.
∵∠ADC=γ,
∴∠BCD=γ-β.
∵∠MAC 是△ABC 的外角,
∴∠MAC=∠B+∠ACB.
∵∠MAC=α,
∴α=β+2(γ-β),即β=2γ-α,故选 B.
6.证明:∵BE 平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE.
∵∠BAD=∠C,
∴∠ABE + ∠BAD = ∠CBE +∠C.
∵∠AFE = ∠ABE + ∠BAD,∠AEF=∠CBE+∠C,
∴∠AEF=∠AFE.
∵FE平分∠AFG,
∴∠AFE=∠GFE,
∴∠AEF=∠GFE,
∴FG∥AC.
7. A 解:设∠CDE=x,∠B=∠C=y,∠AED 是△CDE 的一个外角,∴∠AED=x+y=∠ADE,
∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=x+y+x=2x+y,
∠ADC 是△ABD 的一个外角,
∴∠BAD=∠ADC--∠B=2x+y
-y=2x=24°,
∴x=12°,
∴∠CDE=12°.
8. D 解:∵在△APQ 中,∠A=α,∴∠APQ+∠AQP=180°-∠A=180°-α.
∵∠APQ = ∠PMB + ∠PBM =2∠PMB,∠AQP = ∠QMC + ∠QCM =2∠QMC, ∴∠PMB +∠QMC =12(∠APQ + ∠AQP)=12(180∘−α)=90∘−12α,
∴∠BMC = 180°− (∠PMB + ∠QMC)=180∘−90∘−12α=90∘ +12α.故选 D.。