教学设计1：7.1.1 角的推广

7.1.1 角的推广
教学目标
1.了解角的概念的推广及角的分类．
2.理解象限角与轴线角的定义．
3．掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置．
教学知识梳理
1．角的有关概念
(1)角的形成：角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)角的组成：
顶点：用O表示；
始边：用OA表示；
终边：用OB表示．
(3)记法：以OA为始边，OB为终边的角记作∠AOB，
以OB为始边，OA为终边的角记作∠BOA．
(4)引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α－β可以化为α＋(－β)．这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和．
2．角的分类
(1)
(2)
3．终边相同角的表示
教学检测
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)第一象限角都是锐角．()
(2)终边与始边重合的角是零角．()
(3)终边相同的角一定相等．()
【答案】(1)×(2)×(3)×
2．2 018°是()
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】C
3．与30°角终边相同的角的集合是()
A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}
C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}
D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}
【解析】由终边相同的角的定义可知与30°角终边相同的角的集合是{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}．
【答案】A
4．将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为________．
【答案】－25°395°
教学案例
探究点角的概念的辨析问题
例1在下列说法中：
①0°～90°的角是第一象限角；
②第二象限角大于第一象限角；
③钝角都是第二象限角；
④小于90°的角都是锐角．
其中错误说法的序号为________．
【解析】①0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不属于任何象限，所以①不正确．
②120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以②不正确．
③钝角的范围是(90°，180°)，显然是第二象限角，所以③正确．
④锐角的范围是(0°，90°)，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确．
【答案】①②④
方法归纳
与角的概念有关问题的解决方法
正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
跟踪训练如图，射线OA绕端点O旋转90°到射线OB的位置，接着再旋转－30°到OC的位置，则∠AOC的度数为________．
【解析】∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝90°＋(－30°)＝60°.
【答案】60°
探究点2终边相同的角及象限角、轴线角
例2在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；
(2)[360°，720°)的角．
【解】(1)与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，
由－360°<k·360°＋10 030°<0°，得－10 390°<k·360°<－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.
(2)由360°≤k·360°＋10 030°<720°，得－9 670°≤k·360°<－9 310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.
方法归纳
(1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤
①写出在[0°，360°)内相应的角；
②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；
③根据条件能合并一定合并，使结果简洁．
(2)终边相同角常用的三个结论
①终边相同的角之间相差360°的整数倍；
②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；
③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
(3)象限角的判定方法
①根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系；
②将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．
跟踪训练 1.－215°是()
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【解析】由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．【答案】B
2．若角2α与240°角的终边相同，则α＝()
A．120°＋k·360°，k∈Z B．120°＋k·180°，k∈Z
C．240°＋k·360°，k∈Z D．240°＋k·180°，k∈Z
【解析】角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.选B.
【答案】B
3．终边在直线y＝－x上的角的集合S＝________．
【解析】由题意可知，终边在直线y＝－x上的角有两种情况：①当终边在第二象限时，可知{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}；②当终边在第四象限时，可知{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}．综合①②可得，终边在直线y＝－x上的角的集合S＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．【答案】{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}
探究点3区域角及其表示方法
例3如图所示，
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
【解】(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}．
终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．
(2)终边落在阴影部分的角的集合为{α|30°＋k·360°≤α≤60°＋k·360°，k∈Z}．
方法归纳
区域角及其表示方法
区域角是指终边落在平面直角坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步：
(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}；
(3)根据旋转的观点把起始、终止边界对应角α、β加上k·360°(k∈Z)．
跟踪训练如图所示，写出终边在阴影部分的角的集合(虚线表示不含边界，实线表示包含边界)．
【解】终边落在第一象限阴影部分的角的集合为S1＝{α|k·360°＋45°＜α≤k·360°＋90°，k ∈Z}，终边落在第三象限阴影部分的角的集合为S2＝{α|k·360°＋225°＜α≤k·360°＋270°，k
∈Z }．所以图中，适合题意的角的集合为S ＝S 1∪S 2＝{α|k ·360°＋45°＜α≤k ·360°＋90°或(2k ＋1)·180°＋45°＜α≤(2k ＋1)·180°＋90°，k ∈Z }＝{α|n ·180°＋45°＜α≤n ·180°＋90°，n ∈Z }．
探究点4 判断θ
n
所在象限的问题
例4 已知角α是第二象限角，试判断α
2
是第几象限角？
【解】法一：因角α在第二象限， 所以90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°，k ∈Z . 所以45°＋k ·180°<α
2
<90°＋k ·180°，k ∈Z .
当k ＝2n 时，45°＋n ·360°<α
2<90°＋n ·360°，n ∈Z ，
此时，α
2
是第一象限角．
当k ＝2n ＋1时，225°＋n ·360°<α
2<270°＋n ·360°，n ∈Z ，
此时，α
2是第三象限角．
综上：α
2为第一、三象限角．
法二：几何法．
如图，先将各象限分成两等份，再从x 轴正方向的上方起，依次将各区域标上1，2，3，4，则标有2的区域即为α2的终边所落在的区域，故α
2为第一、三象限角．
方法归纳
熟悉以下事实，对我们解答有关问题大有好处：当α为第一象限角时，α
2为第一、三象
限角的前半区域．
当α为第二象限角时，α
2为第一、三象限角的后半区域．
当α为第三象限角时，α
2为第二、四象限角的前半区域．
当α为第四象限角时，α
2
为第二、四象限角的后半区域．
跟踪训练 已知角α是第三象限角，则角α
2
是( )
A ．第一或第二象限角
B ．第二或第三象限角
C ．第一或第三象限角
D ．第二或第四象限角
【解析】法一：取α＝220°，则α2＝110°为第二象限角；再取α＝580°，则α
2＝290°为第
四象限角．
法二：因为α是第三象限角，
所以k ·360°＋180°＜α＜k ·360°＋270°(k ∈Z )， 所以k ·180°＋90°＜α
2
＜k ·180°＋135°(k ∈Z )．
当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°＋90°＜α2＜n ·360°＋135°(n ∈Z )，所以α
2是第二象限角；
当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋270°＜α
2＜n ·360°＋315°(n ∈Z )，
所以α
2是第四象限角.
【答案】D
素养提升
1．理解角的分类的依据，关键看角是逆时针、顺时针旋转，还是无旋转．
2．注意利用数形结合的方法，特别是研究象限角及终边在坐标轴上的角时，结合图形分清角的范围．
3．要善于使用分类讨论的思想，找准分类讨论的依据，如角的集合{α|k ·180°<α<k ·180°＋90°，k ∈Z }，当k 取偶数时，角的终边落在第一象限，当k 取奇数时，角的终边落在第三象限． 失误防范
写角的集合时，不要忽视k ∈Z 这一条件，当角增加或减少360°，终边又回到原来的位置，终边相同的角会周而复始地出现，所以终边相同的角，它们不一定相等，它们相差360°的整数倍．
当堂检测
1．射线OA 绕端点O 逆时针旋转120°到达OB 位置，再顺时针旋转270°到达OC 位置，则∠AOC ＝( )
A ．150°
B ．－150°
C ．390°
D ．－390°
【解析】∠AOC ＝120°－270°＝－150°. 【答案】B
2．与－457°角终边相同的角的集合是( )
A ．{α|α＝k ·360°＋457°，k ∈Z }
B ．{α|α＝k ·360°＋97°，k ∈Z }
C ．{α|α＝k ·360°＋263°，k ∈Z }
D ．{α|α＝k ·360°－263°，k ∈Z }
【解析】因为－457°＝－2×360°＋263°，
所以与－457°角终边相同的角的集合为{α|α＝k ·360°＋263°，k ∈Z }． 【答案】C
3．在0°～360°之间与－35°终边相同的角为________．
【解析】因为－35°＝(－1)×360°＋325°， 所以0°～360°之间与－35°终边相同的角是325°. 【答案】325°
4．已知α是第四象限角，则α
2
为第________象限角．
【解析】如图，带4的标号在第二、四象限，故α
2
是第二或第四象限的角．
【答案】二、四。