北京顺义区高三数学第二次统练测试(理)新人教版

顺义区2010届高三第二次统练
数学试卷（理科）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，共150分。

考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

2．答题前考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上填写姓名、准考证号，然后再用2B 铅笔将与准考证号对应的信息点涂黑。

3．答题卡上第Ⅰ卷必须用2B 铅笔作答，将选中项涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。

第Ⅱ卷必须用黑色字迹的签字笔按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．已知集合{}
2
|1A x x =<，集合{}2|log 0B x x =<，则A B =I ( )
A.()0,1
B.()1,0-
C.()1,1-
D. (),1-∞ 2. 已知复数12z i =+，则
1
z
= ( ) A. 1233i -+ B. 1233i - C.1255i - D. 12
55
i -+
3. 已知向量(3cos ,2)a α=r ，(3,4sin )b α=r ，且a b r r
P ，则锐角α等于（ ）
A.
6π B.4π C.3
π D.512π
4.“1m =”是“直线0x y m ++=与圆2
2
1x y +=相交”的 （ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
5.阅读下面的程序框图，执行相应的程序，则输出的结
果是 （ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7 6. 从5名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少
有1名女生被选中的方法数是 （ ）
A. 10
B. 20
C. 25
D.
30
7. 已知函数3
1()3
f x x x =
+，则不等式n=n+1s=s+(-1)n ⋅n n=1, s=0n ≤ 10 ?
输出 S 开始结束
是
否
2(2)(21)0f x f x -++>的解集是
（ ）
A.(
)),1
1,-∞-+∞U
B.()
1
C.()(),13,-∞-+∞U
D. ()1,3- 8.在区间[]0,1上任取两个实数a 、b ，则函数3
1()3
f x x ax b =+-在区间()1,1-上有且仅有一个零点的概率为 （ ）
A. 19
B. 29
C. 79
D. 89
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9.一个实心铅质的几何体的正视图、侧视图和俯视图都是半径为1的圆，将8个这样的几何体加热熔解后，浇铸成一个实心球，则该球的表面积为__________. 10．
若(n
ax +
的展开式共有6项，并且2x 项的系数为10，则n =______.实数a =_____________.
11.如图：PA 切圆O 于A ，割线PBC 经过圆心O ，将OA
绕点O 顺时针旋转0
60到D ，设1OB PB ==，则
POD V 的面积等于______________
12.设曲线C 的极坐标方程为θρcos 2= )0(>ρ，直线
l 的参数方程为⎩⎨⎧-==2
t y t
x （t 为参数），则曲线C 与直线
l 交点的直角坐标为____________.
13.已知双曲线22
217
x y a -=，直线l 过其左焦点1F ，
交双曲线的左支于A 、B 两点，且||4AB =，2F 为双曲线的右焦点，2ABF V 的周长为20，则此双曲线的离心率e =__________.
14.如图，2
(4)n
n ≥个正数排成n 行n 列方阵：
1112131
2122232
123n
n
n n n n n
a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
L L
符号(1,)ij a i j n ≤≤ 表示位于第i 行第j 列的正数.
D
A
B C
O
P
已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列， 且各列数的公比都等于q . 若1112a =，241a =，321
4
a =，则q = ________， ij a =__________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题共12分） 已知函数()sin cos f x x x =+，x R ∈． （Ⅰ）求()4
f π
的值；
（Ⅱ）如果函数()()()g x f x f x =-，求函数()g x 的最小正周期和最大值；
16．（本小题共13分）
甲、乙两位同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取5次，绘制成茎叶图如下
Ⅰ.现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角
度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由；
Ⅱ.若将频率视为概率，对乙同学在今后的3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为X ，求X 的分布列及数学期望EX . 17．（本小题共14分）
已知：四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ,
底面A B 是菱形,且
2PA AB ==,060ABC ∠=,BC 、PD 的中点分别
为E 、F .
Ⅰ.求证BC PE ⊥
Ⅱ.求二面角F AC D --的余弦值
Ⅲ.在线段AB 上是否存在一点G ，使得AF ||平面PCG ?若存在指出G 在AB 上位置并给以证明，若不存在，请说明理由. 18．（本小题共14分）
设a R ∈，函数2
()()x
f x e a ax x -=+- （e 是自然对数的底数） Ⅰ.若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程
E
B
Ⅱ.判断()f x 在R 上的单调性 19．（本小题共14分）
已知两点(0,1)M (0,1)N -，平面上动点(,)P x y 满足||||0NM MP MN NP ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r
Ⅰ.求动点(,)P x y 的轨迹C 的方程；
Ⅱ.设(0,)Q m ，(0,)R m -（0m ≠）是y 轴上两点，过Q 作直线与曲线C 交于A 、B 两点，试证：直线RA 、RB 与y 轴所成的锐角相等； Ⅲ.在Ⅱ的条件中，若0m <，直线AB 的斜率为1， 求RAB V 面积的最大值.
20．（本小题共13分）
在数列{}n a 、{}n b 中，已知16a =，14b =，且n b 、n a 、1n b +成等比数列，n a 、1n b +、1n a +成等差数列，（n N +
∈）
Ⅰ.求2a 、3a 、4a 及2b 、3b 、4b ,由此猜想{}n a 、{}n b 的通项公式，并证明你的结论； Ⅱ.证明：11223311117
20
n n a b a b a b a b +++⋅⋅⋅+<
++++.
高三数学试题（理科）参考答案及评分标准
二.填空题(本大题共6个小题,
每小题5分,共30
分)其它答案参考给分 9
．16π ；10. 5,1；；12．()1,1-，()2,0;（注：10、12,14题只填对一空给3分）13．43；14 ．12,12i
j ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭
；（注：14题少解给2分，有错解不给分）
三．解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题共12分） 解：（Ⅰ）()sin
cos
4
4
4
f ππ
π
=+=
= _______4分 （Ⅱ）()()()(sin cos )[sin()cos()]g x f x f x x x x x =-=+-+- (sin cos )(sin cos )x x x x =+-+ _______6分
22cos sin cos 2x x x =-= _______8分
x R ∈
22
T π
π=
=，()g x 的最小正周期为π．_______10分 1cos 21x ∴-≤≤，
因此，函数()g x 的最大值是1．_______12分
16．（本小题共13分）
解：Ⅰ.本小题的结论唯一但理由不唯一，只要考生从统计学的角度给出其合理解答即可得分。

由茎叶图知甲乙两同学的成绩分别为： 甲：82 81 79 88 80 乙：85 77 83 80 85
（1）派乙参赛比较合适，理由如下：_______2分 甲的平均分82x =甲，乙的平均分82x =乙， 甲乙平均分相同；
又甲的标准差的平方（即方差）210S =甲，乙的标准差的平方（即方差）2
9.6S =乙，22
S S >乙
甲_______5分 甲乙平均分相同，但乙的成绩比甲稳定，
∴派乙去比较合适；_______6分 （2）（参照理由1给分）
派乙去比较合适，理由如下：_______2分
从统计学的角度看，甲获得85分以上（含85分）的概率11
5
P = 乙获得85分以上（含85分）的概率22
5
P =
，_______5分 甲的平均分82x =甲，乙的平均分82x =乙，平均分相同；
∴派乙去比较合适. _______6分
若学生或从得82分以上(含82分)去分析：
甲获得82分以上（含82分）的概率125P =
乙获得82分以上（含82分）的概率23
5
P =，
甲的平均分82x =甲，乙的平均分82x =乙，平均分相同； ∴派乙去比较合适.（同样给此问的分）
Ⅱ.记乙同学在一次数学竞赛中成绩高于80分为事件A ，
∴3
()5
P A =
，_______8分
_______10分
∴9
5
EX = _______13分
（或X 服从二项分布3(3,)5B ，EX np =9
5
=同样给分）.
17．（本小题共14分）
Ⅰ证明：Q PA ⊥平面ABCD ∴PA BC ⊥， _______1分 连结AE Q 底面ABCD 是菱形
060ABC ∠=∴ABC V 是正三角形，
又E 时BC 的中点
∴BC AE ⊥
_______2分
而
PA AE A =I BC ⊥平面
PAE ∴B C ⊥._______4分
（或证明AE AD ⊥后，以AE 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，用向
量方法证明0BC PE ⋅=uu u r uu r
，从而得出BC PE ⊥也可以）
Ⅱ.由Ⅰ知AE 、AD 、AP 彼此两两垂直， 故以AE 、AD 、AP 分别为
E
B
x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，_______5分
Q 2PA AB == ∴(0,0,0)A
，1,0)B -
，,0)C ，(0,2,0)D
，E ，
(0,1,1)F ，(0,0,2)P
∴(0,1,1)AF =uu u r
，(CF =u u u r
_______6分
设平面FAC 的法向量为(,,)u x y z =r ，则0
u AF u CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uu u r
求得3,3)u =-r 平面ACD 的法向量为(0,0,2)v =r
_______7分
设二面角F AC D --的平面角为θ
，则||cos 7||||
u v u v θ⋅==⋅r u r r r
即二面角F AC D --
的余弦值为
7
； _______9分 （若用其它解法，正确的同样给分）
Ⅲ. 在线段AB 上存在中点G ，使得AF ||平面PCG _______12分 方法1：设PC 的中点为H ，连结FH ，
易证四边形AGHF 为平行四边形，∴||AF GH 又GH ⊂平面PGC ， AF ⊄平面PGC
∴||AF 平面PGC _______14分
方法2：假设在线段AB 上存在点G ，使得AF ||平面PCG ，_____12分
则 AG AB λ=u u u r u u u r (01)λ≤< ，
Q 1,0)AB =-u u u r ，
∴,,0)AG AB λλ==-u u u r u u u r
Q (0,0,2)PA =-u u r
∴,,2)PG PA AG λ=+=--u u u r u u r u u u r
设平面PGC 的法向量为(,,)n x y z =r ，由00
n PG n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uu u r
得)1n λλ=-r
Q (0,1,1)AF =uu u r ，且 0AF n ⋅=uu u r r ，解得1
2
λ=
故在线段AB 上存在中点G ，使得AF ||平面PCG _______14分 （本大题若用其它解法，正确的给相应的分数） 18．（本小题共14分） 解：Q 2
()()x
f x e a ax x -=+-
∴2'()()(2)x x f x e a ax x e a x --=-+-+-=[](2)x e x x a --+_______3分
（1）当1a =时'()(3)x f x e x x -=-，'(1)4f e -=，(1)f e -=-_______5分
∴切线方程为4(1)y e e x +=+即430ex y e -+=，_______7分
（2）令'()0f x =得0x =，2x a =+
∴当20a +>即2a >-时，'()0f x >∴()f x 在(),0-∞，()2,a ++∞单调递增
在()0,2a +单调递减_______10分
当20a +<即2a <-时，'()0f x <∴()f x 在(),2a -∞+，()0,+∞单调递增 在()2,0a +单调递减_______12分
当20a +=，即2a =-时，2'()0x f x e x -=≥，
()f x 在R 上单调递增_______14分
19．（本小题共14分）
解：Ⅰ.Q ||NM u u u u r ||0MP MN NP ⋅+⋅=u u u u r u u u r u u u r
，
∴()()0,2,10x y -⋅+=_______2分
化简整理得2
4x y =
∴动点(,)P x y 的轨迹C 为抛物线，其方程为：24x y =_______4分
Ⅱ. Q 过Q 作直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，∴l 的斜率k 存在
设直线l ：y kx m =+与2
4x y =联立，24y kx m
x y
=+⎧⎨=⎩
消去y 得2
440x kx m --= _______6分
则此方程有两个不相等的实数根，∴2
16160k m =+>V ，* 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x m - _______7分 要证直线RA 、RB 与y 轴所成的锐角相等， 只要证明0RA RB k k +=, _______8分
Q 2114
x y =，2
2
24x y =
∴1212
RA RB
y m y m k k x x +++=+
22
12
1212124444x x m m
x x m m x x x x ++=+=+++ ()12121212()11
()0444m x x m x x x x x x m +⎛⎫=++=++= ⎪-⎝⎭
，∴命题成立. _____10分 Ⅲ.若直线AB 的斜率1k =，∴直线0x y m -+=，
由Ⅱ.知消去y 得2440x x m --=， 由*式0∆>得1m >-，∴10m -<<，且124x x +=，124x x m -
||AB ==
记点R 到AB 的距离为d
，|R AB d m -=, _______12分
1
|||2
RAB S AB d m =
⋅==V 32()f m m m =+ 2'()32f m m m =+ 令'()0f x >知()f m 在21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭递增，在2,03⎛⎫
- ⎪⎝⎭递减，
∴当23m =-时()f m 有最大值，故RAB S ∆
最大值为
9
._______14分
20．（本小题共13分）
解：Ⅰ.由已知n b 、n a 、1n b +成等比数列，n a 、1n b +、1n a +成等差数列，（n N +
∈）
∴112n n n b a a ++=+， 2
1n n n a b b +=⋅，Q 16a =，14b =，代入计算得:
212a =，320a =，430a =，
29b =，316b =，425b =， _______3分
由此猜想(1)(2)n a n n =++， 2(1)n b n =+ ()n N +
∈，_______5分 证明：（1）当1n =，由上面计算知猜想的结论成立；
（2）假设当n k =()
1,k k N +
>∈时结论成立，即(1)(2)k a k k =++，2(1)k b k =+，
则当1n k =+时，由于2
1k
k k a b b +=⋅，∴[]
2222
12
(1)(2)(1)1(1)k k k a k k b k b k +++===+++ ∴当1n k =+时，结论2(1)n b n =+成立 _______7分
又2
1122(2)(1)(2)(2)(3)k k k a b a k k k k k ++=-=+-++=++
[][](1)1(1)2k k =++++∴当1n k =+时，(1)(2)n a n n =++也成立
由（1）（2）所证可知对任意的自然数n N +
∈，结论(1)(2)n a n n =++，2(1)n b n =+都成立 _______9分 Ⅱ.因为
111117
641020
a b ==<
++ _______10分 当2n ≥时，由2(1)(2)(1)(1)(23)2(1)n n a b n n n n n n n +=++++=++>+
11111
()2(1)21
n n a b n n n n <=-+++ _______11分
112211*********
()10223341
n n a b a b a b n n ++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+-++++1111117
()1022110420
n =
+-<+=+ _____13分。