高中数学 第1章 三角函数 1.3.1 三角函数的周期性课后导练 苏教版必修4(2021年整理)

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修4
基础达标
1。

下列四个命题中正确的是（ ) A.周期函数必有最小正周期 B.只有三角函数才是周期函数
C 。

因为sin(kx+2π）=sinkx,所以y=sinkx 的最小正周期为2π
D 。

周期函数的定义域一定是无限集
解析:由周期函数的定义域可知，A 、B 、C 显然不对. 答案：D
2.函数y=3sin （2x+
6
π
)的最小正周期是( ） A 。

4π B 。

2π C.π D.2
π 解析：公式法T=2
22π
ω
π
=
=π,故选C 。

答案:C
3。

函数f(x)=｜cosx ｜+|sinx|为（ ) A 。

最小正周期是2
π
的偶函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期是
2
π
的奇函数 D 。

最小正周期为π的奇函数 解析：很明显函数f （x ）为偶函数，只要验证T=2π
是否成立即可。

答案：A
4。

函数f （x ）的最小正周期为8，且等式f(4+x ）=f(4—x)对一切实数都成立，则f （x ）是（ ）
A 。

奇函数
B 。

偶函数
C 。

既是奇函数又是偶函数
D 。

非奇非偶函数
解析：∵函数的最小正周期为8，且f(4+x ）=f （4—x ），对任意实数x 都成立， ∴f(x）=f （x+8)=f ［4+（4+x ）］ =f ［4—(4+x ）］=f(-x). ∴函数f(x ）是偶函数. 答案:B
5.函数f(x ）=tan a
x
的最小正周期是（ ）
A 。

πa B.π｜a ｜ C 。

a
π
D 。

||a π
解析：公式：T=
|
|1a π
ω
π==｜a|π.
答案：B
6。

设f(x ）（x∈R )是以3为周期的奇函数且f(1)＞1，f （2)=a,则（ ）
A 。

a ＞2 B.a ＜-2 C.a ＞1 D.a ＜-1 解析：f(2）=-f （-2)=—f （3-2)=—f （1）=a, ∴f（1）=—a ＞1，∴a＜-1. 答案：D 7.若
f （x ）是以
2
π
为周期的奇函数，且f （
3
π
)=1,则f
（-6
5
π)=______________________________。

解析：f(-65π）=f （—65π+2π)=f （-3π）=-f （3
π
)=—1.
答案:-1
8。

函数y=sin （ax+π)(a≠0)的最小正周期为________________. 解析:(公式法）T=
|
|2||2a π
ωπ=.
答案：
|
|2a 9。

已知函数f(x ）的图象如下，解答下列问题.
（1)求函数的周期;
(2）画出函数y=f （x+1）的图象； （3）你能写出函数y=f(x)的解析式吗？ 解析：（1)由图可知
2
T
=1,∴T=2. （2)将y=f （x)的图象向左平移1个单位长度,就可得y=f(x+1)的图象。

(3)先求出定义域为一个周期的函数y=f （x)x∈［-1，1]的解析式为y=|x ｜，x∈［-1，1］,再根据函数y=f （x ）的图象和周期得到y=f （x ）的解析式为y=｜x-2k|,x∈［2k-1,2k+1］，k∈Z . 答案:(1）2;
(2)y=f(x ）的图象如下图;
（3)y=｜x —2k|，x∈[2k—1,2k+1］，k∈Z。

10。

证明：若定义在R 上的函数f(x ）的图象关于点（a,y 0）和(b,y 0）（a≠b)对称，则函数f （x)是周期函数，且2(a-b)是它的一个周期。

证明:∵f（x)是图象关于点（a,y 0)和(b,y 0）（a≠b）对称， ∴f（2a-x)=2y 0-f （x),f(2b-x)=2y 0—f(x ），
∴f［2（a —b ）+x ］=f ［2a —(2b —x ）]=2y 0—f （2b-x ）=2y 0—[2y 0-f(x)]=f （x ）， ∴f（x ）是周期函数,且2（a-b ）是它的一个周期.
综合运用
11.函数y=cos （4k π+3
π
)的周期不大于2，则正整数k 的最小值是（ ）
A 。

10
B 。

11C.12D 。

13 解析:公式法：T=
k k π
π84
2=
≤2。

又∵k 是正整数， ∴k≥4π,∴k 的最小值应为13。

答案：D
12。

设定义在实数集上的偶函数y=f （x ）是周期为2的周期函数,且当2≤x≤3时，f(x)=x,则当-1≤x≤0时，f （x ）等于（ ）
A.4+x
B.2+|x+1| C 。

—2+x D.3—|x+1| 解析：当x∈［-1，0],-x∈[0,1]，—x+2∈［2，3］，f(x)=f （-x ）=f(2-x)=2-x 。

因为3—|x+1｜=2-x ，
∴f(x)=3—|x+1|。

答案：D
13.函数y=2｜cos （4x —
3
π
)|的最小正周期是_________________. 解析:由y=cosx 的周期是y=｜cosx ｜的周期的2倍知,y=2｜cos(4x-3
π
)|的周期是y=2cos(4x-3π）周期的一半。

∴T=4
π。

答案：
4
π 14。

函数y=2sin(kx+
3π
）的周期为T ，T∈(1,3),则正整数k=__________________. 解析：公式法:∵T=k π2,由1＜T ＜3得,1＜k
π
2＜3。

当k ＞0时, 32π
＜k ＜2π.
又∵k 是整数，∴k=3，4,5,6. 答案:3,4，5，6
15。

求下列各函数的周期。

(1)y=cos2x ；
（2）y=sin 2
1
x ；
（3）y=2sin （2x 6
π
-）。

解：（1）把2x 看成是一个新的变量u ，那么cosu 的最小正周期是2 π，就是说，当u 增加到u+2π且必须增加到u+2π时，函数cosu 的值重复出现.而u+2π=2x+2π=2（x+π），所以当自变量x 增加到x+π且必须增加到x+π时，函数值重复出现，因此y=cos2x 的周期是π.
（2）如果令X=21x 则sin 21x=sinX,是周期函数且周期是2π,∴sin（21x+2π)=sin 2
1
x ，
即sin ［21（x+4π）］=sin 21
x.
∴sin 2
1
x 的周期是4π.
（3）∵2sin(2x 6π-+2π)=2sin（2x 6π
-),
即2sin ［21（x+4π）6π-］=2sin(2x 6π
-),
∴2sin(2x 6
π
-）的周期是4π.
拓展探究
16.证明:若定义在R 上的函数f(x)的图象关于直线x=a 和点（b ，y 0）(a≠b)对称,则函数f （x)是周期函数,且4(a-b ）是它的一个周期。

证明：∵函数f(x ）的图象关于直线x=a 对称, ∴f(x)=f（2a-x ）.
又∵f（x)的图象关于点(b ，y 0）(a≠b)对称， ∴f(2b -x ）=2y 0-f （x),
∴f［4（a-b ）+x]=f ［2a —（4b-2a-x)]=f(4b-2a-x)=f ［2b-（2a-2b+x ）］=2y 0—f （2a-2b+x ）=2y 0-f ［2a-(2b-x ）］=2y 0—f （2b-x ）=2y 0-（2y 0—f （x ）)=f(x ）。

∴f(x）是周期函数,且4（a-b)是它的一个周期.。