(压轴题)高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》检测卷(有答案解析)(2)

一、选择题
1．已知函数()()1,f x ax b a b R x =+
+∈，当1,22x ⎡∈⎤
⎢⎥⎣⎦
时，设()f x 的最大值为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为（ ）
A ．
1
8
B ．
14
C ．
12
D ．1
2．当[1,1]x ∈-时，不等式2||||1ax b x c ++≤恒成立，则||||||a b c ++的最大值为（ ） A ．18
B ．17
C ．16
D ．15
3．若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ）. A ．
11a b
< B ．55a b > C ．22ac bc >
D ．a b >
4．下列命题中正确的是（ ） A ．若ac bc >22，则a b >
B ．若a b >，则
11a b
< C ．若a b >，c d >，则a c b d ->-
D ．若a b >，c d <，则
a b c d
> 5．若a b c R ∈，，，则以下命题为真的是（ ） A ．若a b >，则
11a b
< B ．若a b >，则22ac bc > C ．若a b >，则22a b > D ．若a b >，则22a b >
6．下列三个不等式中（ ）
①
(),,0,a m a a b m b a b m b +>>>+;②30)x x x +≥≠;③()0,0a b
a b d c c d
>>>>> 恒成立的个数为（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
7．已知0a b <<，且1a b +=，则下列不等式中，正确的是（ ） A ．2log 0a >
B ．12
2
a b
-< C ．22log log 2a b +<- D ．12
2
a b
b a
+<
8．若,,a b c 为实数，则下列命题错误的是( ) A ．若22ac bc >，则a b > B ．若0a b <<，则22a b < C ．若0a b >>，则
11a b
< D ．若0a b <<,0c d >>，则ac bd <
9．已知实数,a b ，且a b >，则以下不等式恒成立的是（ ）
A ．33
a b > B ．22
a b >
C ．1133a b
⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．
11a b
< 10．若，则下列结论不正确的是
A ．
B ．
C ．
D ．
11．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋c >b －c
B ．(a －b )c 2>0
C ．a 3>b 3
D ．a 2>b 2
12．如果a b >，那么下列不等式一定成立的是( ) A ．a b >
B ．33a b >
C ．
11a b
< D ．22a b <
二、填空题
13．若不等式2
2
131
11a a x x x x a
+--+-+++≥对任意使式子有意义的实数a 恒成
立,则实数x 的取值范围是__________
14．已知平面向量a ，b ，c 满足1a =，||1b =，()c a b a b -+≤-，则||c 的最大值为___________． 15．记
1
()(1)(2)()n
k f k f f f n ==++
+∑，则函数4
1
()||k g x x k ==-∑的最小值为
__________．
16．672
25
17．不等式252x x
y -<-对任意[]
1,2x ∈都成立，则实数y 的取值范围为______；
18．如果关于x 的不等式|3||4|13x x a a -++<+的解集不是空集，则a 的取值范围是______.
19．若存在实数a 使得44max cos 3,cos 710cos 3cos 3c c a a a a ⎧⎫
++
++≥⎨⎬++⎩⎭
成立，则
实数c 的取值范围是_____.
20．关于x 的不等式21x x a +--≤的解集为R ，则实数a 的取值范围是_________.
三、解答题
21．已知()|1||1|f x x x =-++，不等式()4f x <的解集为M . （1）求集合M ；
（2）当,a b M ∈时，证明：2|||4|a b ab +<+. 22．已知函数()|1|2|3|f x x x =--+. （1）求不等式()1f x <的解集；
（2）若存在实数x ，使得不等式23()0m m f x --<成立，求实数m 的取值范围. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x =-.
（1）解不等式：()()124f x f x +++<；
（2）已知2a >,求证：()(),2x R f ax af x ∀∈+>恒成立.
24．已知0a >，0b >，22
1
43a b ab
+=
+. （1）求证：1ab ≤； （2）若b a >，求证：
3311113a b a b ⎛⎫->- ⎪⎝⎭
. 25．已知函数()|21|||2g x x x =-+++. （1）解不等式()0g x ≤；
（2）若存在实数x ，使得()||g x x a ≥--，求实数a 的取值范围.
26．（1） 若a ，b 均为正数，且1a b +=. 证明：11
(2)(2)16a b
++≥；
（2）设集合{|
531}A x x =-<；集合2{|(21)(1)0}B x x a x a a =-+++≤，若
A B A =，求实数a 的取值范围.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 考虑1
2
x =
，1，2的函数值的范围，运用绝对值不等式的性质，即可得到所求最小值． 【详解】 函数()()1,f x ax b a b R x
=+
+∈，当1
[2x ∈,2]时，()f x 的最大值为(,)M a b ，
可得1(,)(2)|2|2M a b f a b ≥=++
，11
(,)()|2|22
M a b f a b ≥=++，(,)(1)|1|M a b f a b ≥=++，
可得
1(3M a ,2
)(3
b M a +,)(b M a +,211124)1336333b a b a b a b ≥++++++++
211124113363332
a b a b a b ≥
+++++---=， 即()12,2M a b ≥，即有()1,4M a b ≥，则(,)M a b 的最小值为1
4
， 故选：B 【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是理解到最大值的含义，熟练掌握绝对值的三角不等式.
2．B
解析：B 【分析】 分别令0x =、
1
2、1，则可求得1,1,142
a b c c a b c ≤++≤++≤，利用这三个不等式，可构造出a 、b ，即可求出a 、b 的范围，即可得答案. 【详解】 因为[1,1]x ∈-， 所以[0,1]x ∈，
当0x =时，可得1c ≤①， 当1
2
x =
时，可得142a b c ++≤②，
当1x =时，可得1a b c ++≤③， 由①②③可得11
4()()84222
a
b a
c a b c c =+
+-++-≤， 13
4()()84244
a b b c a b c c =++-++-≤，
所以88117a b c ++≤++=， 故选：B 【点睛】
本题考查利用不等式性质求范围，解题的关键是分别求出c 、
42
a b
c ++、a b c ++的范围，再整体代入求出a 、b 的范围，考查整体代入，转化求解的能力，属中档题.
3．B
解析：B 【分析】
利用函数的单调性、不等式的基本性质即可判断出结论． 【详解】
a ＞
b ，则
1
a 与1b
的大小关系不确定；由函数y =x 5在R 上单调递增，∴a 5＞b 5； c =0时，ac 2=bc 2；取a =-1，b =-2，|a |＞|b |不成立．因此只有B 成立． 故选B ． 【点睛】
本题考查了函数的单调性、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．A
解析：A 【分析】
对于选项A ，由不等式性质得该选项正确；对于选项B ，11b a
a b ab
--=符号不能确定，所以该选项错误；通过举反例说明选项C 和选项D 错误. 【详解】
对于选项A ，若ac bc >22，所以20c >，则a b >，所以该选项正确； 对于选项B ，
11b a
a b ab
--=符号不能确定，所以该选项错误； 对于选项C ，设1,0,1,3,2,3a b c d a c b d ===-=--=-=，所以a c b d -<-，所以该选项错误；
对于选项D ，设0,1,2,1,0,1,a b a b
a b c d c d c d
==-=-=-==∴<，所以该选项错误； 故选：A 【点睛】
本题主要考查不等式的性质，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5．D
解析：D 【分析】
A ．举例：取0,0a b ><的值，检验；
B ．举例：0c ，检验；
C ．举例：取0,0
a b ><的值(注意大小)，检验；D ．考虑两边同时平方来证明.
【详解】
A ．取1,1a b ==-，所以11
a b
>，故错误； B ．取0c
，所以22ac bc =，故错误；
C ．取1,2a b ==-，所以22a b <，故错误；
D ．因为0a b >≥，所以2
2a b >，所以22a b >，故正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查利用不等式的性质判断命题的真假，难度一般.(1)不等号两边同时乘以一个正数，不等号的方向不会改变；(2)已知两数的大小，比较两个数平方的大小时，要注意考虑数的正负.
6．B
解析：B 【分析】
利用作差法可判断①，利用基本不等式可判断②，根据不等式的性质及作差法可判断③. 【详解】
解：对于①，由a ，b ，0m >，a b <可知，()0()a m a b a m b m b b b m +--=>++可知a m a b m b
+>+恒成立，故①正确；
对于②，当0x >时，3x x +≥=3x x =即x =
当0x <时，()33x x x x ⎡
⎤+
=--+≤-=-⎢⎥-⎣
⎦3x x -=-即
x =②错误；
对于③，
0,0a b d c >>>>
根据正数不等式的同向可乘性得ad bc >
0ad cb d a b c d ad cb
cd c cd
∴
-=--=>，故③正确 故正确的有①③ 故选：B 【点睛】
本题主要考查了基本不等式的成立条件的判断及不等式的性质等知识的简单应用，属于基础试题
7．C
解析：C 【分析】
根据条件得到1
012
a b <<<<，依次判断每个选项的正误得到答案. 【详解】
已知0a b <<，且1a b +=，则1
012
a b <<<<
故2log 0a <，A 错误；取311
,442b a a b =
=∴-=- ，1222
a b -=>，B 错误； 2
222221log log log log log 2()24a b a b ab a b +⎛⎫
+=<==-≠ ⎪
⎝⎭
，C 正确；
取10331101
,224432a b b a b a b a a b +==∴+=∴=>，D 错误.
故选：C 【点睛】
本题考查了不等式的判断，意在考查学生的综合应用能力.
8．B
解析：B 【分析】
由题意利用不等式的性质逐一考查所给的四个选项中的结论是否正确即可.其中正确的命题可以用不等式的性质进行证明，错误的命题给出反例即可. 【详解】
对于A ，若2
2
ac bc >，则0c ≠，22
22ac bc c c
>，即a b >，故正确；
对于B ，根据不等式的性质，若0a b <<，不妨取2,1a b =-=-，
则22a b >，故题中结论错误； 对于C ，若0a b >>，则
a b ab ab
>，即11a b <，故正确；
对于D ，若0a b <<,0c d >>，则0a b ->->，故ac bd ->-，ac bd <，故正确. 故选B. 【点睛】
本题主要考查不等式的性质及其应用，属于中等题.
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据幂函数的单调性判断A ；令1a =，1b =-判断,B D ，根据指数函数的单调性判断
C ．
【详解】
因为()3
f x x =是增函数，所以由b a >可得33b a >，选项A 正确；
当1a =，1b =-时，22a b >不成立，选项B 错误；
因为1y ()3x =是减函数,由a b >可得11()()33
a b
<，选项C 错误，
1a =，1b =-时，
11
a b
<不成立，选项D 错误，故选A ． 【点睛】
本题主要考查不等关系与不等式的性质，属于中档题．利用条件判断不等式是否成立主要从以下几个方面着手：（1）利用不等式的性质直接判断；（2）利用函数式的单调性判断；（3）利用特殊值判断.
10．D
解析：D 【分析】 不妨令 ，代入各个选项进行验证，找出符合条件的选项．
【详解】 由题
，不妨令，可得a 2＜b 2，故A 正确； ，故B 正确；
，故C 正确．
故D 不正确．
故选D ． 【点睛】
本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
由不等式性质及举反例逐个分析各个选项可判断正误。

【详解】
选项A 错，因为a b >，当c<0时，如2,1,2a b c ===-。

选项B 错，因为当c=0时，不等式不成立。

选项C 对，因为是立方，所以成立。

当0a b >≥时，33a b >。

当0a b ≥>时，
330a b ≥>。

当0a b >>时，0a b -<-<,所以33
()()a b -<-，即33a b >。

选项D 错，如1,2a b ==-，代入不等式不成立。

选C. 【点睛】
本题考查不等式性质：当0a b >>时，则n n a b >（n ∈R ），注意只有正数才能用这个性质。

12．B
解析：B 【解析】
分析：根据幂函数3y x =的单调性，即可判定得到答案. 详解：当1,2a b ==-时，此时a b >，但a b <，且
11
a b
>，所以A 、C 不正确； 由函数2x y =为单调递增函数，当a b >时，22a b >，所以D 不正确，
由函数3y x =是R 上的单调递增函数，所以当a b >时，33a b >成立，所以B 是正确的，故选B.
点睛：本题主要考查了不等式的比较大小问题，其中熟记幂函数的单调及其应用是解答的
关键，着重考查了推理与论证能力.
二、填空题
13．【分析】首先求得的最大值max 然后解不等式【详解】当且仅当时等号成立∴的最大值为4下面解不等式∵∴∴不等式为不等式即∴或解得或或∴的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查绝对值不等式考查绝对值不等式的 解析：(,2][1,)-∞-+∞
【分析】 首先求得131
a a a
+--的最大值max ，然后解不等式22|1||1|max x x x x +-+++≥．
【详解】
131
a a a
+--111111
1313(1)(3)4a a a a a a
=+
--=+--≤+--=．当且仅当1
13a
-≤
≤时等号成立．∴131a a a +--的最大值为4．
下面解不等式22|1||1|4x x x x +-+++≥，
∵22
111
()244
x x x +=+-
≥-，∴210x x ++>， ∴不等式22|1||1|4x x x x +-+++≥为不等式22|1|14x x x x +-+++≥， 即22|1|3x x x x +-≥--+，
∴2213x x x x +-≥--+或2213x x x x +-≤+-， 解得1≥x 或2x -≤或x ∈∅， ∴
x 的取值范围是(,2][1,)-∞-+∞．
故答案为：(,2][1,)-∞-+∞． 【点睛】
本题考查绝对值不等式，考查绝对值不等式的性质．首先不等式恒成立问题转化为求最值．其次解绝对值不等式时，绝对值性质x a >等价于x a >或x a <-中可以不讨论a 的正负，直接用来解不等式，即不等式()()f x g x >直接转化为()()f x g x >或
()()f x g x <-，不需要按()0,()0g x g x ≥<分类，大家可以从集合的分析．
14．【分析】只有不等号左边有当为定值时相当于存在的一个方向使得不等式成立适当选取使不等号左边得到最小值且这个最大值不大于右边【详解】当为定值时当且仅当与同向时取最小值此时所以因为所以所以所以当且仅当且与
解析：【分析】
只有不等号左边有c ，当||c 为定值时，相当于存在c 的一个方向使得不等式成立．
适当选取c 使不等号左边得到最小值，且这个最大值不大于右边． 【详解】
当||c 为定值时，|()|c a b -+当且仅当c 与a b +同向时取最小值， 此时|()|||||||c a b c a b a b -+=-+-，
所以||
||||c a b a b ++-．
因为||||1a b ==，所以2222()()2()4a b a b a b ++-=+=，
所以22222(||||)()()2||||2[()()]8a b a b a b a b a b a b a b a b ++-=++-++-++-= 所以||
||||22c a b a b ++-，当且仅当a b ⊥且c 与a b +同向时取等号．
故答案为 【点睛】
本题考察平面向量的最值问题，需要用到转化思想、基本不等式等，综合性很强，属于中档题．
15．4【分析】利用求解【详解】当时等号成立故答案为4【点睛】本题主要考查绝对值不等式求最值意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力
解析：4 【分析】
利用|1||4||2||31(4)||2(3)|x x x x ||x x x x -+-+-+-≥---+---求解. 【详解】
()=1234g x |x |+|x |+|x |+|x |----
|1||4||2||31(4)||2(3)|x x x x ||x x x x =-+-+-+-≥---+--- 4=，当23x ≤≤时，等号成立.
故答案为4 【点睛】
本题主要考查绝对值不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
16．【详解】试题分析：要比较的大小只须比较要比较两数的大小只须比较的大小显然从而考点：1数或式的大小比较；2分析法 解析：>
【详解】
213=+、
2
1313=+=+，要比较13+13+
>>
考点：1．数或式的大小比较；2．分析法．
17．【分析】由于时故问题转化为不等式对任意都成立再根据绝对值为求解即可得答案【详解】解：因为时所以所以不等式对任意都成立所以对任意都成立
即对任意都成立因为在的最大值为：所以故答案为：【点睛】本题考查绝对 解析：()3,5
【分析】
由于[]1,2x ∈时，[]22,4x ∈，故问题转化为不等式252x x y -<-对任意[]
1,2x ∈都成立，再根据绝对值为求解即可得答案.
【详解】
解：因为[]
1,2x ∈时，[]22,4x ∈，所以520x ->， 所以不等式252x x y -<-对任意[]
1,2x ∈都成立
所以25252x x x y -<-<-对任意[]1,2x ∈都成立，
即1255x y +-<<对任意[]1,2x ∈都成立
因为125x y +=-在[]1,2x ∈的最大值为：3， 所以35y <<
故答案为：()3,5
【点睛】
本题考查绝对值不等式恒成立求参数问题，是中档题.
18．【分析】利用绝对值三角不等式可求得根据不等式解集不为空集可得根式不等式根据根式不等式的求法可求得结果【详解】由绝对值三角不等式得：即原不等式解集不是空集即当时不等式显然成立；当时解得：；综上所述：的 解析：(3,)+∞
【分析】 利用绝对值三角不等式可求得()min 34
7x x -++=，根据不等式解集不为空集可得根式
不等式，根据根式不等式的求法可求得结果.
【详解】 由绝对值三角不等式得：()()34347x x x x -++≥--+=，即()min 347x x -++=.
原不等式解集不是空集，7a ∴>
7a >-
当7a >时，不等式显然成立；
当7a ≤时，()
2130
137a a a +≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩，解得：37a <≤； 综上所述：a 的取值范围为()3,+∞.
故答案为：()3,+∞.
【点睛】
本题考查根据不等式的解集求解参数范围的问题，涉及到绝对值三角不等式的应用、根式不等式的求解等知识；关键是能够根据利用绝对值三角不等式求得函数的最值，将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系问题.
19．或【分析】令利用整体代换原不等式等价于：存在实数使得易得或令则问题转化为存在使得或成立利用分离参数法易得的范围【详解】令存在实数使得成立转化为：存在实数使得成立易得或因为实数令则问题转化为存在使得或 解析：6c ≤-或2c ≥
【分析】 令4cos 3cos 3
c t a a =+++，利用整体代换，原不等式等价于：存在实数t 使得{}max ,410t t +≥，易得10t ≤-，或6t ≥，令[]cos 324m a =+∈,，则4c t m m =+，问题转化为存在[]2,4m ∈，使得10t ≤-，或6t ≥成立，利用分离参数法，易得c 的范围．
【详解】 令4cos 3cos 3
c t a a =+++， 存在实数a 使得44max cos 3,cos 710cos 3cos 3c c a a a a ⎧⎫++++≥⎨⎬++⎩
⎭成立， 转化为：存在实数t 使得max ,}1{40t t +≥成立，易得10t ≤-，或6t ≥，
因为a 实数，[]cos 32,4a +∈，令[]cos 324m a =+∈,
， 则4c t m m =+， 问题转化为存在[]2,4m ∈，使得10t ≤-，或6t ≥成立；
当10t ≤-时，可得410c m m +
≤-，可得[]2410,2,4c m m m ≤--∈ ，可得6c ≤-； 当6t ≥时，可得46c m m
+≥，即246,24[,]c m m m ≥-∈，可得2c ≥； 所以c 的范围为6c ≤-或2c ≥．
故答案为：6c ≤-或2c ≥．
【点睛】
本题考查函数与方程的应用，函数能成立问题的转化，考查分析问题解决问题以及分类讨论思想的应用．
20．【分析】令所以函数的最大值为即可求解【详解】令所以函数的最大值为要使得关于的不等式的解集为所以故答案为【点睛】本题主要考查了函数的恒成立问题的求解其中解答中求得分段函数的最大值解答的关键着重考查了推 解析：3a ≥
【分析】
令()3,12121,213,2x f x x x x x x >⎧⎪=+--=+-≤≤⎨⎪-<-⎩
，所以函数的最大值为3，即可求解.
【详解】
令()3,12121,213,2x f x x x x x x >⎧⎪=+--=+-≤≤⎨⎪-<-⎩
，所以函数的最大值为3，
要使得关于x 的不等式21x x a +--≤的解集为R ，所以3a ≥.
故答案为3a ≥.
【点睛】
本题主要考查了函数的恒成立问题的求解，其中解答中求得分段函数的最大值解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
三、解答题
21．（1）(2,2)M =-；（2）证明见解析.
【分析】
（1）分类讨论去绝对值，将函数化为分段函数，再利用()4f x <，即可求解；
（2）利用作差法，证明224()(4)0a b ab +-+<，即可证明结论.
【详解】
（1）21()112
1121x x f x x x x x x -<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪>⎩
， 所以()4f x <等价于
124x x <-⎧⎨-<⎩或1124x -≤≤⎧⎨<⎩或124x x >⎧⎨<⎩
， 21x -<<-或11x -≤≤或12x <<，
22,(2,2)x M ∴-<<=-；
（2）当,a b M ∈时，即22,22a b -<<-<<，
2222224()(4)4416a b ab a b a b +-+=+--
22(4)(4)0a b =--<，
224()(4),2|||4|a b ab a b ab ∴+<+∴+<+.
【点睛】
本题考查绝对值不等式求解、不等式的证明，分类讨论去绝对值是解题的关键，利用作差法证明不等式，属于中档题.
22．（1）(,6)(2,)-∞--+∞；（2）(1,4)-.
【分析】
（1）将函数()y f x =的解析式表示为分段函数，然后分3x ≤-、31x -<<、1≥x 三段求解不等式()1f x <，综合可得出不等式()1f x <的解集；
（2）求出函数()y f x =的最大值max ()f x ，由题意得出2max 3()m m f x -<，解此不等式
即可得出实数m 的取值范围.
【详解】
7,3()12335,317,1x x f x x x x x x x +≤-⎧⎪=--+=---<<⎨⎪--≥⎩
. （1）当3x ≤-时，由()71f x x =+<，解得6x <-，此时6x <-；
当31x -<<时，由()351f x x =--<，解得2x >-，此时21x -<<；
当1≥x 时，由()71f x x =--<，解得8x >-，此时1≥x .
综上所述，不等式()1f x <的解集(,6)(2,)-∞--+∞.
（2）当3x ≤-时，函数()7f x x =+单调递增，则()(3)4f x f ≤-=；
当31x -<<时，函数()35f x x =--单调递减，则(1)()(3)f f x f <<-，即
8()4f x -<<；
当1≥x 时，函数()7f x x =--单调递减，则()(1)8f x f ≤-=-.
综上所述，函数()y f x =的最大值为max ()(3)4f x f =-=，
由题知，2max 3()4m m f x -<=，解得14-<<m .
因此，实数m 的取值范围是(1,4)-.
【点睛】
本题主要考查含有两个绝对值的不等式的求解，以及和绝对值不等式有关的存在性问题的求解，意在考查学生分类讨论思想的应用，转化能力和运算求解能力，属于中等题. 23．（1）3522⎛⎫- ⎪⎝⎭，（2）详见解析
【解析】
试题分析：（1）利用绝对值定义，将不等式等价转化为三个不等式组，它们的并集为所求解（2）证明不等式恒成立问题，实质是求对应函数()()22y f ax af x ax a x =+=-+-最值问题，利用绝对值三角不等式易得函数最小值：y 2222ax a ax a ≥-+-=-，再根据2a >，易得()()2f ax af x +>
试题
（1）解：(1)(2)4f x f x +++<，即14x x -+<，
①当0x ≤时，不等式为14x x --<，即32
x >-，
302
x ∴-<≤是不等式的解； ②当01x <≤时，不等式为14x x -+<，即14<恒成立，
01x ∴<≤是不等式的解；
③当1x >时，不等式为14x x -+<，即52
x <， 512
x ∴<<是不等式的解． 综上所述，不等式的解集为3522⎛⎫- ⎪⎝⎭，．
（2）证明：2a >，
()()22f ax af x ax a x ∴+=-+-
22ax ax a =-+-22ax a ax =-+-≥22222ax a ax a -+-=->，
()()2x R f ax af x ，∴∀∈+>恒成立．
考点：绝对值定义，绝对值三角不等式
【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
24．（1）证明见解析.（2）证明见解析
【分析】
（1）根据条件利用基本不等式可得
221344a b ab ab +=+，然后解关于ab 的不等式即可； （2）要证
3311113()a b a b --，即证221113a ab b ++，然后根据条件得到221113a ab b ++成立．
【详解】
（1）证明：由2210,
344>+=≥+ab a b ab ab (当且仅当224a b =，即2a b ==得“=”).
所以2134()ab ab +≥，即24()310ab ab --≤，所以1ab ≤(当且仅当2
a b ==时取得“=”) （2）332222111111111111111133=3a b a b a b a ab b a b a b a ab b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-++---++- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(※)，
因为0b a >>，所以
110->a b . 又221113a ab b ab ++≥，当且仅当a b =时取得“=”，又0b a >>，故221113a ab b ab ++>， 又由（1）知1ab ≤，又0b a >>，故11ab >，故2211133a ab b ab
++>>，即22
11130a ab b ++->， 故(※)式成立，即原不等式成立.
【点睛】
本题考查了基本不等式，利用综合法证明不等式和利用分析法证明不等式，考查了转化思想，属于中档题．
25．（1）{3|x x ≤-或1}x ≥（2）3a ≥-
【分析】
(1) 设()()f x g x =-,再分21x <-,102x -≤<与0x ≥三种情况去绝对值分段求解不等式即可.
(2)化简原式可得
11||||22a x x +≥+-,再根据三角不等式求解1||||2
x x +-的最小值即可. 【详解】
（1）设()()f x g x =-则()0()0g x f x ≤⇔≥, 函数13,21()21231,021,0x x f x x x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=+--=--≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩
, 当21x <-
时,由30x --≥得3x ≤-； 当102
x -≤<时,由310x -≥,无解 当0x ≥时,由10x -≥得1x ≥
综上,解集为{3|x x ≤-或1}x ≥
(2) ()||g x x a ≥--,即
11||||22
a x x +≥+-, ∵x ∃,使不等式11||||22
a x x +≥+-成立 ∴min 11(||||)22a x x +≥+-,又∵111||||||222x x x x +-≥-+-=-
∴1122
a +≥-,3a ≥-. 【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式的求解以及绝对值的三角不等式,属于中档题.
26．（1）见解析（2）12[,]55-
【分析】
(1)代入1a b +=可得11(2)(2)(2)(2)a b a b a b a b ++++=+
+,再展开利用基本不等式求最小值即可.
(2)根据A
B A =可知A B ⊆,再根据区间端点的位置关系列出不等式,求解确定参数的取值
范围即可.
【详解】
（1） ∵a ,b 均为正数,1a b +=
1133(2)(2)(2)(2)(3)(3)1010316a b a b b a b a a b a b a b a b ++++=++=++=++≥+⨯ 当且仅当b a a b =,即12
a b ==时取等号 （2）由题意解得：
24{|1531}{|}55
A x x x x =-<-<=<<,()(){|10}{|1}
B x x a x a x a x a =---≤=≤≤+.
由A B A =,即A B ⊆,则25415a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩
, 故所求实数a 的取值范围是12[,]55-
【点睛】
本题主要考查了基本不等式中“1的妙用”,同时也考查了根据集合间的基本关系求解参数范围的问题.属于中档题.。