2018_2019学年高中数学课时分层作业17空间向量基本定理空间向量的坐标表示苏教版必修4

课时分层作业(十七) 空间向量基本定理 空间向量的坐标表示
(建议用时：40分钟)
[基础达标练] 一、填空题
1．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且存在实数x ，y ，z 使得x a ＋y b ＋z c ＝0，则x ，y ，
z 满足的条件是________． [解析]由{a ，b ，c }是空间的一个基底知，a ，b ，c 不共面． 由空间向量基本定理得x ＝y ＝z ＝0. [答案]x ＝y ＝z ＝0 2．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝________. [解析]b ＝a －(a －b )＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)． [答案](2，－4,2)
3．若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a1b1＝a2b2＝a3b3
是a ∥b 的________条件． [解析]设a1b1＝a2b2＝a3b3
＝k ，易知a ∥b ，即条件具有充分性．又若b ＝0时，b ＝(0,0,0)，显然有a ∥b ，但条件a1b1＝a2b2＝a3b3显然不成立，所以条件不具有必要性． [答案]充分不必要
4．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，向量m ＝a ＋b ，n ＝a －b ，则向量a ，b ，c 中与m ，n 可以构成空间向量另一个基底的向量是________.
【导学号：71392170】
[解析]显然a 或b 均与m ，n 共面，c 与m ，n 不共面，故为c .
[答案]c
5．如图3­1­21所示，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE →＝12
OD →＋x OB →＋y OA →
，则x ＝_________，y ＝________.
图3­1­21
[解析]∵AE →＝OE →－OA →＝12OC →－OA →＝12(OD →＋DC →)－OA →＝12OD →＋12AB →－OA →＝12OD →＋12
(OB →－OA →)－
OA →＝12OD →＋12OB →－32OA →，∴x ＝12，y ＝－32. [答案]12 －32
6．已知a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，若a ∥b ，则x ＝________，y ＝________. [解析]∵a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，又∵a ∥b ，显然y ≠0，∴2x 1＝1－2y ＝39
，∴x ＝16，y ＝－32
. [答案]16 －32
7．如图3­1­22在边长为2的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，取D 点为原点建立空间直角坐标
系，O ，M 分别是AC ，DD 1的中点，写出下列向量的坐标．
AM →＝________，OB 1
＝________.
图3­1­22 [解析]∵A (2,0,0)，M (0,0,1)， B 1
(2,2,2)，O (1,1,0)，
∴AM →＝(－2,0,1)，
OB1→＝(1,1,2)． [答案](－2,0,1)(1,1,2) 8．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，点M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点
G 在线段MN 上，且MG ＝2GN ，用基底向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →为________.
【导学号：71392171】
图3­1­23
[解析]OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23MN → ＝12OA →＋23(ON →－OM →) ＝12OA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(OB →＋OC →)－12OA → ＝12OA →＋13(OB →＋OC →)－13OA → ＝16OA →＋13OB →＋13OC →. [答案]16OA →＋13OB →＋13OC → 二、解答题
9．如图3­1­24所示，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．
图3­1­24
(1)化简：A1O →－12AB →－12
AD →； (2)设E 是棱DD 1
上的点且DE →＝23
DD1→，若EO →＝x AB →＋y AD →＋z AA1→，试求x ，y ，z 的值． [解](1)∵AB →＋AD →＝AC →，
∴A1O →－12AB →－12
AD → ＝A1O →－12
(AB →＋AD →) ＝A1O →－12
AC →＝A1O →－AO →＝A1A →. (2)∵EO →＝ED →＋DO
→ ＝23D1D →＋12
DB → ＝23D1D →＋12(DA →＋AB →)
＝23A1A →＋12DA →＋12
AB → ＝12AB →－12AD →－23
AA1→. 即x ＝12，y ＝－12，z ＝－23
. 10．如图3­1­25，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，点P 是线段BD 1上一动点，E 是BC 的中点，当点P 在什么位置时，PE ∥A 1
B? 【导学号：71392172】
图3­1­25
[解]以D 为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则A 1(4,0,3)，B (4,4,0)，C (0,4,0)，
D 1(0,0,3)．
∵E 为BC 的中点， ∴E (2,4,0)．
∴A1B →＝(4,4,0)－(4,0,3)＝(0,4，－3)，
BD1→＝(0,0,3)－(4,4,0)＝(－4，－4,3)，EB →＝(4,4,0)－(2,4,0)＝(2,0,0)．
设BP →＝λBD1→，则EP →＝EB →＋BP →＝EB →＋λBD1→.
∵EB →＝(2,0,0)，λBD1→＝(－4λ，－4λ，3λ)，
∴EP →＝(2－4λ，－4λ，3λ)．
由PE ∥A 1
B ，得EP →∥A1B →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
2－4λ＝0，－4λ4＝3λ－3，
∴λ＝12
. 此时点P 为BD 1的中点． 故当点P 为BD 1的中点时，PE ∥A 1B . [能力提升练] 1．有以下命题：
①如果向量a ，b 与任何向量均不能构成空间向量的一组基底，那么a ，b 的关系是不共
线； ②O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不构成空间的一个基底，则点O ，A ，B ，
C 一定共面； ③已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，则向量a ＋b ，a －b ，c 也是空间的一个基底． 其中正确的命题是________．
[解析]①错误，当a ，b 共线时，才可与任何向量不能构成空间向量的一组基底；②由于OA →，OB →，OC →不构成空间的一个基底，故OA →，OB →，OC →共面，即O ，A ，B ，C 四点共面，即②正确；
③如图所示，在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA1→＝c ，则a ＋b ＝AC →，a －
b ＝DB →，显然AC →，DB →，AA1→不共面，也是基底，③正确．
[答案]②③
2．已知点A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点，且AC →＝13
AB →，则C 点坐标为________． [解析]设C 点坐标为(x ，y ，z )，则AC →＝(x －4，y －1，z －3)．
∵AB →＝(－2，－6，－2)，
∴13AB →＝13(－2，－6，－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23
，－2，－23， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －4＝－23，y －1＝－2，
z －3＝－23，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝103，y ＝－1，z ＝73.。