2018版高中数学苏教版选修1-1：第二章 2.4.2 抛物线的几何性质
苏教版高中数学选修1-1知识讲解_抛物线的性质_基础
抛物线的性质 ： ：【学习目标】1．掌握抛物线的几何形状.2．理解抛物线的简单性质（范围、对称性、顶点、离心率）. 3．能用抛物线的性质解决与抛物线有关的简单问题. 4．掌握抛物线与直线的位置关系并能解决有关的简单问题. 5. 进一步体会数形结合的思想方法. 【要点梳理】要点一：抛物线标准方程22(0)y px p =>的几何性质 范围：{0}x x ≥，{}y y R ∈，抛物线y 2=2px （p ＞0）在y 轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标（x ，y ）的横坐标满足不等式x≥0；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
抛物线是无界曲线。
对称性：关于x 轴对称抛物线y 2=2px （p ＞0）关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。
抛物线只有一条对称轴。
顶点：坐标原点抛物线y 2=2px （p ＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。
抛物线的顶点坐标是（0，0）。
离心率：1e =.抛物线y 2=2px （p ＞0）上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。
用e 表示，e=1。
抛物线的通径通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。
因为通过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，,2p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以抛物线的通径长为2p 。
这就是抛物线标准方程中2p 的一种几何意义。
另一方面，由通径的定义我们还可以看出，P 刻画了抛物线开口的大小，P 值越大，开口越宽；P 值越小，开口越窄．要点二：抛物线标准方程几何性质的对比要点诠释：（1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；（2）标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线l上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程.要点三：直线与抛物线的位置关系=+与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元将直线的方程y kx m二次方程，其判别式为Δ.2220ky py pm-+=k=，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；若0k≠若0①Δ＞0 ⇔直线和抛物线相交，有两个交点；②Δ＝0⇔直线和抛物线相切，有一个公共点；③Δ＜0⇔直线和抛物线相离，无公共点．要点四：直线与抛物线的相交弦设直线y kx m =+交抛物线交于点111222(,),(,)P x y P x y 两点，则12||PP12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -12||y y -要点五：抛物线的焦点弦问题已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 2.4.2 抛物线的几何性质》9
抛物线复习教学设计一、教学目标分析1、知识与技能:通过根底知识梳理理清思路题组训练进行复习通过复习掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程和简单几何性质会求抛物线的标准方程能解决直线与抛物线位置关系等问题。
通过问题解决的过程中培养学生观察问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。
2、过程与方法:通过经历和体验问题解决的过程让学生体会过程的重要性并在解决问题的过程中学会自主学习、学会探究问题本课中学生通过应用抛物线定义解决问题、探究抛物线中焦点弦的有关问题去感受和理解分类讨论、化归与转化、函数与方程、数形结合等根本数学思想方法。
3、情感态度与价值观注重教学过程中师生间、生生间情感交流鼓励学生大胆尝试、发现问题、解决问题培养他们积极进取的探索精神增强解决问题的信心、树立学好数学的决心并获得成功的积极情感体验。
同时通过学习交流和反思活动让学生感受数学美的魅力共享同伴成长之乐趣。
二、教学重难点分析1、教学重点抛物线的定义、标准方程和几何性质。
2、教学难点应用抛物线定义和几何性质解决有关问题。
三、学情学法分析1、学生学习本课内容的根底本课是高三数学文第一轮复习抛物线第1课时设计难度不大。
学生在学习新课时已经初步掌握了抛物线的定义、几何图形、标准方程和几何性质、直线与抛物线位置关系等内容只是学生对知识点有所遗忘本课通过对根底知识点进行梳理设计题组训练进行复习对于大多数学生来说并不是太难。
2、学生学习本课内容的能力高三学生的自主学习能力较强好胜心、进取心强学习目的性明确具有一定的探究问题的意识与能力也熟悉分类讨论、数形结合、函数与方程等根本数学思想方法因此学生有能力通过本课复习进一步稳固抛物线定义、标准方程、几何性质并对问题进行延伸拓展和提高。
但同时由于个体认知水平、学习能力等方面的差异表现出不同的学习状态。
3、学法分析本课的教学设计通过根底知识梳理设计题组训练进行复习旨在搭设台阶降低坡度引导学生应用抛物线定义解决问题、探究抛物线中焦点弦的有关问题通过观察、分析、推理、运算来探究问题让学生在探究中学会学习、学会观察问题、分析问题和解决问题。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的几何性质(二)课件 苏教版选修1-1.pptx
(2)求证：直线AB过定点. 证明
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反思与感悟
在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这 类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这 类问题的关键是代换和转化.
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跟踪训练 3 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与抛物线 y2＝4x 相交于不 同的 A、B 两点. (1)如果直线 l 过抛物线的焦点，求O→A·O→B的值； 解答
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(2)求直线AB的方程. 解答
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 y21＝4x1，
①
y22＝4x2，
②
且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 由②－①，得(y1＋y2)(y2－y1)＝4(x2－x1)， 所以yx22－－yx11＝2. 所以直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，
即2x－y－3＝0.
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(3)设直线l：y＝x＋m，当实数m为何值时，直线l与曲线C有交点？
解答
由题意，联立y＝x＋m和x2＝4y， 消去y并整理得x2－4x－4m＝0， 因为直线与曲线C有交点，所以Δ＝(－4)2＋16m≥0，解得m≥－1.
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类型二 与弦长、中点弦有关的问题 例2 已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点坐标为(1,0)， 线段AB恰被M(2,1)所平分. (1)求抛物线E的方程； 解答 由于抛物线的焦点坐标为(1,0)， 所以p2＝1，p＝2， 所以抛物线E的方程为y2＝4x.
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∵kAB＝xy22－－xy11，
④
y1＋y2＝2y0，
⑤
由③④⑤得 kAB＝yp0，即弦 AB 的斜率只与焦参数 p 和弦 AB 中点的 纵 坐 标有关.
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【高考数学】2018版高中数学苏教版选修1-1课件：第二章 2.4.1 抛物线的标准方程(高频考点汇总PPT课件)
解析答案
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2.过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦 长为________.
解析答案
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x2 y2 3.已知抛物线的顶点在原点， 对称轴为 x 轴， 焦点在双曲线 4 － 2 ＝1 上，
y2＝±8x 则抛物线的方程为____________.
解析 x2 y2 由题意知，抛物线的焦点为双曲线 4 － 2 ＝1 的顶点，即为(－2,0)
2 2
或(2,0)，所以抛物线的方程为 y ＝8x 或 y ＝－8x.解析答案1234
5
4.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则抛物线y2＝4x上一动点 2 P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________. 解析 易知直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，
如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的长度，
(2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？
的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线.
答案
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题型探究
重点突破
题型一
求抛物线的标准方程
例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)焦点为(－2,0)；
解析答案
(2)准线为y＝－1；
(3)过点A(2,3)；
解析答案
5 (4)焦点到准线的距离为2.
代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05米，
所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.
解析答案
思想方法
分类讨论思想的应用 已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，且此抛物线上的一
例4
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 2.4.2 抛物线的几何性质》
课题：抛物线的几何性质〔授课年级及课型：高二新授课〕1教材内容分析〔苏教版高中数学选修1-1第二章第四节〕本堂课是苏教版高中课程标准实验教科书选修1-1第二章圆锥曲线中的第章节的内容，是学生在学习了椭圆、双曲线的以及抛物线的定义之后对抛物线几何性质的探索与应用由于学生已经有了在椭圆、双曲线中探究其几何性质的探究根底和知识根底，因此，本节课可以主要通过类比椭圆、双曲线，探索研究抛物线的几何性质，培养和开展学生自主探究能力，提出和发现问题、分析和解决问题的能力2学情分析：本节课对抛物线几何性质的学习是学生在学习了椭圆、双曲线的概念以及几何性质的根底上，进一步对抛物线及其性质进行研究利用椭圆及双曲线几何性质中学生积累的探究经验，学生可以自行通过类比，明确抛物线需要探究的要素以及探究问题的方式，这是对本节课学习的有利因素抛物线作为一类特殊的圆锥曲线，其有处理的特殊方法和研究技巧，即利用到焦点和准线的距离相等，可以将焦半径或是焦点弦的计算转化为点到准线的距离，利用点的坐标进行表示，学生能否深刻理解抛物线的定义，发现和掌握这种处理方法是本节课教师需要着重引导的问题之一3教学目标〔1〕理解并掌握抛物线的简单几何性质，会根据性质处理简单问题；〔2〕能借助抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，从而解决有关焦半径、焦点弦的问题；〔3〕通过探究过程，培养学生分析、探究和解决问题的能力，进一步体会分类讨论、数形结合和转化的数学思想方法4教学重点与难点教学重点：探究抛物线的简单几何性质；教学难点：抛物线焦半径、焦点弦的计算；5教学方法与策略本节课采用启发式教学与探究式教学相结合，通过学生自主探究，培养和开展学生自主探究能力，提出和发现问题、分析和解决问题的能力，感受数学中研究问题中，例如：归纳、类比等思维方式，增强学生学好数学的自信6教学过程复习回忆，启发思考对于椭圆、双曲线我们研究了它们的哪些几何性质？是如何进行研究的？〔学生答复〕对称性、顶点、范围、离心率等所用的推理思想：图象、算术推理6.2以问题为导向，探究新知学生活动：探究抛物线的几何性质？（1）范围（2）对称性（3）顶点O（4）开口方向思考：结合图象，说说抛物线、、的几何性质？练习：抛物线的范围_______________,对称性__________,开口方向__________:抛物线的范围_______________,对称性__________,开口方向__________:6.3例题讲解，知识内化例1、求顶点在原点，焦点为F〔-4,0〕的抛物线方程〔学生答复〕解：设∵F〔-4,0〕∴∴练习：抛物线的准线为=-2，焦点坐标_________,焦点到准线的距离__________,标准方程__________例2、抛物线上有一点的横坐标为6，该点到焦点的距离为10，求顶点到准线的距离〔学生答复〕由抛物线定义知：∴∴小结：抛物线上的点到焦点的连线叫做抛物线的焦半径，在处理有关焦半径的问题时，我们根据抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转换为点到准线的距离对于抛物线，焦半径长。
2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的几何性质(一)学案 苏教版选修1-1
2．4.2 抛物线的几何性质(一)学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一抛物线的几何性质思考1 类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物线y2＝2px(p>0)的范围、对称性、顶点坐标吗？思考2 参数p对抛物线开口大小有何影响？梳理知识点二焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：类型一由抛物线的几何性质求标准方程例1 已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．引申探究等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是________．反思与感悟用待定系数法求抛物线标准方程的步骤(1)定位置：根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向．(2)设方程：根据焦点和开口方向设出标准方程．(3)寻关系：根据条件列出关于p的方程．(4)得方程：解方程，将p代入所设方程为所求．跟踪训练1 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，求抛物线的方程．类型二抛物线的焦点弦问题例2 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求AB的值；(2)若AB＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．反思与感悟 (1)抛物线的焦半径(2)过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝x 1＋x 2＋p .然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x 1＋x 2即可． 跟踪训练2 已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且AB ＝52p ，求AB 所在直线的方程．类型三 抛物线在实际生活中的应用例3 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m 时，水面宽为8 m ，一小船宽4 m 、高2 m ，载货后船露出水面的部分为0.75 m ，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？反思与感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．跟踪训练3 如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位从警戒线开始以每小时0.2米的速度上升，再持续多少小时才能到拱桥顶？(平面直角坐标系是以桥顶点为原点O)1．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(－5，25)到焦点的距离是6，则抛物线方程为________．2．顶点在坐标原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是________．3．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则AB＝________.5．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．符合抛物线方程为y2＝10x的条件是________．(要求填写合适条件的序号)1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．抛物线中的最值问题：注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是平面几何知识的应用．提醒：完成作业第2章§2.4 2.4.2(一)答案精析问题导学 知识点一思考1 范围x ≥0，关于x 轴对称，顶点坐标(0,0)．思考2 参数p (p >0)对抛物线开口大小的影响，因为过抛物线的焦点F 且垂直于对称轴的弦的长度是2p ，所以p 越大，开口越大．梳理 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R x ∈R ，y ≥0 x ∈R ，y ≤0 x 轴 y 轴 (0,0) 1 题型探究例1 解 由题意设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)， 焦点坐标为F (m 2，0)．直线l ：x ＝m 2，所以A ，B 两点的坐标为(m2，m )，(m2，－m )，所以AB ＝2|m |. 因为△OAB 的面积为4， 所以12·|m2|·2|m |＝4，所以m ＝±2 2.所以抛物线的标准方程为y 2＝±42x . 引申探究 4p 2跟踪训练1 解 设抛物线的方程为y 2＝2ax (a ≠0)，点P (x 0，y 0)． 因为点P 到对称轴距离为6， 所以y 0＝±6.因为点P 到准线距离为10， 所以|x 0＋a2|＝10.①因为点P 在抛物线上，所以36＝2ax 0，②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，x 0＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝18，x 0＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，x 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，x 0＝－9.所以所求抛物线的方程为y 2＝±4x 或y 2＝±36x . 例2 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率为k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5. 而AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以AB ＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由抛物线定义知，AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，所以线段AB 的中点M 的横坐标是3. 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.跟踪训练2 解 如图所示，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，A ，B 到准线的距离分别为d A ，d B .由抛物线的定义知，AF ＝d A ＝x 1＋p2，BF ＝d B ＝x 2＋p2，于是AB ＝x 1＋x 2＋p ＝52p ，x 1＋x 2＝32p .当x 1＝x 2时，AB ＝2p <52p ，所以直线AB 与Ox 不垂直． 设直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －p 2，y 2＝2px ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋14k 2p 2＝0， x 1＋x 2＝p k 2＋k 2＝32p ， 解得k ＝±2，所以直线AB 的方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p2)．例3 解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．由题意可知，点B (4，－5)在抛物线上，故p ＝85，得x 2＝－165y .当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )，由22＝－165y A ，得y A ＝－54.又知船面露出水面的部分为0.75 m ，所以h ＝|y A |＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m 时，小船开始不能通航． 跟踪训练3 解 设所求抛物线的方程为y ＝ax 2. 设D (5，b )，则B (10，b －3)．把D 、B 的坐标分别代入y ＝ax 2，得⎩⎪⎨⎪⎧25a ＝b ，100a ＝b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－125，b ＝－1，∴y ＝－125x 2.∵b ＝－1，∴拱桥顶O 到CD 的距离为1， ∴t ＝10.2＝5小时．即再持续5小时到达拱桥顶． 当堂训练1．y 2＝－4x 2.x 2＝±16y 3．(18，±24) 4.8 5.②⑤。
苏教版高中数学选修(1-1)-2.4《抛物线的几何性质》教学教案
抛物线的几何性质学习目标：1、掌握抛物线的几何性质，理解其产生过程；2、能应用抛物线的几何性质解决有关问题；学习重点：抛物线几何性质学习过程：一、问题情境1．上节课我们学习了抛物线，通过抛物线的定义研究了它的标准方程。
首先来回顾一下抛物线的定义及其标准方程。
2．同学们觉得这节课应该研究什么内容？类比椭圆、双曲线的研究过程，这节课应该来研究“抛物线的几何性质”。
二、探索研究同学们自己先类比探索“抛物线的几何性质有哪些？如何研究？”，必要时可与同桌交流你的结论。
三、归纳总结四、例题解析1．求满足下列条件的抛物线方程：(1) 顶点在坐标原点，焦点为F(5，0)；(2) 顶点在坐标原点，关于y 轴对称，且经过M(2, 22-)； (3) 顶点在坐标原点，准线方程为x=3分析：根据待定系数法设出抛物线的方程，由题意列出相应的关系式求解。
2．汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197mm ，反光曲面的顶点到灯口的距离是69mm 。
由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线。
为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？(精确到1mm)课下思考：设过抛物线y 2=2px 的焦点F 的一条直线和抛物线有两个交点，且两个交点的纵坐标为和，求证：=-p 2。
五、巩固练习1、求下列条件的抛物线的方程： （1）顶点在原点，焦点为（0,5）；（2）对称轴为x 轴，顶点在原点，且过点（-3,4）.解：如图，在车灯的一个轴截面上建立直角坐标系。
设抛物线方程为22(0)y px p =>，灯应安装在其焦点F 处。
在x 轴上取一点C ，使OC=69，过C 做x 轴的垂线，交抛物线于A 、B 两点，AB 就是灯口的直径，即AB=197，所以点A 的坐标为（69，1972） 将A 点代入方程22,70.3y px x =≈解得 它的焦点坐标约为F （35,0）因此，灯泡应该安装在距顶点约35mm 处.。
2018年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的几何性质课件6 苏教版选修1-1
课后回顾：
1、平面内到定点（1，1）和到定直 线 x+y-2=0 距离相等的点的轨迹 是____________
2、过点 （1，-2）的抛物线的标 准方程是_______________
课后回顾：
3、已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点 且斜率为1的直线交抛物线于A、B两 点，若线段AB的中点的纵坐标为2， 则该抛物线为_________
（2）已知抛物线型拱桥的顶点距水面 2m，测量得水面的宽度为8m，当水 面上升1m后，水面宽度为_____
（3）已知点M是抛物线 y2 4x 上的一 点，F为抛物线的焦点，A点在圆C (x-4)2+(y-1)2=1上，则MF+MA的最 小值为_____
（4）已知抛物线 y2 2x 的焦
点弦为AB，则 OA OB 的值为___
4、在抛物线y=x2上有一点，则该点到 直线2x-y-4=0的距离最短时的点坐标 为________
课后回顾：
5、设P为抛物线y2=4x上的动点，若有 点B（2，3）则PB+PF的最小值为___
6、直线l过y2=4x的焦点与抛物线交于A、 B两点，当线段AB中点的横坐标为2时 线段AB的长为_____
• 直线改为y-2=0呢？
• 抛物线 y 4x2上的一点M到焦点的距离为
1，则点M的纵坐标为_____
• 变式：已知抛物线上两点A、B到焦点的距 离之和为5，则线段AB的中点到y轴的距离 为_____
• 抛物线 yax2(a0) 的焦点坐标是____
• 该抛物线的准线是什么？
• 若抛物线 y2 2px 的焦点与双曲
• 求直线时，已知直线过一点可以求斜率 （注意斜率是否存在），也可再求一点
苏教版选修1-1高中数学2.4.2《抛物线的几何性质》1
江苏省涟水县第一中学高中数学 2.4.2 抛物线的几何性质（1）教学案苏教版选修1-1教学目标：掌握抛物线的几何性质，能应用抛物线的几何性质解决问题．教学重点、难点：抛物线的几何性质．教学方法：自主探究．课堂结构：一、复习回顾抛物线的标准方程有哪些？二、自主探究探究1类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？根据抛物线)0(22>=ppxy的图象研究抛物线的几何性质．1．范围．当x的值时，y也，这说明此抛物线向右上方和右下方无限延伸．2．对称性．从图象上看：抛物线关于轴对称；从方程上看：把y换成y-方程不变，图象关于轴对称．3．顶点．抛物线和它对称轴的交点叫抛物线的顶点，即坐标原点．4．离心率．抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率．由定义知，抛物线y2＝2px（p>0）的离心率为e＝1．2px x2 = 2p y三、例题评析例1 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M -，求它的标准方程．例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处． 已知灯口圆的直径为60cm ，灯深40cm ，求抛物线的标准方程和焦点位置．例3 图中是抛物线形拱桥，当水面在位置l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水下降1米后，水面宽多少？若在水面上有一宽为2米，高为1．6米的船只，能否安全通过拱桥？班级：高二（ ）班 姓名：____________1.抛物线的通经：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦叫做抛物线的通经，抛物线)0(22>=p px y 的通经为 .2．已知抛物线的顶点为原点，焦点在y 轴上，抛物线上点(),2m -到焦点的距离为4，则m 的值为_________________3.抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为____________4.已知抛物线24y x =上一点到焦点的距离为5，则这点坐标为____________5．抛物线22y x =上的两点A 、B 到焦点的距离之和为5，则线段AB 的中点的横坐标是 ．6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线042=--y x 上， 求抛物线的方程．7．已知抛物线的顶点是双曲线14491622=-y x 的中心，而焦点是双曲线的左顶点， 求抛物线的方程．8.抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．。
【高考数学】2018版高中数学苏教版选修1-1课件：第二章 2.4.2 抛物线的几何性质(高频考点汇总PPT课件)
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2
B两点.
已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、
(1)若直线l的倾斜角为60°，求AB的值；
解析答案
(2)若AB＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.
解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知
p p AB＝AF＋BF＝x1＋2＋x2＋2＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，
解析答案
1
2
3
4
5
1 －4 5.已知直线x－y＋1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________.
解析
x－y＋1＝0， 2 由 消去 y 得 ax －x－1＝0， 2 y＝ax ，
∵直线与抛物线相切，∴a≠0且Δ＝1＋4a＝0.
1 ∴a＝－4.
解析答案
课堂小结 1. 讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何 性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程. 2. 直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是 不过焦点的弦.解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、 弦的斜率.常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x或 y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点.尤其是 弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
图形
范围 对称轴
顶点
x≥0， y∈R
x≤0 ，
y∈R
x∈R， y≥01
x∈R，y≤01 y轴
性 质
x轴
x轴
y轴
(0,0) 1
离心率
e=1 1
2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质二课件苏教版选修1_1
有一个公共点？有两个公共点？没有公共点？ 解答
跟踪训练 1
平面内一动点 M(x ， y) 到定点 F(0,1) 和到定直线 y ＝－ 1 的
距离相等，设M的轨迹是曲线C. (1)求曲线C的方程； 解答 依题意知曲线C是抛物线，设其方程为x2＝2py(p>0).
p 由定义可得2＝1，解得 p＝2，所以抛物线 C 的方程为 x2＝4y.
平行或重合 ，此时直线与抛物线有 一 个公共点．
知识点二
1.相交弦长
抛物线中的弦长与中点弦问题
弦长公式：d＝ 1＋k |x1－x2|＝
2
1 1＋k2|y1－y2|.
2.已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的一条弦，其中点M的坐标为(x0，y0)， 运用平方差法可推导AB的斜率如下：
2 y1＝2px1，① 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 2 y2＝2px2，②
类型二 例2
与弦长、中点弦有关的问题
已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点坐标为(1,0)，
线段AB恰被M(2,1)所平分. (1)求抛物线E的方程； 解答
由于抛物线的焦点坐标为(1,0)，
p 所以2＝1，p＝2，
所以抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)求直线AB的方程. 解答 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
y＝x－1， 由 2 得 y2－4y－4＝0， y ＝4x，
解析
∴y1＋y2＝4，x1＋x2＝y1＋y2＋2＝6，
∴中点坐标为(3,2).
1
2
3
4
5
3.过抛物线y2＝4x的顶点O作互相垂直的两弦 OM、ON，则M的横坐标x1 16 答案 解析 与N的横坐标x 之积为________.
2018年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的几何性质课件4 苏教版选修1-1
上)的距相离 等
的点的轨迹叫做
抛物线．
焦点
• 点F准叫线做抛物线的
，直线l
叫做抛物线的
．
思考:当定点F在定直线L上时，动点的轨迹 是什么图形？
2．抛物线的标准方程与几何性质
思考：如何确定抛物线方程？
定位 定焦点位置（或定开口方向） 定量 定特征量的值
标准方程 2PPP
2
知识梳理（二）
• 焦点在x轴的抛物线方程可设为 y2 ax a0
之和的最小值是_____．
三、自主合作学习
• 例3： 若点P到点F（4，0）的距离比它到 直线 的距离小1，则点P的轨迹方程是 _____
三、自主合作学习
• 变式：若点M到 F1,0
离比它x 到 0直线
则点M的轨迹方程为
点 的距 的距离大1，
的左顶点；
• (2)过点P(2，－4)．
三、自主合作学习
• 变式 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距 离为5，求m的值、抛物线方程和准线方
程．
三、自主合作学习
• 例2（1）设 P是抛物线y 2 4 x 动点， F是焦点
上的一个
• ①求点P 到点A(1,1)
抛物线定义及几何意义
• 高中太可怕了，同学把水果扔到居民 区，学校广播了没人承认，物理老师 和数学老师联手，通过抛物线以及水 果扔出去的距离，最终找到了扔水果 的宿舍，太厉害了这不是段子，这是 发生在绵阳东辰高中真实的一幕。
一、知识梳理（一）
• 1．抛物线的概念
• 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l
• 焦点在y轴的抛物线方程可设为 x2 ay a0
• 3.焦点弦长公式：设AB是过抛物线 y2 2px (p0) 焦点的一条弦， AB x1x2 p
苏教版高中数学选修1-1《抛物线的几何性质》教案
抛物线的几何性质学习目标：1、掌握抛物线的几何性质，理解其产生过程；2、能应用抛物线的几何性质解决有关问题；学习重点： 抛物线几何性质 学习过程： 一、问题情境1．上节课我们学习了抛物线，通过抛物线的定义研究了它的标准方程。
首先来回顾一下抛物线的定义及其标准方程。
2．同学们觉得这节课应该研究什么内容？类比椭圆、双曲线的研究过程，这节课应该来研究“抛物线的几何性质”。
二、探索研究同学们自己先类比探索“抛物线的几何性质有哪些？如何研究？”，必要时可与同桌交流你的结论。
三、归纳总结顶点 准线 范围 对称轴焦点 图 形方程 l Fy x O lF y xO lF y x O l Fy xOy 2 = 2px （p >0） y 2 = -2px （p >0） x 2 = 2py （p >0） x 2= -2py （p >0） )0,2(pF )0,2(p F -)2,0(pF )2,0(p F -2px =2px -=2p y -=2p y =x ≥0 y ∈R x ≤0 y ∈R y ≥0 x ∈Ry ≤ 0x ∈R(0,0) x 轴 y 轴(0,0) (0,0) (0,0)x 轴 y 轴四、例题解析1．求满足下列条件的抛物线方程：(1) 顶点在坐标原点，焦点为F(5，0)；(2) 顶点在坐标原点，关于y 轴对称，且经过M(2, 22-)； (3) 顶点在坐标原点，准线方程为x=3分析：根据待定系数法设出抛物线的方程，由题意列出相应的关系式求解。
2．汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197mm ，反光曲面的顶点到灯口的距离是69mm 。
由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线。
为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？(精确到1mm)课下思考：设过抛物线y 2=2px 的焦点F 的一条直线和抛物线有两个交点，且两个交点的纵坐标为和，求证：=-p 2。
江苏省高级中学(苏教版)高中数学选修1-1学案：2.4.2 抛物线的几何性质
课题： §2.4.2抛物线的几何性质【学习目标】掌握抛物线的几何性质，能应用抛物线的几何性质解决问题． 【学习重点与难点】抛物线的几何性质． 【学习过程】 一、问题情境抛物线的标准方程有哪些？二、建构数学探究1 类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？根据抛物线)0(22>=p px y 的图象研究抛物线的几何性质． 抛物线的几何性质．三、数学运用例1 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M-，求它的标准方程．变式顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点(2,M-的抛物线有几条？求出它们的标准方程．例 2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．例3 图中是抛物线形拱桥，当水面在位置l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水下降1米后，水面宽多少？若在水面上有一宽为2米，高为1．6米的船只，能否安全通过拱桥？四、课堂检测1．241x y =的焦点坐标是 ． 2．求适合下列条件的抛物线的方程： （1）顶点在原点，焦点为（0，－5）． （2）准线方程为3=x ，顶点为原点．（3）对称轴为x 轴，顶点在原点，且过点（－3，4）．3．顶点在原点，对称轴为y 轴，且焦点在直线02=+-y x 上的抛物线的标准方程 是 ，焦点坐标是 ，准线方程是 ．4．若P （x 0，y 0）是抛物线y 2＝－32x 上一点，F 为抛物线的焦点，则PF ＝ ．5．已知圆07622=--+x y x 与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则p = ．五 课后作业1.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为_____. 2.已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，AF ＝54x 0，则x 0＝________.3.已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM ＝________.4.已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________.5.已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C的焦点为F ，则直线BF 的斜率为________.6. 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点， 求证：①y1y2＝－p2，x1x2＝p2 4；②1AF ＋1BF为定值；③以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.。
2018学年高中数学选修1-1课件：2.4.2 抛物线的几何性质 精品
图 2-4-3
【解析】 设水面与拱桥的一个交点为 A，如图所示，建立平面直角坐标系， 则 A 的坐标为(2，－2).设抛物线方程为 x2＝－2py(p>0)，则 22＝－2p×(－2)，得 p ＝1.
设水位下降 1 米后水面与拱桥的交点坐标为(x0，－3)，则 x20＝6，解得 x0＝± 6， 所以水面宽为 2 6米.
【提示】 设直线 l 的方程为 y＝kx＋m，则 AB＝ x1－x22＋y1－y22 ＝ x1－x22＋kx1＋m－kx2－m2 ＝ 1＋k2x1－x22＝ 1＋k2|x1－x2|. 这个公式称为弦长公式.
(1)已知过抛物线 y2＝6x 焦点的弦长为 12，则该弦所在直线的倾斜角 是________.
y2). ∴x1＋x2＝3k2k＋2 6，∴x1＋x2＋3＝3k2k＋2 6＋3＝12. ∴k2＝1，∴k＝±1.
故弦所在直线的倾斜角是π4或34π. 【答案】 π4或34π
(2)设所求抛物线方程为 y2＝ax(a≠0)① 直线方程变形为 y＝2x＋1② 设抛物线截直线得弦长为 AB，将②代入①整理得 4x2＋(4－a)x＋1＝0， 则 AB＝ 1＋22 a－4 42－4×14＝ 15.解得 a＝12 或 a＝－4. 故所求抛物线方程为 y2＝12x 或 y2＝－4x.
【解析】 (1)×.在抛物线方程中，以－x 代 x，－y 代 y，方程发生了变化， 故抛物线不是中心对称图形.
(2)×.抛物线的方程不同，其范围就不同，如 y2＝2px(p＞0)的范围是 x≥0，y ∈R.
(3)√.抛物线 y2＝±2py(p＞0)的对称轴是 x 轴，抛物线 x2＝±2py(p＞0)的对称轴 是 y 轴.
探究 1 直线 l 过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点 F，与抛物线交于 A(x1，y1)，B(x2， y2)，则 AB 的长是多少？
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第2章 2.4 2.4.2 抛物线的几何性质
2．4.2 抛物线的几何性质[对应学生用书P33]太阳能是最清洁的能源，太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子．太阳能灶接受面是抛物线的一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面．它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据．问题1：抛物线有几个焦点？ 提示：一个．问题2：抛物线有点像双曲线的一支，抛物线有渐近线吗？ 提示：没有．问题3：抛物线的顶点与椭圆、双曲线有什么不同？提示：椭圆有四个顶点，双曲线有二个顶点，抛物线只有一个顶点．抛物线的简单几何性质抛物线的性质特点：(1)抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准线，无对称中心，因此，抛物线又称为无心圆锥曲线．(2)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线．(3)抛物线的离心率定义为抛物线上的点到焦点的距离和该点到准线的距离的比，所以抛物线的离心率是确定的，为1.(4)抛物线的焦点在对称轴上，准线垂直于对称轴，焦点到准线的距离为p ，它是一个不变量，不随抛物线位置的变化而变化，焦点与准线分别在顶点的两侧，且它们到顶点的距离相等，均为p2.[对应学生用书P33][例1] 求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线是y ＝－4；(2)顶点在原点，通过点(3，－6)，且以坐标轴为轴．[思路点拨] 可先根据条件确定抛物线的焦点位置，从而设出抛物线的标准方程，再利用待定系数法求出标准方程．[精解详析] (1)顶点在原点，准线是y ＝－4的抛物线的标准方程可设为x 2＝2py (p >0)．因为准线是y ＝－4，所以p ＝8.因此，所求抛物线的标准方程是x 2＝16y .(2)若x 轴是抛物线的轴，则设抛物线的标准方程为y 2＝2px ，因为点(3，－6)在抛物线上，所以(－6)2＝2p ·3，解得2p ＝12 3，故所求抛物线的标准方程为y 2＝12 3x .若y 轴是抛物线的轴，同理可得抛物线的标准方程为x 2＝－12y .[一点通] 利用待定系数法求抛物线的标准方程，往往与抛物线的几何性质相联系，这就要求对抛物线的标准方程的四种形式及其对应的性质的比较、辨析、应用做到熟练，特别是开口方向、焦点坐标、准线方程等．1．已知双曲线方程是x 28－y 29＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．解：∵双曲线x 28－y 29＝1的右顶点坐标是(22，0)，∴p2＝22，且抛物线的焦点在x 轴的正半轴上．∴所求抛物线的标准方程为y 2＝82x ，准线方程为 x ＝－2 2.2．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36的短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．解：椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上，∴抛物线的对称轴为x 轴， ∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p ＞0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， 即p2＝3，∴p ＝6， ∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3和x ＝3.[例2] 已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为4，求此抛物线的标准方程．[思路点拨] 设出抛物线的方程，表示出△AOB 的面积，利用面积列方程求解． [精解详析] 由题意，设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点F (m 2，0)，直线l ：x ＝m2，∴A 、B 两点坐标为(m 2，m )、(m2，－m )．∴AB ＝2|m |.∵△AOB 的面积为4，∴12·|m2|·2|m |＝4，∴m ＝±22，∴抛物线方程为y 2＝±42x .[一点通] 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含条件．例2的关键是根据对称性求出线段|AB |的长，进而通过面积求出m .3．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为________．解析：据题意知，△FPM 为等边三角形，PF ＝PM ＝FM ，∴PM ⊥抛物线的准线．设P ⎝⎛⎭⎫m 24，m ，则M (－1，m )，等边三角形边长为1＋m 24，又由F (1,0)，PM ＝FM ，得1＋m 24＝(1＋1)2＋m 2，得m ＝23，∴等边三角形的边长为4，其面积为4 3. 答案：4 34．(江西高考)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析：由x 2＝2py (p >0)得焦点F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线l 为y ＝－p2，所以可求得抛物线的准线与双曲线x 23－y 23＝1的交点A ⎝⎛⎭⎪⎫－12＋p 22，－p 2，B ⎝⎛⎭⎪⎫12＋p 22，－p 2，所以AB ＝ 12＋p 2，则AF ＝AB ＝12＋p 2，所以p AF ＝sin π3，即p12＋p 2＝32，解得p ＝6. 答案：65．已知A 、B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上两点，O 为坐标原点，若OA ＝OB ，且△ABO 的垂心恰是此抛物线的焦点F ，求直线AB 的方程．解：∵△ABO 是等腰三角形，A 、B 关于x 轴对称， ∴AB 垂直于x 轴．设直线AB 方程为x ＝a ，则y 2＝2pa . ∴可设A (a ，2pa )，B (a ，－2pa )． 而焦点F 为⎝⎛⎭⎫p 2，0 ∴k F A ＝2paa －p 2，k OB ＝－2pa a . ∵k F A ·k OB ＝－1， ∴2pa ·(－2pa )⎝⎛⎭⎫a －p 2a ＝－1.∴a ＝52p .∴AB 的方程为x ＝52p .[例3] 求抛物线y 2＝4x 上到焦点F 的距离与到点A (3,2)的距离之和最小的点的坐标，并求出这个最小值．[思路点拨] 可以设抛物线上的点为P ，要求P A ＋PF 的最小值，可利用抛物线定义，把PF 转化为P 到准线的距离求解．[精解详析] 设P ′是抛物线y 2＝4x 上的任意一点，如图，过P ′作抛物线的准线l 的垂线，垂足为D ，连结P ′F ，由抛物线定义可知P ′F ＝P ′D .∴P ′A ＋P ′F ＝P ′A ＋P ′D .过A 作准线l 的垂线，交抛物线于P ，垂足为Q ，显然，直线段AQ 的长小于折线段AP ′D 的长，因而P 点即为所求的AQ 与抛物线的交点．∵直线AQ 平行于x 轴，且过A (3,2)，∴直线AQ 的方程为y ＝2.代入y 2＝4x ，得x ＝1. ∴P (1,2)与F 、A 的距离之和最小，最小距离为4.[一点通] 与抛物线有关的最值问题，常利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离，利用几何法求解；另外，也可以根据条件转化为求函数的最值问题，但应注意抛物线的范围，同时注意设点技巧．6．已知抛物线y 2＝2x 的焦点F ，点P 是抛物线上的动点，求点P 到点A ⎝⎛⎭⎫－12，1的距离与点P 到直线x ＝－12的距离d 之和的最小值．解：由于直线x ＝－12即抛物线的准线，故PB ＋d ＝PB ＋PF ≥BF .当且仅当B 、P 、F 共线时取等号， 而BF ＝⎝⎛⎭⎫12＋122＋12＝2， ∴PB ＋d 的最小值为 2.7．已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点．(1)若|AF |＝4，求点A 的坐标； (2)求线段AB 的长的最小值．解：由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F (1,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)由抛物线的定义可知，|AF |＝x 1＋p 2，从而x 1＝4－1＝3.代入y 2＝4x ，解得y 1＝±2 3.∴点A 的坐标为(3, 23)或(3，－23)． (2)当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y ＝k (x －1)． 与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去y ，整理得 k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.∵直线与抛物线相交于A ，B 两点， 则k ≠0，设其两根为x 1，x 2， ∴x 1＋x 2＝2＋4k2.由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k2>4.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线相交于A (1,2)，B (1，－2)，此时|AB |＝4，∴|AB |≥4，即线段AB 的长的最小值为4.1．涉及抛物线的焦点弦问题时，可以优先考虑利用定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离．2．若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F 的一条直线与抛物线的两个交点，则①AB ＝x 1＋x 2＋p ，②x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.[对应课时跟踪训练(十三)]1．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是________． 解析：这里p ＝4，焦点(2,0)，准线x ＝－2， ∴焦点到准线的距离是4. 答案：42．抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________．解析：抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫12，0，准线方程为x ＝－12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AF ＋BF ＝x 1＋12＋x 2＋12＝5，解得x 1＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2.答案：23．过点(0,1)且与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点的直线有________条．解析：过点(0,1)，斜率不存在的直线为x ＝0，满足与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点．当斜率存在时，设直线方程为y ＝kx ＋1，再与y 2＝4x 联立整理得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0，当k ＝0时，方程是一次方程，有一个解，满足一个交点；当k ≠0时，由Δ＝0可得k 值有一个，即有一个公共点，所以满足题意的直线有3条．答案：34．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为________．解析：设抛物线方程为y 2＝2px ，则焦点坐标为(p 2，0)，将x ＝p2代入y 2＝2px 可得y 2＝p 2，|AB |＝12，即2p ＝12，故p ＝6.点P 在准线上，到AB 的距离为p ＝6，所以△P AB 的面积为12×6×12＝36. 答案：365．已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则FM ∶MN ＝________.解析：如图所示，，过点M 作MM ′垂直于准线y ＝－1于点M ′，则由抛物线的定义知MM ′＝FM ，所以FM MN ＝MM ′MN ，由于△MM ′N ∽△FOA ，则MM ′M ′N ＝OF OA ＝12，则MM ′∶MN ＝1∶5， 即FM ∶MN ＝1∶ 5. 答案：1∶ 56．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，抛物线上的点M (3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．解：法一：设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，则焦点F (p2，0)，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋(3－p 2)2＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝4，m ＝26，或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，m ＝－2 6.故所求的抛物线方程为y 2＝8x ，m 的值为±2 6.法二：设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程x ＝－p2，根据抛物线定义，点M 到焦点的距离等于M 到准线方程的距离，则3＋p2＝5，∴p ＝4.因此抛物线方程为y 2＝8x .又点M (3，m )在抛物线上，于是m 2＝24， ∴m ＝±2 6.7．已知顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线被直线x －2y －1＝0截得的弦长为15，求此抛物线方程．解：设抛物线方程为：x 2＝ay (a ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，x －2y －1＝0.消去y 得：2x 2－ax ＋a ＝0， ∵直线与抛物线有两个交点，∴Δ＝(－a )2－4×2×a >0，即a <0或a >8. 设两交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝a 2，x 1x 2＝a2，弦长为|AB |＝ 54(x 1－x 2)2 ＝ 54[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝145(a 2－8a ).∵|AB |＝15，∴145(a 2－8a )＝15，即a 2－8a －48＝0，解得a ＝－4或a ＝12， ∴所求抛物线方程为：x 2＝－4y 或x 2＝12y . 8．已知抛物线y 2＝2x .(1)设点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫23，0，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|P A |； (2)在抛物线上求一点P ，使P 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值． 解：(1)设抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )， 则|P A |2＝⎝⎛⎭⎫x －232＋y 2＝⎝⎛⎭⎫x －232＋2x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋132＋13. ∵x ≥0，且在此区间上函数单调递增，故当x ＝0时， |P A |min ＝23，故距点A 最近的点的坐标为(0,0)．(2)法一：设点P (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离为d ＝|x 0－y 0＋3|2＝⎪⎪⎪⎪y 202－y 0＋32＝|(y 0－1)2＋5|22.当y 0＝1时，d min ＝522＝524.∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，1.法二：设与直线x －y ＋3＝0平行的抛物线的切线为x －y ＋t ＝0，与y 2＝2x 联立，消去x ，得y 2－2y ＋2t ＝0，由Δ＝0，得t ＝12，此时y ＝1，x ＝12，∴点P 坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，两平行线间的距离就是点P 到直线x －y ＋3＝0的最小距离，即d min ＝524.。
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解析答案
思想方法
分类讨论思想的应用
例4
已知顶点在原点， 焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y＝2x＋1 截得
的弦长为 15，求抛物线的标准方程.
解后反思
解析答案
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当堂检测
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1.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为8，
2＝8x或y2＝－8x y 若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为__________________.
__________.
解析答案
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4.经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程 6x－4y－3＝0 是____________.
解析 1 设直线 l 的方程为 3x－2y＋c＝0，抛物线 y ＝2x 的焦点 F(2，0)，所
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1 以 3×2－2×0＋c＝0， 3 所以 c＝－2，故直线 l 的方程是 6x－4y－3＝0.
解析
设抛物线y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，
p 依题意得 x＝2，代入 y2＝2px 或 y2＝－2px，
得|y|＝p，∴2|y|＝2p＝8，p＝4. ∴抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
解析答案
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2.若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的 1 2 (8，± 4 ) 坐标为____________.
解析答案
(2)若AB＝9，求线段AB的中点M到准线的距离. 解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知
p p AB＝AF＋BF＝x1＋2＋x2＋2＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，
所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，
3 又准线方程是 x＝－2，
3 9 所以 M 到准线的距离等于 3＋2＝2.
第2章
§ 2.4 抛物线
2.4.2
抛物线的几何性质
学习 目标
1.掌握抛物线的简单几何性质. 2.能运用抛物线的简单几何性质解决与抛物线有关的问题.
栏目 索引
知识梳理 题型探究 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
自主学习
知识点一 标准方程
抛物线的几何性质 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0)
解析答案
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1 －4 5.已知直线x－y＋1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________.
解析
x－y＋1＝0， 2 由 消去 y 得 ax －x－1＝0， 2 y＝ax ，
∵直线与抛物线相切，∴a≠0且Δ＝1＋4a＝0.
1 ∴a＝－4.
解析答案
课堂小结
1. 讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何
3.判断直线与抛物线位置关系的两种方法
(1)几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但
有误差影响判断的结果.
(2)代数法：设直线 l的方程为y＝kx＋m，抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次方程形式：
Ax2＋Bx＋C＝0(或Ay2＋By＋C＝0).
解析答案
题型三
直线与抛物线的位置关系
例3
已知直线 l ：y＝kx ＋1 ，抛物线 C：y2 ＝4x，当k为何值时，直线l
与抛物线C有：
(1)一个公共点；
(2)两个公共点；
(3)没有公共点.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 3
如图，过抛物线 y2 ＝ x 上一点
A(4,2) 作倾斜角互补的两条直线 AB ， AC 交 抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率 是定值.
题型二 例2
抛物线的焦点弦问题
已知抛物线方程为 y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛
5 物线交于A，B两点，且|AB|＝ p，求AB所在的直线方程. 2
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2
已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、
B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°，求AB的值；
A≠0， 相交：①有两个交点： ②有一个交点：A＝0(直线与抛物线 Δ>0；
的对称轴平行或重合，即相交)；
性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.
2. 直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是
不过焦点的弦.解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、
弦的斜率.常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x或
y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点.尤其是
弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.
解析 由题意知，点 P 到焦点 F 的距离等于它到顶点 O 的距离，因此点
1 P 在线段 OF 的垂直平分线上，而 F(4，0)， 1 2 1 2 所以点 P 的横坐标为8， 代入抛物线方程得 y＝± 4 ， 故点 P 的坐标为(8， ± 4 ).
解析答案
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3. 抛物线 y ＝ 4x2 上一点到直线 y ＝ 4x － 5 的距离最短，则该点坐标为
答案
知识点三
直线与抛物线的位置关系
直线 y ＝ kx ＋ b 与抛物线 y2 ＝ 2px(p>0) 的交点个数决定于关于 x 的方程 k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0 的解的个数 . 当 k≠0 时，若 Δ>0 ，则直线与抛 物线有 两 个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有 一 的对称轴 平行或重合 ，此时直线与抛物线有一 个公共点. 个 公 共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有 公共点.当k＝0时，直线与抛物线
答案
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题型探究
重点突破
题型一
例 1
抛物线的几何性质
x2 y2 已知双曲线方程是 8 － 9 ＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的
标准方程及抛物线的准线方程.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1
已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点
M(1，－2).求抛物线的标准方程和准线方程.
解析答案
图形
范围 对称轴 顶点 离心率
x≥0， y∈R x轴
x≤0 ， y∈R x轴
x∈R，
y≥01 y轴 (0,0) 1 e=1 1
x∈R， y≤0 1
y轴
性
质
答案
知识点二
焦点弦
y1)、 与抛物线交于 A(x1， 直线过抛物线 y2＝2px (p>0)的焦点 F， p p B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，AF＝x1＋2，BF＝x2＋2， 故 AB＝x1＋x2＋p.