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6分 (QI +Q “)n 2 ), 小 (QI +Q “-i ) Cn —1) S”_] = 5 (力
22),
TT
因为CG (0,兀)，所以
中华中学高三数学试卷参考答案
一、 填空题答案：
1 3
1. (-00, 2],
2. 1-i, 3・[一8, +oo), 4・ 2, 5.刁 6・ 1, 7. (1,㊁)
& (—2, 1), 9. (0,需)U(10, +oo), 10. 1, 11. (-oo, -|)U(1, +oo), 12. 2046
13. [10, +oo), 14. b=l, aw(—1, 0],或 be[0, 1], a=~l
二、 解答题：
2 1
15. ................................................................................................................................. 解：若P 为真,则|才W1或|一才W1,得°上1或aW — 1 ................................................................ 5分
若q 为真,则△=(),。

=0或a=2 而》或g”
为假，故p, g 均为假 —1GV1, Q HO 且Q H2
・
............................................................. 9分
............................................................ 12分即Q 的取值范围是(一1, 0) U (0, 1).
............................................................. 14分—小 ” Q c sinA A /3COS C
16. 解：(1)因为—2=—^，—=^— 所以sinC=^/3cosC ................................................................................................................ 2 分 所以tanC=V3 ....................................................................................................................... 4分
(2)因为CA CB= I C4 I • I CS I cosC=^ab,又CA CB=4,
所以ab —S .............................................................................................................................. 10分 因为a+b = 6,根据余弦定理，得圧=/+圧一2〃cosC=(Q+b)2—3Qb=12. ...12 分 所以C 的值为2书 ................................................................ 14分
17. 解由题意知，
(1 )Z(x)=R(x)—C(x)=3 OOOx-20.r-(500.r+4000)
= -20.r+2500x-4000, xW[l, 100],且 ................................... 3 分 ML(x)=Z(x+l)_Z(x)
=-20(X +1)2+2500(X + 1)-4000 -(-20?+2500A —4000)
=2480—40x, xW[l, 99],且 ............................................ 7 分
(2)Z(x)= —20F+2500X —4000 = —20(x —乎尸+74125,
当x=62或63时，P(x)的最大值为74120元.
....... 12分 因为ML(x)是关于x 的减函数，所以当x=l 时，ML(x)的最大值为2440元.故利润函
数Z(x)与边际利润函数血(x)不具有相同的最大值.
...... 14分 18. 证明：(1)充分性
1- 4 2 ‘
IX? 1-4
+-一
(1) — (2)得：(2—n) a n —a\-\~ (1—n) d n -i (3),
(3—n) a n -\ —a\ + (2—巾)a n -2 (〃三3) (4)..
(3) — (4)得：(2—Z?) a n — (4—2n) a n -\ = — (2—n) a n -i (〃上3).
由于〃鼻3,故a”—2 a n -\ — —a n -2f 艮卩Q”—Q”T =Q“T —ct n -i (〃上3) ..................... 7 分 数列｛弔｝成等差数列.
...... 8分 (2)必要性
数列｛如｝成等差数列,S”=。

1 +。

2+。

34 ----- a n -2~\~a n -\-\-a n (1),
S”=Q"+Q ”-1+a“-2 …Q3+。

2+。

1
(2).
(1 ) + (2) 得：2 S n —(Qi+d“)+ (Q2+Q ”T )+(6/3+。

”-2)+ …(Ql+d“)
2S”= (ai+a”)n, S”=仙丁”)证毕
...... 14 分 19. 证明：(1)对任意兀i ，兀2^R ， Q >0,都有 「々、1。

、r ~ /1+兀2、 2 . . 2 . — /1+兀2、八兀1+兀乙
［沧 I) +沧2)］ — 2X —)=ax\ + 兀 1 + ax2+x 2—2 0(―_2_1
=axi+ax2 _^tz(xi +x2+2xi 兀2)=2a (x 1 _兀2)?20
严)諾［沧1)+加：2)］ 故函数心)是凹函数. ....... 6分
(2)由金)|W1 矢口： 一IWAQWI,即一
当兀=0时，Q WR ；
、》 , \ax 三—x —1, “亠
当兀丘(0, 1]时，需兀2三_兀+i,恒成比， •.•兀丘(0, 1)], 1.当,=1，即兀=1时，一(：+㊁『+才取最大值一2,
(£—*)2—+取最小值0, .•・一2W Q W0,而 洋0, .................. 15分
即Q 的取值范围为［—2, 0)
............. 16分 2 20. f'(x)=ax-(2a-\- l)+~(x>0).
2 (1)
广(1)= 广(3),解得。

=亍 ..................... 4分 z 、 (ax —1)(%—2)
(2) 广(兀)= --- f ~(x>0).
当 0VqV*时，+>2,
V1= >-W Q 即
在区间(0, 2)和(+，+oo)上，广(x)>0；在区间(2,》上厂(x)<0,
故心)的单调递增区间是(0, 2)和(》+oo),单调递减区间是(2,》.................. 6分+时，广(^尸笃:)三0’故心)的单调递增区间是(0, +8) .................................. 8分当a>*时，0<十<2,在区间(0,十)和(2, +8)上，广(x)>0；在区间(十，2)上厂(x)V0, 故心)的单调递增区间是(0,》和(2, +oo),单调递减区间是C，2) ............................ 10分
(3)由已知，在(0, 2］上有............................................... 11 分
由已知，g(x)max=0,由(2)可知，
当0时，乐)在(0, 2］上单调递增，
2(2a+l)+21n2 = —2a—2+21n2,
.・.一2a—2 + 21n2<0,解得a>ln2-l, ln2-l<0,故0 <aW*. ....... 13 分当a>*时，/(x)在(0,弓上单调递增，在2］上单调递减，
故/⑴唤一2—痔—21na・
由Q>*可知lnQ>lng>hi2= — 1, 21HQ> —2, —21n6z<2,
•I — 2—21HQ V0, /(x)maxVO, ......................................... 15 分综上所述，Q>0. ......................................... 16分。