北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试题(包含答案解析)

一、选择题
1．在四面体OABC 中，空间的一点OM 满足11
26
OM OA OB OC λ=
++，若MA ，MB ，MC 共面，则λ=（ ）
A ．
12
B ．
13
C ．
512
D ．
7
12
2．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，
90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（ ）
A ．85
B ．97
C ．12
D ．230
3．已知直三棱柱111ABC A B C -中，190,1,2ABC AB BC CC ︒
∠====，则异面直
线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ） A ．
35
B ．
35
C ．
45
D ．45
-
4．正方体ABCD —A′B′C′D′中，AB 的中点为M ，DD′的中点为N ，则异面直线B′M 与CN 所成角的大小为 A ．0° B ．45°
C ．60 °
D ．90°
5．在正方体ABCD --A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值
为( ) A ．105- B ．105
C ．155
-
D ．
155
6．如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，M 为11AC 与11B D 的交点．若AB a =，
AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）
A ．1
1+22
+a b c
B ．
11
22
a b c -+
C ．11
22
-
++a b c D ．
11
22
+-a b c 7．已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，E 为1BB 的中点，则点C 到平面11A D E 的距离为 A ．
5
5
B ．52
C ．
53
D ．
35
8．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线
1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）
A ．1010
-
B ．1510
-
C ．
1010
D ．
1510
9．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑
P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且1PA AB BC ===，则二面角
A PC
B --的大小是（ ）
A ．30
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
10．如图，在边长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为BC 的中点，点P 在底面
ABCD 上移动，且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 的长度的最大值为（ ）
A ．
45
5
B ．2
C ．22
D ．3
11．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形， Q 为BC 的中点，PQ ⊥面
ABCD ，且2PQ =，动点N 在以D 为球心半径为1的球面上运动，点M 在面 ABCD
内运动，且PM 5=，则MN 长度的最小值为（ ）
A ．352
-
B ．23-
C ．25-+
D ．332
-
12．在长方体1111ABCD A BC D -中，若13AC =，则111()AB AC AD AC ++⋅=（ ）
A ．0
B ．3
C ．3
D ．6
二、填空题
13．在空间直角坐标系中，点（1，2，3）关于yoz 面对称的点的坐标为__________ 14．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，12AA =，1AC BC ==，则异面直线
1A B 与1AC 所成角的余弦值是_____________．
15．在平面直角坐标系中，点(1,0,2)A 到点(3,4,0)B -之间的距离为__________． 16．在空间四边形ABCD 中，E F 、分别是AB CD 、中点，且5,EF =又
6,8AD BC ==，则AD 与BC 所成角的大小为____________.
17．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，
2BC =，四棱锥外接球的球心为O ，点E 是棱AD 上的一个动点.给出如下命题：①直线
PB 与直线CE 是异面直线；②BE 与PC 一定不垂直；③三棱锥E BCO -的体积为定
值；④CE PE +的最小值为22.其中正确命题的序号是______________.（将你认为正确的命题序号都填上）
18．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到
平面1D EF 的距离为________.
19．在空间直角坐标系O xyz -中，点(1,2,3)A -到原点的距离为__________． 20．正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为2，若1AC 与底面ABCD 所成角为60°
，则11AC 和底面ABCD 的距离是________ 三、解答题
21．在①()()DE CF DE CF +⊥-，②17
||2
DE =
，③0cos ,1EF DB <<这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题.
问题：如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系
D xyz -.已知点1D 的坐标为()0,0,2，
E 为棱11D C 上的动点，
F 为棱11B C 上的动点，
___________，试问是否存在点E ，F 满足1EF AC ⊥？若存在，求AE BF ⋅的值；若不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
22．如图，在三棱锥A BCD -中，O 、E 、F 分别为AB 、AC 、AD 的中点，DO ⊥平面ABC ，1DO =，AC BC ⊥，2AC BC =
（1）求证：平面//OEF 平面BCD ；
（2）求平面OEF 与平面OCD 所成锐二面角的余弦值.
23．在四棱台1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，1111AA
A B ==，120BAD ∠=︒，1AA ⊥平面ABCD .
（1）E 是棱AD 的中点，求证：1//B E 平面11CDD C ；
（2）试问棱AD 上是否存在点M ，使得二面角111M A B D --的余弦值是57
19
？若存在，求点M 的位置；若不存在，请说明理由.
24．如图所示，在七面体ABCDEFG 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，
////BE CF DG ，BE ⊥底面ABCD ，2BE CF DG ===.
（1）求证：//AG 平面BCFE ；
（2）在线段BC 上是否存在点M ，使得平面AGE 与平面MGE 所成锐二面角的余弦值为
21
14
，若存在求出线段BM 的长；若不存在说明理由﹒ 25．如图.四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是直角梯形，BC ∥AD ，AB AD ，AD=2BC=2，四边
形ABB 1A 1和ADD 1A 1均为正方形.
（1）证明；平面ABB 1A 1平面ABCD ； （2）求二面角B 1 CD-A 的余弦值.
26．如图，AE ⊥平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ⊥，1AB AD ==，
2AE BC ==，87
CF =
（1）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； （2）求平面BDE 与平面BDF 夹角的余弦值．
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
根据向量共面定理求解． 【详解】
由题意11
26
MA OA OM OA OB OC λ=-=
--， 15
26MB OB OM OA OB OC λ=-=-+-，
11
(1)26
MC OC OM OA OB OC λ=-=--+-，
∵MA ，MB ，MC 共面，
∴在在实数唯一实数对(,)m n ，使得MA mMB nMC =+，
1126OA OB OC λ--1511(1)2626m OA OB OC n OA OB OC λλ⎛⎫⎡⎤
=-+-+--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，
∴111222
511666(1)m n m n m n λλλ⎧--=⎪⎪
⎪-=-⎨⎪-+-=-⎪⎪⎩，解得132313m n λ⎧
=-⎪⎪⎪
=-⎨⎪
⎪=⎪⎩
．
故选：B ． 【点睛】
结论点睛：本题考查空间向量共面定理．空间上任意三个不共面的向量都可以作为一个基底，其他向量都可用基底表示，且表示方法唯一．,,OA OB OC 是不共面的向量，
OM xOA yOB zOC =++，则,,,M A B C 共面⇔1x y z ++=． 2．A
解析：A 【分析】
用空间向量基本定理表示出AC '，然后平方后转化为数量积的运算求得． 【详解】
记a AB =，b AD =，c AA '=，则43cos900a b ⋅=⨯⨯︒=，同理15
2
b c ⋅=
，10a c ⋅=，
由空间向量加法法则得AC a b c '=++，
∴2
2
2
2
2()222AC a b c a b c a b b c a c
'=++=+++⋅+⋅+⋅22215
4
352210852
=+++⨯
+⨯=， ∴85AC '=AC '=． 故选：A ． 【点睛】
方法点睛：本题考查求空间线段长，解题方法是空间向量法，即选取基底，用基底表示出向量，然后利用向量模的平方等于向量的平方转化为向量的数量积进行计算．
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值．
【详解】
解：以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则11(1,0,0),
(0,0,2),(0,0,0),(0,1,2)A B B C ，
11(1,0,2),(0,1,2)AB BC =-=，
设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ， 则1111||44
cos 5
||||55AB BC AB BC θ⋅=
==⋅⋅.
∴异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为4
5
.
故选：C.
【点睛】
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．D
解析：D 【分析】
以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系,利用向量
1(1,0,2)B M =--,(2,0,1)CN =-的数量积为0，即可求解.
【详解】
以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系如图所示， 设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，
由图可知(1,0,0)M ，1(2,0,2)B ，(2,2,0)C ，(0,2,1)N ， 所以1(1,0,2)B M =--,(2,0,1)CN =-
所以1cos ,0B M CN 〈〉=
所以异面直线B M '与CN 所成的角为90︒．
故本题正确答案为D ． 【点睛】
本题主要考查了异面直线所成角，属于基础题.
5．B
解析：B 【分析】
以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE 与平面1B BD 所成角的正弦值． 【详解】
以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立如图空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则()000D ，，，()220B ，，，()1222B ，，，()021E ，，，
∴() 220BD =--，，，()1 002BB =，，，() 201BE =-，，，
设平面1B BD 的法向量为()
,,x n y z =， ∵ n BD ⊥，1
n BB ⊥， ∴220
20x y z --=⎧⎨
=⎩
，令y 1=，则() 110n =-，，，
∴10cos ,5
n BE n BE n BE
⋅=
=
⋅， 设直线BE 与平面1B BD 所成角为θ， 则10
sin cos ,5
n BE θ==B ． 【点睛】
本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用，准确得到面的法向量是解题的关键，是中档题．
6．C
解析：C 【分析】
根据空间向量的运算法则，化简得到111
22
BM AB AD AA =-++，即可求解. 【详解】
由题意，根据空间向量的运算法则，可得111111
2
BM BB B M AA B D =+=+
1111111111111
()()222222
AA A D A B AA AD AB AB AD AA a b c =+-=+-=-++=-++.
故选：C. 【点睛】
在空间向量的线性运算时，要尽可能转化为平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，以及利用三角形的中位线、相似三角形等平面几何的性质，把未知向量转化为已知向量有直接关系的向量来解决.
7．A
解析：A 【解析】
分析：建立空间直角坐标系，结合题意得到点的坐标，然后利用空间向量求解点面距离即可.
详解：如图所示，建立空间直角坐标系，则()10,0,1A ()10,1,1D
，11,0,2E ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
， 据此可得：()110,1,0A D =，111,0,2A E ⎛⎫=-
⎪⎝⎭
， 设平面11A D E 的法向量为()111,,m x y z =，则：11101
02y x z =⎧⎪
⎨-=⎪⎩
， 据此可得平面11A D E 的一个法向量为()1,0,2m =，
而()1,1,0C ，据此有：()1
1,1,1AC =-，
则点C 到平面11A D E 的距离为11555
AC m m ⋅==. 本题选择A 选项.
点睛：本题主要考查空间向量的应用，点面距离的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．C
解析：C
【分析】
本题首先可以根据题意建立空间直角坐标系，然后根据2AB =以及11BC CC ==得出12,0,1AB 、()10,1,1BC =，最后根据11
11cos θAB BC AB BC 即可得出结果.
【详解】
因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，且90ABC ∠=︒，
所以可以以B 为原点、AB 为x 轴、BC 为y 轴、1BB 为z 轴构建空间直角坐标系， 如图：
因为2AB =，11BC CC ==，
所以()2,0,0A ，()10,0,1B ，()0,0,0B ，()10,1,1C ，
故12,0,1AB ，()10,1,1BC =，
设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ， 则1111110cos θ
10
52AB BC AB BC ， 故选：C.
【点睛】
本题考查异面直线所成角的求法，可借助空间向量来求解，能否合理的构建空间直角坐标系是解决本题的关键，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题. 9．C
解析：C
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的余弦值；
【详解】
解：如图建立空间直角坐标系，因为1PA
AB BC ===，所以
()0,0,0A ，
()C
，22B ⎛⎫ ⎪ ⎪
⎝⎭，()0,0,1
P ，()
0,CP =，22BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 显然面APC 的一个法向量可以为()1,0,0n =，
设面BPC 的法向量为(),,m x y
z =
则·0
·0m CP m
BC ⎧=⎨=⎩，即00
z x y ⎧+=⎪⎨
+=⎪⎩，令1y =则z =，1x =，所以(m = 设二面角A PC B --为θ，则
1cos 21n m n m θ===⨯
所以60θ=︒
故选：C
【点睛】
本题考查利用空间向量法求二面角，属于中档题.
10．D
解析：D
【分析】
以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点(),,0P x y ，根据110B P D E ⋅=得出x 、y 满足的关系式，并求出y 的取值范围，利用二次函数的基本性质求得1B P 的最大值.
【详解】
如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，
则点()12,2,2B 、()10,0,2D 、()1,2,0E ，设点()(),,002,02P x y x y ≤≤≤≤，
()11,2,2D E =-，()12,2,2B P x y =---，
11D E B P ⊥，()112224220B P D E x y x y ∴⋅=-+-+=+-=，得22x y =-，
由0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，得022202
y y ≤-≤⎧⎨≤≤⎩，得01y ≤≤， ()()2221224548B P x y y y ∴=-+-+=-+，
01y ≤≤，当1y =时，1B P 取得最大值3.
故选：D.
【点睛】
本题考查立体几何中线段长度最值的计算，涉及利用空间向量法处理向量垂直问题，考查计算能力，属于中等题.
11．C
解析：C
【分析】
若要使MN 最短，点N 必须落在平面ABCD 内，且一定在DN 的连线上，此时应满足,,,D N M Q 四点共线，通过几何关系即可求解
【详解】
如图，当点N 落在平面ABCD 内，且,,,D N M Q 四点共线时，MN 距离应该最小，由PM 5=1MQ =，即点M 在以Q 为圆心，半径为1的圆上，由几何关系求得5DQ ，1DN MQ ==，故552NM DN MQ -=
故答案选：C
【点睛】
本题考查由几何体上的动点问题求解两动点间距离的最小值，属于中档题
12．D
解析：D
【分析】
建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解.
【详解】
如图建立空间直角坐标系A xyz -，
设1,,AB a AD b AA c ===，
则111(,0,),(,,0),(0,,),(,,)AB a c AC a b AD b c AC a b c ====.
则111(2,2,2)2AB AC AD a b c AC ++==，
所以21111()2()6AB AC AD AC AC ++⋅==.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，向量的模的概念，属于容易题.
二、填空题
13．(-123)【分析】在空间直角坐标系中点（xyz ）关于平面yoz 对称的点坐标是（-xyz ）【详解】在空间直角坐标系中点（123）关于平面xoy 对称的点坐标是（-123）故答案为（-123）【点睛】本
解析：(-1，2，3)
【分析】
在空间直角坐标系中，点（x ，y ，z ）关于平面yoz 对称的点坐标是（-x ，y ，z ）．
【详解】
在空间直角坐标系中，
点（1，2，3）关于平面xoy 对称的点坐标是（-1，2，3）．
故答案为（-1，2，3）．
【点睛】
本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间直角坐标系的性质的合理运用．
14．【分析】先找出线面角运用余弦定理进行求解【详解】连接交于点取中点连接则连接为异面直线与所成角在中同理可得异面直线与所成角的余弦值是故答案为【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角考查了空间想象能力运算 30【分析】
先找出线面角，运用余弦定理进行求解
连接1AB 交1A B 于点D ，取11B C 中点E ，连接DE ，则1DE AC ，连接1A E 1A DE ∴∠为异面直线1A B 与1AC 所成角
在111Rt AC B 中，111AC =，1111122
C E C B == 152
A E ∴=, 同理可得16A D =5DE =222165530cos 652A DE +-⎝
⎭⎝⎭⎝⎭∠==⨯⨯, ∴异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值是3010
30【点睛】
本题主要考查了异面直线所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于基础题． 15．【解析】故的距离为故答案为 解析：26【解析】
222(13)(04)(20)26AB =-+++-，故AB 的距离为2626 16．【分析】将平移到一起利用勾股定理求得线线角为【详解】解：取中点连接中分别为的中点且同理可得且与所成的直角或锐角就是异面直线与所成角中得即异面直线与所成角等于故答案为：【点睛】方法点睛：平移法是立体几 解析：
90
【分析】
将,AD BC 平移到一起，利用勾股定理求得线线角为90.
解：取BD 中点G ，连接EG FG 、，
ABD 中，,E G 分别为,AB BD 的中点，
//EG AD ∴且132
EG AD ==， 同理可得//,FG BC 且142
FG BC ==， EG ∴与FG 所成的直角或锐角就是异面直线AD 与BC 所成角， EFG △中，3,4,5EG GF EF ===，
222EG FG EF ∴+=，得90,EGF ∠=︒
即异面直线AD 与BC 所成角等于90，
故答案为：90.
【点睛】
方法点睛：平移法是立体几何中求线线角的常用方法之一，平移时通常结合三角形中位线定理把欲求的角平移到一个三角形中，然后再解三角形即可.
17．①③④【分析】由题意画出图形由异面直线的概念判断①；利用线面垂直的判定与性质判断②；找出球心由棱锥底面积与高为定值判断③；设列出关于的函数式结合其几何意义求出最小值判断④【详解】解：对于①直线经过平
解析：①③④
【分析】
由题意画出图形，由异面直线的概念判断①；利用线面垂直的判定与性质判断②；找出球心，由棱锥底面积与高为定值判断③；设AE x =，列出PE EC +关于x 的函数式，结合其几何意义求出最小值判断④．
【详解】
解：对于①，直线PB 经过平面ABCD 内的点B ，而直线CE 在平面ABCD 内不过C ，∴直线PB 与直线CE 是异面直线，故①正确；
对于②，当E 与D 重合时，BE AC ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，所以PA BE ⊥，又PA AC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，BE ∴⊥平面PAC ，则BE 垂直AC ，故②错误；
对于③，由题意知，四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O 是PC 的中点，则△BCE 的面积为定值，且O 到平面ABCD 的距离为定值，∴三棱锥E BCO -的体积为定值，故③正确；
对于④，设AE x =，则2DE x =-，2211(2)PE EC x x ∴+=+++-．
由其几何意义，即平面内动点(,1)x 与两定点(0,0)，(2,0)距离和的最小值知，其最小值为22，故④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题． 18．【分析】以为原点分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系利用向量法即可求解点N 到平面的距离得到答案【详解】由题意以为原点分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系则可得设平面的一个法向量为则令可得所以点N 5 【分析】
以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 所在的直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法，即可求解点N 到平面1D EF 的距离，得到答案.
【详解】
由题意，以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 所在的直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，
则13(2,0,1),(2,,2),(2,
,),(0,0,2),(2,2,1)22E M N D F λλ， 可得11(0,2,0),(0,,),(2,0,1)22
EF EN ED λ===-， 设平面1D EF 的一个法向量为(,,)n x y z =，
则12020
n EF y n ED x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，可得(1,0,2)n =， 所以点N 到平面1D EF 的距离155
n EN
d n ⋅===.
故答案为：55
.
【点睛】
本题主要考查了点到平面的距离的求法，以及空间中点、线、面的位置关系等知识的应用，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力.
19．【解析】距离
14
【解析】 距离222(1)2314d =-++=
20．【解析】分析：确定A1C1到底面ABCD 的距离为正四棱柱ABCD ﹣A1B1C1D1的高即可求得结论详解：∵正四棱柱ABCD ﹣A1B1C1D1∴平面ABCD ∥平面A1B1C1D1∵A1C1⊂平面A1B
解析：26
【解析】
分析：确定A 1C 1到底面ABCD 的距离为正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的高，即可求得结论． 详解：∵正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，
∴平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，
∵A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，
∴A 1C 1∥平面ABCD
∴A 1C 1到底面ABCD 的距离为正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的高
∵正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，AC 1与底面ABCD 成60°角，
∴A 12=26故答案为26．
点睛：本题考查线面距离，确定A 1C 1到底面ABCD 的距离为正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的高是解题的关键．如果直线和已知的平面是平行的，可以将直线和平面的距离，转化为直线上一点到平面的距离.
三、解答题
21．答案见解析
【分析】
先利用已知条件写出点坐标，设(0,,2)(02),(,2,2)(02)E a a F b b ≤≤≤≤，进而得到1,,,EF A A F C E B 的坐标，利用空间向量数量积的坐标表示求出1,EF A AE BF C ⋅⋅；若选① ：利用空间向量数量积的坐标表示公式、空间向量垂直的性质即可求解；若选② ：利用空间向量模的坐标表示公式即可得出结果；若选③ ：利用空间向量夹角的性质进行求解即可.
【详解】
解：由题意，
正方体1111ABCD A BC D -棱长为2，
则1(2,0,0),(2,2,0),(2,0,2),(0,0,0),(0,2,0)A B A D C ，
设(0,,2)(02),(,2,2)(02)E a a F b b ≤≤≤≤，
则1(,2,0),(2,2,2),(2,,2),(2,0,2)
EF b a A AE a BF b C =-=--=-=-， 所以142(),82EF A a b AE C BF b ⋅=-+⋅=-.
选择①：()()DE CF DE CF +⊥-，
所以22()()0,DE CF DE CF DE CF +⋅-==，
得a b =，
若1
0EF AC ⋅=得42()0a b -+=， 则1a b ==，
故存在点(0,1,2),(1,2,2)E F ，
满足1
0EF AC ⋅=，826AE BF b ⋅=-=. 选择②：因为17||2DE =，
=
， 得12
a =， 若1
0EF AC ⋅=， 即42()0a b -+=， 得32
b =. 故存在点130,,2,,2,222E F ⎛
⎫⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭， 满足1
0EF AC ⋅=，825AE BF b ⋅=-=. 选择③：因为0cos ,1EF DB <〈〉<，
所以EF 与DB 不共线，
所以2b a ≠-，
即2a b +≠，
则1
42()0EF AC a b ⋅=-+≠， 故不存在点,E F 满足1
0EF AC ⋅=. 【点睛】
关键点睛：建立空间坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示、空间向量垂直的性质、空间向量模的坐标表示公式以及空间向量夹角的性质是解决本题的关键.
22．（1）证明见解析；（2 【分析】
（1）先证明线面平行，再利用面面平行的判定定理证明即可；
（2）根据题意建立如图空间直角坐标系，利用坐标求平面OEF 与平面OCD 的法向量，再利用数量积求其夹角的余弦值，即得结果.
【详解】
（1）证明：依题意O 、E 、F 分别为AB 、AC 、AD 的中点，则//OE BC ，//EF CD ，
OE ⊄平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， //OE ∴平面BCD ,//EF 平面BCD
又EF OE E ⋂=，且在平面OEF 内，
∴平面//OEF 平面BCD ；
（2）依题意：AC BC ==CO AB ⊥，2AB =，1CO =，又DO ⊥平面ABC ，故建立如图空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(1,0,0)A -，(0,1,0)C ，
(0,0,1)D ，11,,022E ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，11,0,22F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，
11,,022OE ⎫⎛∴=- ⎪⎝⎭，11,0,22OF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 设(,,)n x y z =为平面OCD 的一个法向量，则1102211022OE n x y OF n x z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩
取1x =，则(1,1,1)n =，又易见(1,0,0)m =为平面OEF 的一个法向量， 13cos ,3
m n
m n m n ⋅∴<>=== ∴平面OEF 与平面OCD 所成锐二面角的余弦值为33
. 【点睛】
方法点睛：
求二面角的方法通常有两个方法：一是利用空间向量，建立坐标系，求得对应平面的法向量之间夹角的余弦值，再判断锐二面角或钝二面角，确定结果，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，利用垂直关系和二面角的定义，找到二面角对应的平面角，再求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角. 23．（1）证明见解析；（2）存在，M 为AD 边上靠近A 的四等分点.
【分析】
（1）先证11//B E C D ，再根据线面平行判定定理即可证明命题；
（2）取BC 中点G ，根据AG ，AD ，1AA 两两互相垂直建立坐标系，设点(0,,0)M t 分别求得平面11MA B 和平面111A B D 的法向量，再由二面角公式解得t 值，从而确定M 的位置.
【详解】
（1）证明：连1DC ，由1B C //AD ，得11
B C E //D =， 故四边形11B EDC 为平行四边形.
11//B E C D =，1C D ⊂平面11CDD C ，1B E ⊂
/平面11CDD C ， 所以1//B E 平面11CDD C ，
（2）假设M 点存在，取BC 中点G ，因为底面ABCD 是菱形，
120BAD ∠=︒，所以AG BC ⊥，AG AD ⊥，又1AA ⊥面ABCD ，
所以AG ，AD ，1AA 两两互相垂直.
以A 为坐标原点，AG ，AD ，1AA 为正方向建立空间直角坐标系A xyz -.
由2AB =，得3AG =(0,,0)M t ，其中[0,2]t ∈.
1(0,0,1)A ，131,122B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，
()10,,1A M t =-，1131,022A B ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
. 设()1,,n x y z =为平面11MA B 的一个法向量，则
1111100n A B n MA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即310220x y ty z -=⎪⎨⎪-=⎩可取()
11,3,3t n =. 易知平面111A B D 一个法向量为()20,0,1n = 由122
1212357cos ,19133n n n n n n t t ⋅===++‖12
t =， 故M 为AD 边上靠近A 的四等分点.
【点睛】
思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：
（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；
（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角
是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.
24．（1）证明见解析；（2）存在，43BM =. 【分析】
（1）根据//DG CF 和ABCD 是菱形得到//AD BC ，利用面面平行的判定定理证明. （2）取BC 中点为H ，则DA ，DH ，DG 三线两两垂直，以D 为坐标原点，以DA ，DH ，DG 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，假设存在M 满足条件，设(01)BM BC λλ=≤≤，分别求得平面AGE 的一个法向量()1111,,x n y z =和平面MGE 的一个法向量()2222,,n x y z =，利用12121221cos 14n n n n n n ⋅⋅==求解. 【详解】
（1）∵//DG CF ，CF ⊂面BCFE 且DG ⊄面BCFE
∴//DG 面BCFE
又∵//AD BC ，BC ⊂面BCFE 且AD ⊄面BCFE
∴//AD 面BCFE
∵AD ⊂面ADG ，DG ⊂面ADG ，且AD
DG D =
∴面//ADG 面BCFE
∵AG ⊂面ADG ，
∴//AG 面BCFE .
（2）取BC 中点为H ，则DA ，DH ，DG 三线两两垂直
以D 为坐标原点，以DA ，DH ，DG 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，
假设存在M 满足条件，则(01)BM BC λλ=≤≤，
由题得：()2,0,0A ，()3,0B ，()3,0C -，()
3,2E ，()0,0,2G ， ∵BM BC λ=， ∴点M 坐标为：()123,0λ-，
∴(2,0,2)AG =-，()3,2AE =-，()
21,3,2MG λ=--，()2,0,2ME λ=，
设平面AGE 的一个法向量为：()1111,,x n y z =，
平面MGE 的一个法向量为：()2222,,n x y z =，
则111111122020
n AG x z n AE x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩
，令1x 11y =-
，1z ，
∴1(3,1n =
-，
同理可得21,n λ⎛
⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，
由题意得：12121243cos 147n n n n n n ⋅⋅===， 解得：23λ=
或269λ=（舍）， ∴43
BM =
. 【点睛】 方法点睛：证明两个平面平行的方法有：(1)用定义，此类题目常用反证法来完成证明；(2)
用判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；(4)借助“传递性”来完成：两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．
25．（1）详见解析；（2）
6
. 【分析】
（1）根据四边形ABB 1A 1和ADD 1A 1均为正方形，得到11,AA AB AA AD ⊥⊥，再由线面垂直的判定定理证得1AA ⊥平面ABCD ，然后利用面面垂直的判定定理证明.
（2）以A 为原点，以1,,AB AD AA 分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系,求得平面1BCD 的一个法向量为(),,m x y z =，又平面CDA 的一个法向量为()0,0,1n =，然后由cos ,m n m n m n ⋅=
⋅求解.
【详解】 （1）因为四边形ABB 1A 1和ADD 1A 1均为正方形.
所以11,,AA AB AA AD AB AD A ⊥⊥⋂=，
所以1AA ⊥平面ABCD ；
又因为1AA ⊂平面ABB 1A 1，
所以平面ABB 1A 1平面ABCD ；
（2）以A 为原点，以1,,AB AD AA 分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系：
则()()()()10,0,0,2,1,0,0,2,0,2,0,2A C D B ，
所以()()12,1,0,0,1,2CD CB =-=-，
设平面1
BCD 的一个法向量为(),,m x y z =， 则100m CD m CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即2020x y y z -+=⎧⎨-+=⎩， 令1,2,1x y z ===，则()1,2,1m =，
又平面CDA 的一个法向量为()0,0,1n =， 所以16cos ,6
6m n
m n m n ⋅===⋅， 二面角B 1
CD-A 6 【点睛】 方法点睛：求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
26．（1）49；（2）13． 【分析】
首先以A 为原点，建立空间直角坐标系，（1）求平面BDE 的法向量m ，利用公式sin cos ,CE m θ=<>求解；（2）求平面BDF 的法向量n ，利用公式cos ,m n <> 求解.
【详解】
以A 为原点，,,AB AD AE 分别为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
()1,0,0B ，()0,1,0D ，()0,0,2E ，()1,2,0C ，81,2,7F ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
（1）设平面BDE 法向量(),,m x y z =，()1,1,0BD =-，()1,0,2BE =-，则020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩
， 令1z =，则2,2x y ==，
∴()2,2,1m =，()1,2,2CE =--， 2424sin cos ,339
CE m θ--+=<>==⨯ （2）设平面BDF 法向量(),,n x y z =，()1,1,0BD =-，80,2,
7BF ⎛
⎫= ⎪⎝⎭，则82070
y z x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩， 令4x =，则4,7y z ==-
∴()4,4,7n =-，8871cos cos ,393
m n θ+-=<>==⋅， 因为平面BDE 与平面BDF 夹角是锐二面角，所以二面角的余弦值是13
.
【点睛】
关键点点睛：本题是比较典型的向量坐标法解决空间角，关键是计算准确，。