广东省茂名市2024届高三模拟测试临门一脚数学试卷

广东省茂名市2024届高三模拟测试临门一脚数学试卷
一、单选题
1．双曲线2
2
15
y x -=的离心率为（ ）
A B ．2 C D ．3
2．已知集合{}
5x A y y ==，{}
2
45B x x x =-<，则A B ⋃=（ ）
A ．()1,-+∞
B ．()0,5
C ．()1,+∞
D ．()()1,00,-⋃+∞
3．某公司10月23日、10月30日、11月6日、11月13日、11月20日、11月27日这6天员工的出勤率的折线图如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A ．这6天员工的出勤率呈递增趋势
B ．这6天员工的出勤率呈递减趋势
C ．这6天员工的出勤率的极差大于0.15
D ．这6天员工的出勤率的中位数小于0.85
4．()
9
8展开式中系数为有理数的项共有（ ） A ．2项
B ．3项
C ．4项
D ．5项
5．在四面体ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，4AB AD ==，且2BC CD BD ===，则四面体ABCD 的体积为（ ）
A ．2
B ．6
C D ．6．若函数()f x 的图象与圆22:4C x y +=恰有4个公共点，则()f x 的解析式可以为（ ） A ．()|||2|f x x =-
B ．2()2||f x x x =-
C ．()22x
f x =-
D ．2
()lg f x x =
7．一箱苹果共有12个苹果，其中有(27)n n <<个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰
有2个烂果的概率为355
n
，则n =（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
8．P 是ABC V 内一点，45,30ABP PBC PCB ACP ∠=︒∠=∠=∠=︒，则tan BAP ∠=（ ） A ．23
B ．25
C ．13
D ．12
二、多选题
9．已知a 为非零实数，复数12i
,1i z a z a
=+=-，则（ ）
A ．12z z 的虚部为1a a
- B ．1z
C ．12z z 的实部为1a a
+
D ．当1a =时，12z z 为纯虚数
10．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面
角，角度用弧度制．例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π
2，故其各个顶点
的曲率均为ππ2π3=22-⨯．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，13
2,2AC BC AA ===，点C
的曲率为π
,,,3
D E F 分别为11,,AC AB AC 的中点，则（ ）
A ．直线//BF 平面1A DE
B ．在三棱柱111AB
C A B C -中，点A 的曲率为5π6
C ．在四面体1A ADE 中，点E 的曲率小于π
D ．二面角1A D
E A --的大小为π
3
11．已知1x 为方程310x x +-=的根，2x 为方程510x x +-=的根，则（ ）
A ．12121x x x x +<+
B ．12
11
24x x <
+<
C ．12x x <
D ．1221e e x x x x >
三、填空题
12．将函数4sin9y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数()y f x =的图象，则()f x 的最小正周期为，7π18f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
.
13．已知圆22:(1)1A x y ++=内切于圆P ，圆P 内切于圆22:(1)49B x y -+=，则动圆P 的圆心的轨迹方程为.
14．设向量(1,),(2,)OA x OB x ==u u u r u u u r ，则cos ,OA OB 〈〉u u u r u u u r
的最小值为.
四、解答题
15．设函数()()e cos x
f x x x =-.
(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)求()f x 在[]0,π上的最大值和最小值.
16．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平,3,4BCD AB AD BC CD ====．
(1)证明：AC BD ⊥．
(2)若BD E =为CD 的中点，求直线AE 与平面ABC 所成角的正弦值．
17．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 且斜率为2的直线l 与C 交于A ，B 两点，且||10AB =． (1)求C 的方程；
(2)过点B 作x 轴的平行线(BP P 是动点，且异于点)B ，过点F 作AP 的平行线交C 于M ，N 两点，证明：2||||||PA MN AB =g
． 18．如图，开车从A 站到E 站有3条路线.甲、乙、丙路线分别为A B C D →→→,E A B
→→
C →,G E →→A B F G E →→→→.开车从A 站到B 站需要3分钟，从C 站到
D 站需要2
分钟，从F 站到G 站需要2分钟，从C 站到G 站需要，2.5分钟，从B 站到C 站需要1t 分钟，从B 站到F 站需要2t 分钟，从G 站到E 站需要3t 分钟，从D 站到E 站需要4t 分钟，受路上的红绿灯影响，1234,,,t t t t 都是随机变量，且分布列如下(01)m <<.
(1)若选择甲路线，开车从A 站到E 站的总时间为X 分钟，求X 的分布列；
(2)小张从这3条路线中选择1条，他在每站选择前进的方向时，都会等可能地选择其中一个方向，在他开车经过C 站的前提下，若他开车从C 站到E 站的总时间少于5分钟的概率为0.4，求m 的值；
(3)以各条路线开车需要的总时间的期望为依据，若三条路线中只有丙路线最快捷，求m 的取值范围.
19．已知{}1122n n
n n a a ++-是公差为2的等差数列，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且123,22
a a ==．
(1)求{}n a 的通项公式；
S；
(2)求
n
≥时，[]n S是定值，求正整数k的最小值．(3)[x]表示不超过x的最大整数，当n k。