材料的脆性断裂

πc 2σ 2 We = （2.13） E 16 式中，c为裂纹半长；σ 为外加应力；Ｅ是弹性模量。
2 2 平面应变状态： 2 πc σ We = (1 - μ ) （2.14） 式中，μ 为泊松比。 E ２）产生新断面所需的表面能 Ｗs=4cγ (2.15) 式中，γ为单位面积上的断裂表面能，单位为J／m2。 ３）裂纹扩展过程中的能量平衡 设裂纹进一步扩展2dc，则单位面积所释放的能量为 dWe/2dc ， 形 成 新 的 单 位 表 面 积 所 需 的 表 面 能 为 (dWs/2dc) 。 因此，当 (dWe/2dc) ＜(dWs/2dc) 时，为稳定状态，裂 纹不会扩展； 当(dWe/2dc) ＞(dWs/2dc)时，裂纹失稳，迅速扩展； 当(dWe/2dc) ＝(dWs/2dc)时，为临界状态。
（2.17）
2 Eγ σc = πc 如果是平面应变状态，则为： 2 Eγ σc = (1 - μ 2 ) πc
由此推出的临界应力为：
（2.19）
（2.20）
18
在外载荷作用下，若无外界能源加入， 理解纹开始扩展时，形成裂纹新表面的 能量 W 是由裂纹开裂过程中所释放出 来的弹性应变能 U 所提供的。 W 与 U 都与裂纹半长 c 有关，两者所组成的总 能量称为自由能 E ： E=－U+W U 前面的 " － " 表示弹性应变能减少。
(2.5)
将(2．3)，(2．4)和(2．5)式代入(2．1)式，得
γ x γ E γ = E = ∴ σ th = σ x a x a
式中，a为晶格常数，随材料而异。
2πx 2 = σ th 2πγ σ th
x γ
(2.6)
7
通常γ 约为aE／100，这样(2．6)式可写成 E aE E σth = = （2.7） a 100 10 一般材料性能的典型数值为：E=300GPa，γ =1J／m2， a=3×10-10m，代入(2．6)式算出
（2.9)
13
3．Orowan的研究
Orowan 注意到 ρ 是很小的，可近似认为与原子间距 a 的数 量级相同。如图2．2所示，这样可将(2．9)式写成
c （2.10） σ A = 2σ a 4．裂纹扩展的临界条件
从以上推导可知，裂纹扩展的临 界条件是：裂纹端部的应力等于理论 强度，即
c 2σ = a
3
§2 ．2
理论结合强度
一.理论强度的概念 材料的理论强度，就是从理论角度上材料所能随 的最大应力。 我们可以这样考虑： ①当一对原子相距无限远时，不发生相互作用，当它 们接近到一定程度时，吸引力开始显著起来，随着距 离的缩短而吸引力增大。当距离r达到某一值时，原子 间的合力最大，此时表示物质具有最大的强度。即理 论强度。 ②从原子结合的情况来看，理论强度就是分离原子 （或离子）所需的最小应力。
1
第二章 材料的脆性断裂与强度 §2．1 脆性断裂现象
一、弹、粘、塑性形变
1．弹性形变 ，2．塑性形变，3．粘性形变，4．蠕变
二．脆性断裂行为
1．脆性断裂 脆性断裂是材料断裂前基本上不产生明显的宏观 塑性变形，没有明显预兆，往往表现为突然发生的快 速断裂过程。 2．韧性断裂 韧性断裂是材料断裂前及断裂过程中产生明显宏观 2 塑性变形的断裂过程。
15
12
将一单位厚度的薄板拉长到l+Δ l，然后将两端固 定。此时板中储存的弹性应变能为 We1=1／2(F· Δ l) 然后人为地在板上割出一条长度为 2c 的裂纹，产生 两个新表面，原来储存的弹性应变能就要降低，有裂 纹后板内储存的应变能为 We2=1／2(F－Δ F) · Δl ∴应变能降低为： We＝We1－We2=1／2Δ F · Δl （２）根据弹性理论计算 当裂纹长2c时，平面应力状态下应变能的降低为：
19
Griffith 认为，当 E 达到某一极大值时，裂纹将处 于临界状态，与此对应的裂纹半长称为临界裂纹半 长度 C cr 。与此对应的裂纹处于稳定状态，此后 由扩展，即有：( 稳定 )( 临界 )
( 扩展 )
20
四．讨论
2 Eγ Eγ １．(2.19)式 σ c = 与（2.12）式 σ c = 及 πc 4c E γ 理论强度的 (2.6)式 的比较 σ th = 公式很类似 。 (2.12) 式与 a (2.19) 式基本一致，只 是系数稍有差别； (2.6) 式中a 为原子间距，而式(2.19) 中c为裂纹半长。 ２．Griffith实验 从实验可知， Griffith 微裂纹理论能说明脆性断裂 的本质——微裂纹扩展，且与实验相符，并能解释强度 的尺寸效应。 ３．延性材料的断裂 1）Griffith方程在延性材料中的应用及修正
Eγ a
设临界应力为σc，故
σc =
Eγ 4c
（1.12）
14
三．裂纹扩展过程中的能量平衡 1．裂纹扩展的能量条件 物体内储存的弹性应变能的降低大于或等于由 于开裂形成两个新表面所需的表面能。
２．临界应力的推导 １）材料内储存的弹性 应变能 （１）根据平板模型计 算 用图2．3来说明这 一概念并导出临界条件。
24
25
26
27
28
29
§2 ．4
应力场强度因子和平面应变 断裂韧性
一．断裂力学的提出
断裂力学是研究含裂纹物体的强度和裂纹扩展规律的科学。
30
1.断裂力学的产生
1.1 从二战以来的若干断裂事故说起
1943-1947年, 美国近500艘全焊船1000多起脆性破坏，238 艘报废。总是在焊接缺陷等应力集中区域，-3~4 °C水 1947年，苏联4500m3石油储罐，-43 ° C，底部和下部壳连 接处，大量裂纹。（低温、脆性、焊点应力集中、内外温差） 五十年代，美国北极星导弹固体燃料发动机壳体试验，发生 爆炸。高强度合金，传统强度和韧性指标合格，爆炸时工作压 力远低于许用应力。（裂纹） 1963年，美国F-111飞机训练中，左翼脱落，飞机坠毁，而 当时飞行速度、负荷远低于设计指标。（热处理不当、机翼枢 轴出现缺陷，疲劳载荷，裂纹）
E σ th = 30GPa ≈ 10
3．讨论
从式（2.6）可知，要得到高强度的固体，就要求E和γ 大，a小。
8
断裂强度理论值和测定值
材料 c th/ th c Kg/m m2 5000 1540 3.3 材料 th c th/ c 77.6
Al2O3晶 须
铁晶须 奥氏型钢 硼 硬木 玻璃 NaCl Al2O3刚 玉
21
引入扩展单位面积裂纹所需的塑性功 γ p ，来描述延性材 料的断裂，即 E ( γ +γ P ) (2.21) σc = 2)举例说明 ①典型陶瓷材料 E=3×1011Pa ， γ p=1J ／ m2 ， 如有长度 c=1μ m 的裂纹，按(2.19) 式计算可知临界应力为， σ c≈4×108Pa ②高强度钢，假定 E 值相同， γ p ＝ 103γ ＝ 103J ／ m2 ，则当 σ ＝4×108Pa时，临界裂纹长度为 c=1．25mm=1.25×103μ m
引言
断裂是工程上最危险的失效形式。 特点：（a）突然性或不可预见性； （b）低于屈服力，发生断裂； （c）由宏观裂纹扩展引起。 ∴工程上，常采用加大安全系数；浪费材料。 但过于加大材料的体积，不一定能防止断裂。 ∴发展出断裂力学 断裂力学的研究范畴： 把材料看成是裂纹体，利用弹塑性理论，研究裂纹 尖端的应力、应变，以及应变能分布；确定裂纹的扩展 规律；建立裂纹扩展的新的力学参数（断裂韧度）。
5
2）产生新表面所需的表面能 使单位面积的原子平面分开所作的功应等于产生 两个单位面积的新表面所需的表面能,材料才能断裂。 设分开单位面积原子平面所作的功为 v ，则 λ λ 2 λσth 2πx 2πx 2 λσth (2.2)
v =∫ σth sin
0
设材料形成新表面的表面能为γ ,则 3)理论强度 λσ th 从上式可得： = 2γ
4
二．理论强度的计算
1．计算依据 原子间约束力随原子间的距离的变化 可近似以正 弦曲线来表示(见图2．1)。 2．计算公式推导 1）曲线的一部分可近似 地由下式表示：
2πX σ = σ th ×sin (2.1) λ
式中 ,σ th 为理论结合强 度 ,λ 为正弦曲线的波长。
原子间约束力和距离的关系
3．脆性断裂的原因 各种材料的断裂都是其内部裂纹扩展的结果。 在外力作用下，任意一个结构单元上主应力面的拉 应力足够大时，尤其在那些高度应力集中的特征点附 近的单元上，所受到的局部拉应力为平均应力的数倍 时，此过分集中的拉应力如果超过材料的临界拉应力 值时，将会产生裂纹或缺陷的扩展 , 导致脆性断裂。 与此同时，由于外力引起的平均剪应力尚小于临界值， 不足以产生明显的塑性变形或粘性流动。 三．突发性断裂与裂纹的缓慢生长 1．突发性断裂 2．裂纹的生长
23.8 30.1 100 95 29.5
150 81.4 38.5 51.6 130 60～ 46.7 100 ～28
9
§2．3 Griffith微裂纹理论
一．Griffith微裂纹理论要点
Griffith认为脆性材料发生断裂所需的能量在材料 中的分布是不均匀的，实际材料中总是存在许多细小 的裂纹或缺陷，在外力作用下，这些裂纹和缺陷附近 产生应力集中现象。当名义应力还很低时，局部应力 集中已经达到很高的数值，当应力达到一定程度时， 裂纹开始扩展，最后导致脆性断裂。 从此概念出发，需进行两种探讨：①直接考察裂纹 端部附近的应力集中；②考察裂纹的裂纹的扩展过程： 当和裂纹的伸长有关的储存于材料中的弹性能降低和 新表面的形成有关的表面能增加时,裂纹就扩展。
c
πc
③由此可见，陶瓷材料存在微观尺寸裂纹时便会导致在低于理 论强度的应力下发生断裂，而金属材料则要有宏观尺寸的裂纹 才能在低应力下断裂。
22
传统材料力学的强度问题
两大假设：均匀、连续
评 定 选 材 寿 命
SU
σ
C
应用
s b 1
强度指标
材料力学
强度分析


强度理论
f , k , NC f C
λ
dx =
2π
cos
λ
=
0
π
π
(2.3)
6
2 πγ σ th = λ
∵对于接近平衡距离（原子间距） a 的曲线起始部分，曲线 可以用直线代替，服从虎克定律 x ∴ (2.4) σ = Eε = E
a
式中，a为原子间距。当x很小时
2 πx 2 πx sin ≈ λ λ
σ = σ th 2πx sin ≈σ th λ 2πx = σ th λ
3000 2048 3480 — 693 400 5000
1300 320 240 10.5 10.5 10 44.1
2.3 6.4 14.5 — 66.0 40.0 113
Al2O3宝 石 BeO MgO
5000
64.4
3570 2450 Si3N4热压 3850 SiC 4900 Si3N4烧结 3850 AlN 2800

23
断裂力学
均匀性假设 仍成立，但 且仅在缺陷 选 处不连续 材
K IC
σ
C
工 维 缺陷 艺 修 评定
a
应用
i ,C
Ji, JC JR TR
SU
K
阻力C
断裂力学
裂纹扩展准则
响应
奇异场 控制参量
i

C T
T TC N f f i , a,...
f i C
14
17
4)裂纹扩展的临界应力 2 2 πc σ 将式（2.13） We = 代入dWe/2dc ，得 E dWe d πc 2σ 2 2cπσ2 πσ2c （2.16） = ( )= = 2dc 2dc E 2E E 将式（2.15）Ｗs=4cγ 代入dWs/2dc ，得
dWs d 4γ = ( 4cγ ) = = 2γ 2dc 2dc 2
11
12
∵
a2 ρ= c
∴
c σ A = σ 1 +2 ρ
（2.8）
式中， σ 为外加应力，即垂直作用于此裂纹的平均应 力，相当于无应力集中区作用的名义应力。 从上式可见，c/ρ比值增大，σ A亦增大，如果 c＞＞ρ，即为扁平的锐裂纹，则c／ρ将很大，这时可 略去式中括号内的1，得
c σ A = 2σ ρ
10
二．裂纹端部的应力集中
1．Inglis的研究
孔洞两个端部的应力几乎取决于孔洞的长度和端 部的曲率半径而与孔洞的形状无关。
2．Griffith的研究
由裂纹引起的应力集中
设薄板的裂纹为一个扁平椭 圆形，长度为2c，宽度为a，裂 纹端部的曲率半径为ρ （如左 图）。则可根据弹性理论求得 孔洞端部的应力σ A为： σA c =1 +2 σ a