《312特征值与特征向量的求法》导学案3.doc

《3.1.2特征值与特征向量的求法》导学案3
教学目标
1.掌握特征值和特征向量的求法;
2.了解矩阵的简单应用.
教学过程
引例设° = （1,1,1『,0 = （1,2,3）丁，则妙丁的3个特征值是_____ .
此题结果立刻可得：6,0,0.
方法1——通过解特征方程\AE-A\ = 0来求.（主要适用于数字型矩阵）
例1 （99,数1, 3分）设斤阶矩阵A的元素全为1,则A的〃个特征值是____________
【分析】A的特征多项式为
A — I — 1 …—1
AE-A=■?八1…=右（八司
•••
•••
—1 —1 …A — 1
解特征方程R E-內二o求得A的刃个特征值是仏0,0,…,o（n-1个o）.
注：此例用方法6求最快.
（1 （） 1）
例2 （12,数1, 11分）已知A=:补1,二次型/（西,兀2，七）=*（屮心的秩为
、0 Cl _ 1 丿
2. （1）求实数。

的值；（2）求正交变换x = Qy将/化为标准形.
【解】（1）利用/?（A）=/?（A, A）=2,可求得a = —1.
<2 02
、
(2)当a = -1 时，0 22・由
,2 24
7
2-20-2
2E-A r A =02-2-2=2(2 一2X2 一
6)
-2-22-4
可得AS的特征值为0,2,6.
1一舲1『丄循
丄V6丄
V62V6
1P
丄
d O
,则在正交变换x = Qy, /化为标准形
对几=0,解线性方程组｛OE-^Ajx = 0得基础解系（―1,—1,1『, 对2 = 2,解线性方程组（2E -
A r
A ）x = 0得基础解系（-1,1,0）7 , 对兄=6,解线性方程组（6E -以&卜=0得基础解系
（1,1,2）r •
因为4丁4为实对称矩阵，所以它对应于不同特征值的特征向量必正交，故只需将基础解系
/ = 2丈+6貝.
例3设4阶矩阵人满足条件|3E + A| = 0, AA 7 = 2E , |A|<0,则A 的伴随阵才的一 个特征值为 ________ .
【分析】由|3E + A| = 0，知卜3E-A| = （-1）4|3B + A| = |3F + A| = 0,故A 有一特征值一
3.
由AA 7 = 2E ,得|AA r | = |/l|2 =|2£| = 16,又制<0,故同=一4,所以才的一个特征值 为
注：此例中求A 的特征值用到了如下结论——设2是〃阶矩阵A 的1个非零特征值，则凶 是以的1个特征值.
方法2
——利用特征值的定义来求.（当比较容易看出关系式人4 =加 时，选用此法）
< 1 1、
<-1 1)
例4 （11,数1, 11分）设A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2,且A
0 0 = 0 0
1 丿
<1 b
（1）求人的所有特征值与特征向量；（2）求矩阵
【解】（1）因为A 的秩为2,故A=0,所以0是A 的特征值.
<1>
(1}
⑴
因为A
0—
—
0—
—
00—
—
0，所以-1,1是A的特征值.于是A的所有特征值1
一
厂
1
.1
丿
J
丿
为—1,0,1.
（2）略.
例5（13,数1, 11 分）设二次型./（X],召，花）=2（4兀2 +a“2 + 色花F + （久吃 +/?匹+ b3x^）2, 记a二匕心咼,0 =匕息埒・
（1）证明二次型/对应的矩阵为2aaT +阳；
（2）若Q,0正交且均为单位向量，证明/在正交变换下的标准形为2并+衣.
【解】（1）略.
（2）记A = +0/外，由于a,0正交且均为单位向量，则有a1 /3 = 01 a = 0,
讥=卩0 = \・
因为/?（A） = R（2aa l + 0牡）§/?（2^7）+ /?（/?^7）<1 + 1 = 2<3,所以|四=0,故0 是A 的特征值.
因为Aa =（2^7+M）^ = 26Z,故2是4的特征值.
因为40 =（26^/+007）0 = 0,故1是A的特征值.
所以f在正交变换下的标准形为2并+丈.
例6 （08,数1, 4分）设A为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，4內=0,
人色=2© + J，则4的非零待征值是_____________ .
【分析】因Aa} =0 = 0^ , A（2a{ +a2）=2Aa l + Aa2 = Aa2 =2a}注意至^a x,a2 线性无关，故卬,2卬+42非零，所以0, 1是2阶矩阵A的全部特征值，非零特征值为1. 方法3——利用A与A 的多项式矩阵©（A）特征值之间的关系來求.（当特征值问题涉及到矩阵多项式时，选用此法）
结论设久；1）=勺+绚2 +色才+・・・+色/是一个多项式，若人仏，…几是〃阶矩阵A 的n个特征值,则A的多项式矩阵©（A）= a0E+a{A+ a2A2+…+ a n A n的n个特征值为卩⑷,°亿），…,卩（2J・当A可逆时,（p（A~i） = a Q E+a[A~{ +a2A~2 +・・・+cj/T"的川个
故(cr1, a2)可逆,
等式两边左乘(«!, a2 )-1,得(aj, a2)"' , a2)‘0
,0
2
、
b
r0
相似,
/
特征值为况石石,••"(龙).
例7 (98,数4, 9分)设向量Q =(44,…,勺)厂,0 = (%$,•••,/?“丫都是非零向量，且满足川0 = 0,记A = ap T・求(1) A2； (2) A的特征值.
【解】(i)A1 = (ap T^p T)=a(p T a)p T = 0・
(2)设2是A的任一特征值，则才是A?的一个特征值，因人2=0,故才=0,即2 = 0, 由2的任意性知，A有斤重特征值0.
方法一利用相似矩阵有相同的特征值来求.(适用于求相似矩阵的特征值)
例8(0
3,
数
1,
1()分)设矩阵
(322
、
1
、
A =
232,P =101 <223
丿
<
01
丿
B=p-l A'P t求B + 2E的特征值.
【解】A的特征多项式为
2-3 -2 -2
陆-A|= -2 2-3 -2 =(A-1)2(A-7)
-2 -2 人-3
解特征方程|AE- A| = 0求得4的3个待征值是1, 1, 7.
因为|A| = lxlx7 = 7,所以“的3个特征值是7, 7, 1.
因为3与"相似，故B的特征值为7, 7, 1,从而B + 2E的特征值为9, 9, 3.
此例综合运用了方法1、方法3、方法4.
例9求解例6.
【解】4(Q|,Q2)=(0,2Q I +Q2)=(Q|S(》
的特征值为0, 1,所以A的非零特征值是1.
方法5——利用特征值的性质来求.(当已知农阶矩阵A的行列式之值凶或迹“(A),以及(H-1)个特征值时，选用此法)
2、
2的特征值.
3丿
因/?(B )= 1,故3的待征值为6, 0, 0,
所以A 的特征值为7, 1, 1.
结论 设料阶矩阵A = («..)的特征值为人，易，…,盘，则有
(1) 入 + 兄？ + …• + 血=41 + Q" + …+ ci Hn ； (2) 入心…几”二制.
<1 0 1)
例10已知0,2是矩阵A 二0 2 0的特征值，则 ______________ ； A 的第3个特征值是 ___ .
(1 0 a) 1 0 1
【分析】因为0是A 的特征值，所以\A\= 0 2 0 =2(a-\) = 0,解得d = l •由特征值
1 0 a
的性质1得° + 2 +入=1 + 2 +。

= 4,所以A 的第3个特征值是盒=2.
方法6——利用AB 与BA 的特征值之间的关系来求.(当求两个非方阵的乘积的特征值时, 选用此法.特别适用于求列向量与行向量乘积的特征值) 结论 设A 是mxn 矩阵，B 是nxm 矩阵.若m =
则AB 与34有相同的特征值；若
m>n,则AB 除有BA 的全部特征值外，还有m-n 个零特征值.(证明见附录) 例11求解引例、例
1.
方法7——利用秩为1的矩阵特征值的性质
结论 若刃阶矩阵A = (^)的秩为1,则A 的〃个特征值为人二£©，入=・・・=血=0. /=1
厂3 2 例12求例8中矩阵A 二2 3
,2 2
【解】 了3 2 Q 2 2、 ‘1 0 0、
A = 2 3 2 —— 2 2 2 + 0 1 0 =
B + E <2 2 3) <2 2 2,
、0 0 1 丿 例13(09,数1,4分)设3维列向量Q,0满足6^0 = 2 ,则矩阵卩的特征值为 ________________ . 方法一
【分析】由题设及矩阵秩的性质知且炕^主对角元素之和为2,故0Q 卩的特 征值为2, 0, 0. 方法二
【分析】因为a 1
(3 = 2 ,所以1阶矩阵4丁0的特征值为2,于是3阶矩阵朋厂的特征值为
2, 0, 0.
例14设A = 2E + xy l，其中兀,y均为斤维列向量，且x1 y = 3 .则A的特征值为—【分析】x r y = /x = 3,仿例13得兀『的特征值为3,0,0,…,0 5 — 1个0),所以
A = 2E + xy T的特征值为5,2,2,…,2 5 -1个2)・。