每周一测- 2020年高考数学(理)一轮复习

每周一测
高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★★☆
1．“m ≠0”是“方程22x y -=m 表示的曲线为双曲线”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为 A ．4
B ．－4
C ．－
14
D ．
14
3．已知点()()2,0,2,0M N -，动点P 满足条件22PM PN -=.记动点P 的轨迹为W ，则W 的方程为
A ．()
22
1222
x y x -=≥
B ．()
22
1222
x y x -=≤-
C ．()
22
12288
x y x -=≥
D ．()
22
12288
x y x -=≤-
4．已知双曲线的离心率2e =，与椭圆22
1248
x y +=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程是
A ．1
3
y x =±
B ．33
y x =±
C ．3y x =±
D ．23y x =±
5．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线与圆()2231x y +-=相切，则双曲线的离心率为
A ．2
B ．3
C ．2
D ．3
6．已知双曲线2
2:13
x E y -=，
F 为E 的左焦点，P ，Q 为双曲线E 右支上的两点，若线段PQ 经过点()2,0，△PQF 的周长为83，则线段PQ 的长为
A ．2
B ．23
C ．4
D ．43
7．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点F 重合，抛物线的准线与双曲
线交于,A B 两点，且OAB △的面积为6（O 为原点），则双曲线的方程为
A ．22
1312x y -=
B ．22
13632x y -=
C ．2
213
x y -=
D ．2
2
13
y x -=
8．椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点为F ，存在直线y t =与椭圆C 交于,A B 两点，使得ABF △为
等腰直角三角形，则椭圆C 的离心率e = A ．
22
B ．21-
C ．51-
D ．
12
9．在平面直角坐标系xOy 中，设12,F F 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，P 是双曲线
左支上一点，M 是1PF 的中点，且1OM PF ⊥，122PF PF =，则双曲线的离心率为 A ．6 B ．2 C ．5
D ．3
10．已知双曲线22
222
:1(0)x y C c a a c a
-=>>-的右焦点为F ，右顶点为M ，A ，B 两点在双曲线C 的右支上，F 为AB 中点，N 为x 轴上一点，且AN BM ⊥.若||FN a c ≤+，则双曲线C 的离心率的取值范围是 A ．(1,2] B ．[2,)+∞ C ．(1,2]
D ．[2,)+∞
11．已知点1F 、2F 分别是双曲线()22
2109
x y a a -=>的左、右焦点，P 是该双曲线上的一点，且
12216PF PF ==，则12PF F △的周长是________．
12．已知椭圆上的两点关于直线对称，则弦的中点坐标为
______________．
13．已知动圆P 过点()22,0F 并且与圆()2
21:24F x y ++=相外切，动圆圆心P 的轨迹为C .
（1）求曲线C 的轨迹方程；
（2）过点()22,0F 的直线1l 与轨迹C 交于A 、B 两点，设直线1
:2
l x =，点()1,0D -，直线AD 交l 于M ,求证：直线BM 经过定点()1,0.
14．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，左、右顶点分别为,A B ，长轴长为4，
椭圆上任意一点P （不与,A B 重合）与,A B 连线的斜率乘积均为3
4
-. （1）求椭圆C 的标准方程；
14
162
2=+y x A B 、0322=--y x AB
（2）如图，过点1F 的直线1l 与椭圆C 交于,M N 两点，过点2F 的直线2l 与椭圆C 交于,P Q 两点，且
12l l //，试问：四边形MNPQ 可否为菱形？并请说明理由.
15．设中心在坐标原点的椭圆E
与双曲线有公共焦点，且它们的离心率互为倒数．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）是否存在过点的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，且满足，若存在，求OPQ △的面积；若不存在，请说明理由．
12222=-y x )0,2(A OQ OP ⊥
1．【答案】C
【解析】0m =时，方程2
2
0x y -=表示两条直线y x =±；0m ≠时，方程可化为22
1x y
m m
-=，0
m >时表示焦点在x 轴上的双曲线，0m <时表示焦点在y 轴上的双曲线．
故选C ．
【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查充分必要条件，解题关键是掌握双曲线的标准方程． 2．【答案】C
【解析】依题意，双曲线的标准方程为2
2
11
x y m
-=-，即22
11,a b m ==-，由于虚轴长是实轴长的2倍，所以2b a =，即224b a =，也即11
4,4
m m -
==-.故选C ． 【名师点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线实轴和虚轴的概念，属于基础题.求解时，先将双曲线方程化为标准形式，利用虚轴长是实轴长的2倍列方程，解方程求得m 的值. 3．【答案】A
【解析】由22PM PN -=知动点P 的轨迹是以,M N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长2a =
，
又半焦距2c =，故虚半轴长222b c a =-=，所以W 的方程为()
22
1222
x y
x -=≥.故选A.
4．【答案】C
【解析】因为椭圆22
1248
x y +=，其焦点为()4,0和()4,0-，
因为双曲线与椭圆有相同的焦点，
所以设双曲线的方程为22
221x y a b
-=，则其渐近线方程为b y x a =±，且双曲线中4c =，
因为双曲线的离心率2c
e a
=
=，所以2a =， 又因双曲线中222c a b =+， 所以22212b c a =-=，即23b =， 所以双曲线的渐近线方程为3y x =±. 故选C 项.
【名师点睛】本题考查根据双曲线的离心率和焦点求,,a b c ，双曲线的渐近线，属于简单题.求解时，先
求出椭圆221248x y +=的焦点()4,0和()4,0-，双曲线方程可设为22
221x y a b
-=，则其渐近线方程为
b
y x a
=±
，由题意得双曲线的4c =，再根据其离心率2e =，求出a ，根据222c a b =+，得到b ，从而得到双曲线的渐近线方程，求出答案. 5．【答案】D
【解析】双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)的渐近线方程为0bx ay ±=，依题意，直线0bx ay ±=与圆
()2
2
31x y +-=相切，设圆心(0,3)到直线0bx ay ±=的距离为d ，则d =
22
3a a b +=1，所以822,
a b =22229c a b a =+=，∴双曲线的离心率e =
c
a
=3.故选D. 6．【答案】B
【解析】如图，易知双曲线2
2:13
x E y -=的左焦点(2,0)F -，且3a =，1b =，2c =.
所以双曲线的右焦点(2,0)A 在线段PQ 上，||||23PF PA -=，||||23QF QA -=， 所以POF △的周长为83||||||2||43PF QF PQ PQ =++=+，得||23PQ =， 故选B ．
【名师点睛】本题考查双曲线中过焦点弦长，把双曲线的定义融入三角形知识中，考查学生对问题的转化能力．求解本题时，可根据题意作出双曲线图象，然后根据双曲线的定义得：||||23PF PA -=，
||||23QF QA -=，再根据周长的值，求得线段PQ 的长.
7．【答案】D 【解析】
2
8,22p y x =∴=，即2
8y x =的焦点为()2,0，即22221x y a b
-=的焦点为()2,0，
224a b ∴+=，①
又OAB △的面积为6，且x c =-时，2b
y a =±，22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫∴--- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
则212262AOB
b S a
=⨯⨯=△，得23b a =，② 由①②得，221
3a b ⎧=⎨=⎩
，
所以双曲线的方程为2
2
13
y x -=，故选D ．
【名师点睛】本题主要考查抛物线的方程与性质以及双曲线的方程与性质，属于中档题.求解双曲线方程的题型的一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论. 8．【答案】B
【解析】由题得当BF AB ⊥时，ABF △为等腰直角三角形，所以2,2b FB AB c a
=∴=，
222222,2,12,210,21b ac a c ac e e e e e ∴=∴-=∴-=∴+-=∴=±-，由于椭圆的离心率()0,1e ∈，
所以e =21-,故选B. 9．【答案】C
【解析】因为M 是1PF 的中点，O 为12F F 的中点，所以OM 为三角形F 1PF 2的中位线.因为1OM PF ⊥，所以21PF PF ⊥.又因为212PF PF a -=，122PF PF =，122F F c =，所以122,4PF a PF a ==. 在△F 1PF 2中，21PF PF ⊥，所以2
2
21212PF PF F F +=，
代入得()()()22
2
242a a c +=，
所以2
25c a
=，即5e =
.所以选C.
【名师点睛】本题考查了平面几何知识在圆锥曲线中的基本应用，根据边长关系求得离心率，属于基础题.根据各个边长关系，判断出21PF PF ⊥，再根据勾股定理求出离心率. 10．【答案】C
【解析】设()0,0N x ，由题意可知(,0)M a ，AB x ⊥轴，不妨令2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，2,b B c a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭（其中
222b c a =-）.因为AN BM ⊥，所以2201b b a a c x c a
-⋅=---，解得4
02
()
b
c x a c a -=-.
由题易知4
02
||()
b FN
c x a c a c a =-=≤+-， 整理得()
4
2
2
2b a
c
a ≤-，即222c a a -≤，即22e ≤，
又1e >，所以12e <≤.故选C.
【名师点睛】本题考查了双曲线C 的离心率的取值范围的求法，属中档题.求解时，由题意运算可得
4
2||()
b FN a
c a c a =≤+-，即()4222b a c a ≤-，运算可得解.
11．【答案】34
【解析】∵12216PF PF ==，∴1216882PF PF a -=-==，∴4a =． 又29b =，∴225c =，∴210c =．
∴12PF F △的周长为12121681034PF PF F F ++=++=. 故答案为34.
【名师点睛】本题考查双曲线的基本性质，考查双曲线定义及基本量的关系，属于基础题.求解时，由双曲线定义可得4a =，结合勾股定理可得210c =，从而得到周长. 12．【答案】
【解析】设),(),,(2211y x B y x A ，中点为),(00y x M .由题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+14
1614
16
2
2
2
22
12
1y x y x ，两式相减，得04)(216)(2210210=-+-y y y x x x ；因为点B A ,关于直线0322=--y x 对称，则12
121-=--=x x y y k AB
，即02800=-y x ，所以004y x =，将004y x =代入0322=--y x ，得⎪⎩⎪⎨⎧==212
00y x ，即AB 的中点坐标为⎪⎭
⎫ ⎝⎛21,2. 13．【答案】（1）2
2
1(0)3
y x x -=>；
（2）证明见解析. )2
1
,2(
【解析】（1）由已知得12| | 2PF PF =+，即12| | 2PF PF -=，
所以P 的轨迹C 为双曲线的右支，且22a =，1a =，12| 24F F c ==，2c =， ∴223b c a =-=，
∴曲线C 的标准方程为2
2
1(0)3
y x x -=>. （2）当直线1l 的斜率不存在时，()2,3A ，()2,3B -，13,22M ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则直线BM 经过点()1,0E ； 当直线1l 的斜率存在时，不妨设直线()1:2l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ， 则直线AD ：()1111y y x x =
++，当12x =时，()11321M y y x =+，()1131,221y M x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝
⎭， 由()22
233
y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩得()()
2222
34430k x k x k -+-+=， 所以2122
43k x x k -+=-，2122433
k x x k +=-， 下面证明直线BM 经过点()1,0E ，即证EM EB k k =，即
1212311
y y
x x -=+-， 即12112233y x y x y y -+=+，由112y kx k =-，222y kx k =-，
整理得，124x x -()12540x x ++=，即()
22222243434450333
k k k k k k -+⋅-⋅+=---恒成立. 即EM EB k k =，即BM 经过点()1,0E ， 故直线BM 过定点()1,0.
【名师点睛】本题考查了利用定义求圆锥曲线的方程，直线与圆锥曲线的位置关系，直线过定点问题，综合性强，需要很好的思维和计算能力，属于难题.
（1）根据题意，判断出动点的轨迹方程为双曲线的右支，然后根据定义即可求得双曲线的方程. （2）讨论当直线斜率存在与不存在两种情况下直线过定点问题.当斜率不存在时，易得直线过定点的坐标为()1,0E ；当斜率存在时，设出直线方程，联立曲线方程，消y 得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出两个交点横坐标间的关系；利用EM EB k k =，再证明直线BM 经过()1,0E .
14．【答案】（1）22
143
x y +=；（2）不可以，理由见解析. 【解析】（1）由题意，2a =，则(2,0)A -，(2,0)B .
设2000(,)(4)P x y x ≠，则点P 与点A 连线的斜率为002
AP y k x =+，点P 与点B 连线的斜率为002BP y k x =-，故2020344
y x =--， 又因为点P 在椭圆C 上，故有2200214x y b
+=，联立解得23b =， 则椭圆C 的方程为22
143
x y +=. （2）由于点12,F F 关于原点对称且12l l //，故12,l l 关于原点对称，
又椭圆关于原点对称，所以四边形MNPQ 为平行四边形.
由（1）知1(1,0)F -，易知直线MN 不能平行于x 轴.
所以令直线MN 的方程为1x my =-，设11(,)M x y ，22(,)N x y .
联立方程22341201
x y x my ⎧+-=⎨=-⎩，得22(34)690m y my +--=， 所以122634m y y m +=+，122934
y y m -=+. 若四边形MNPQ 是菱形，则OM ON ⊥，即0OM ON ⋅=，
于是有()
2121212121()10x x y y m y y m y y +=+-++=，整理得到22125034m m --=+，即21250m +=，上述关于m 的方程显然没有实数解，故四边形MNPQ 不可能是菱形.
【名师点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线斜率的求法，考查椭圆的几何性质以及设而不求的思想，考查学生转化能力，基本的计算能力，有一定综合性.求解时，（1）由长轴长为4可得2a =，然后结合
⋅=-34
AP BP k k 求得b 的值，从而得到椭圆方程；（2）根据12l l //以及椭圆的对称性可得死啊变形MNPQ 为平行四边形，其对角线交点为原点O ，设出直线MN 的方程为1x my =-与椭圆方程联立，由根与
系数的关系可得122634m y y m +=+，122934
y y m -=+，根据要使四边形MNPQ 为菱形，则OM ON ⊥，利用向量表示出0OM ON ⋅=，整理可得22125034
m m --=+，解方程则可得到答案. 15．【答案】（1）2212x y +=；（2）存在满足题意的直线，且267
OPQ S =△. 【解析】（1）设椭圆E 的方程为22
221(0)x y a b a b +=>>，则有221122a b a ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解得21a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴椭圆E 的方程为2
212
x y +=. （2）假设存在满足题意的直线.
当直线斜率k 不存在时，直线为与椭圆无交点；
当直线斜率k 存在时，设，将其代入=1，整理得： ，
∴22222
(8)4(12)(82)8(21)k k k k ∆=--+-=--.
设1122(,),(,)P x y Q x y ，则有， ∴， ∵
， ∴，即，解得，满足0∆>. ∴直线PQ 的方程为，即，代入， 整理得：，
则16447212||1577
PQ +⨯⨯=+⨯=， 025=-±y x 2=x )2(:-=x k y PQ 222
y x +0288)21(2222=-+-+k x k x k 222122212128,218k k x x k k x x +-=+=+22
212
21212)2)(2(k k x x k y y +=--=∴,2121=+∴⊥∴x x y y OQ OP 0,2121=+∴⊥∴x x y y OQ OP 02121022=+-k
k 55±=k )2(55-±=x y 025=-±y x 12
22=+y x 02872=--x x
又点O到直线PQ 的距离，
∴
126
||
27
OPQ
S PQ d
==
△
．即存在满足题意的直线，且
26
7
OPQ
S=
△
.
3
6
6
2
=
=
d
2
5=
-
±y
x。