(学习指导) 余弦定理Word版含解析

11.1余弦定理
学习目标核心素养
1.掌握余弦定理及其推论．(重点) 2．掌握正、余弦定理的综合应用．(重点)
3．能应用余弦定理判断三角形的形状．(易错点)1.借助余弦定理的推导过程，提升学生的逻辑推理素养．
2．通过余弦定理的应用，提升学生的数学运算素养.
中国海监船肩负着我国海域的维权、执法使命．某时某中国海监船位于中国南海的A处，与我国海岛B相距s n mile.据观测得知有一外国探油船位于我国海域C处进行非法资源勘探，这艘中国海监船奉命以v n mile/小时的速度前去驱逐．假如能测得∠BAC＝α，BC＝m n mile，你能根据上述数据计算出它赶到C处的时间吗？
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
即a2＝b2＋c2－2bc cos A，
b2＝c2＋a2－2ca cos B，
c2＝a2＋b2－2ab cos C．
思考1：根据勾股定理，若△ABC中，C＝90°，则c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2ab cos C．①
试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？
提示：当a＝b＝c时，C＝60°，
a2＋b2－2ab cos C＝c2＋c2－2c·c cos 60°＝c2，
即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC，都有c2＝a2＋b2－2ab cos C．
思考2：在c2＝a2＋b2－2ab cos C中，ab cos C能解释为哪两个向量的数量积？
你能由此证明思考1的猜想吗？
提示：ab cos C ＝|CB →|·|CA →|cos 〈CB →，CA →〉＝CB →·CA →.
∴a 2＋b 2－2ab cos C ＝CB 2→＋CA 2→－2CB →·CA → ＝(CB →－CA →)2＝AB 2→＝c 2. 猜想得证． 2．余弦定理的变形 (1)余弦定理的变形 cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc ， cos B ＝a 2＋c 2－b 22ca ， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .
(2)余弦定理与勾股定理的关系
在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角．
思考3：勾股定理和余弦定理有何联系与区别？
提示：二者都反映了三角形三边之间的平方关系；其中余弦定理反映了任意三角形中三边平方间的关系，勾股定理反映了直角三角形中三边平方间的关系，是余弦定理的特例．
3．解三角形
(1)一般地，三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫作三角形的元素．
(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形． 1．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，A ＝π
6，则a ＝________.
1[a ＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ＝1.]
2．在△ABC 中，若a ＝5，c ＝4，cos A ＝9
16，则b ＝________. 6[由余弦定理可知 25＝b 2＋16－2×4b cos A ， 即b 2－9
2b －9＝0， 解得b ＝6.]
3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，则B ＝________. 60°[cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝9＋4－712＝1
2，∴B ＝60°
.]
4．在△ABC 中，若b 2＋c 2－a 2<0，则△ABC 必为________三角形． 钝角[∵cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc <0， ∴A ∈(90°，180°)． ∴△ABC 为钝角三角形．]
已知两边与一角解三角形
【例1】 (1)在△ABC 中，已知b ＝60 cm ，c ＝60 3 cm ，A ＝π6，则a ＝________ cm ；
(2)在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝9
10，则BC ＝________. (1)60 (2)4或5[(1)由余弦定理得： a ＝
602＋(603)2－2×60×603×cos π
6＝60(cm)．
(2)由余弦定理得：(5)2＝52＋BC 2－2×5×BC ×9
10， 所以BC 2－9BC ＋20＝0，解得BC ＝4或BC ＝5.]
1．已知两边和夹角求第三边，直接利用余弦定理计算，已知两边和其中一边
所对的角，求第三边，利用余弦定理列方程求解．
2．已知三角形的两边及一角解三角形的方法， 先利用余弦定理求出第三边，然后利用余弦定理的推论求出其余角．
[跟进训练]
1．在△ABC 中，a ＝23，c ＝6＋2，B ＝45°，解这个三角形. [解] 根据余弦定理得，
b 2＝a 2＋
c 2－2ac cos B ＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos 45°＝8，∴b ＝2 2.
又∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝8＋(6＋2)2－(23)22×22×(6＋2)＝12，
∴A ＝60°，C ＝180°－(A ＋B )＝75°.
已知三边解三角形
【例2】 在△ABC 中，已知a ＝26，b ＝6＋23，c ＝43，求A ，B ，C ． [解] 根据余弦定理，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝
(6＋23)2＋(43)2－(26)2
2×(6＋23)×43
＝32.
∵A ∈(0，π)，∴A ＝π
6， cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab ＝
(26)2＋(6＋23)2－(43)2
2×26×(6＋23)
＝22，
∵C ∈(0，π)，∴C ＝π
4.
∴B ＝π－A －C ＝π－π6－π4＝7π
12，
∴A ＝π6，B ＝7π12，C ＝π4.
1．已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一．
2．若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．
[跟进训练]
2．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC 中各角的度数． [解] 已知a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k (k ＞0)，
由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc ＝
(6k )2＋[(3＋1)k ]2－(2k )2
2×6k ×(3＋1)k
＝2
2，
∵0°<A <180°，∴A ＝45°. cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝
(2k )2＋[(3＋1)k ]2－(6k )2
2×2k ×(3＋1)k
＝1
2，
∵0°<B <180°，∴B ＝60°.
∴C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.
余弦定理的综合应用
在△ABC 中，若c 2
＝a 2
＋b 2
，则C ＝π2成立吗？反之若C ＝π
2，则c 2＝a 2＋b 2成
立吗？为什么？
[提示]因为c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋b 2－c 2＝0，由余弦定理的变形cos C ＝
a 2＋
b 2－
c 22ab ＝0，即cos C ＝0，所以C ＝π2，反之若C ＝π
2，则cos C ＝0，即a 2＋b 2－c 22ab ＝0，所以a 2＋b 2－c 2＝0，即c 2＝a 2＋b 2.
【例3】 在△ABC 中，若(a －c cos B )·b ＝(b －c cos A )·a ，判断△ABC 的形状. [解]∵(a －c ·cos B )·b ＝(b －c ·cos A )·a ， ∴由余弦定理可得：
⎝ ⎛⎭⎪⎫a －c ·a 2＋c 2－b 22ac ·b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －c ·b 2＋c 2－a 22bc ·a ，
整理得：(a 2＋b 2－c 2)b 2＝(a 2＋b 2－c 2)a 2， 即(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2＋b 2－c 2＝0或a 2＝b 2. ∴a 2＋b 2＝c 2或a ＝b .
故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．
条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
1．余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例． 2．用余弦定理可以解决两种解三角形的题型
(1)已知三边解三角形； (2)已知两边及一角解三角形．
3．已知两边及其中一边所对角用余弦定理列方程求解时可能有两个解，注意用边与角之间的关系特点进行取舍．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形．() (2)在△ABC 中，若a 2>b 2＋c 2，则△ABC 一定为钝角三角形．() (3)在△ABC 中，已知两边和其夹角时，△ABC 不唯一．()
[解析] 由余弦定理可知，已知△ABC 的两边和其夹角时，第三边是唯一确定的，所以△ABC 是唯一的，(3)错误．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A ．π3 B ．π6 C ．π4 D ．π12
B [由三角形边角关系可知，角
C 为△ABC 的最小角，则cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab ＝72＋(43)2－(13)2
2×7×43
＝32，所以C ＝π
6，故选B ．]
3．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边c ＝________.
219[根据余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c ＝219.]
4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝C,2b ＝3a ，则cos A ＝________.
1
3
[由B ＝C,2b ＝3a ，可得b ＝c ＝32a ， 所以cos A ＝b 2
＋c 2
－a 2
2bc ＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a
＝1
3.]
5．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .
[解]在△ABC中，∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－2ac－2ac cos B＝82－2×15
－2×15×1
2＝19.
∴b＝19.。