概率统计课件ch7-34.ppt

xi
s2
1 n-1
n i1
(xi
x)2
1 n-1
n i1
xi2
2 nx
(2)对于给定的置信度1 ，查 2(n 1)分布表，得
上
/
2和1
/
2分
位
点
2
1
/
2
(n
1)和2
/
2
(n
1)
(3)写 出
2的
置
信
区
间
(n 1)s2
2/ 2 (n 1)
,
(n
2 1
/2
1)s2 (n
1)
二. 两个正态总体的区间估计:
二. 定义:
设总体X的分布中含有未知参数 , 若对于给定的 值 (0 1), 统计量1 1( X1 , X 2 ,, X n )和 2 2 ( X1 , X 2 ,, X n )满足 :
P{1 2 } 1
则 称 随 机 区 间(1, 2 )是的 置 信 度 为1 的 置 信 区
/ 2 (n
1) .
2
t / 2 (n 1)
2
t / 2 (n 1)
步骤如下：设x1, x2 ,, xn是一组样本观察值.
(1)计 算x
1 n
n i1
xi
s2
1 n-1
n i1
(xi
x)2
1 n-1
n i1
xi2
2 nx
(2)对给定的置信度1 ,查t(n 1)分布表的 上 / 2分位点t /2(n 1).
间, 1和
分
2
别
称
为
置
信
度
为1
的
置
信
区
间
的
置
信 下 限和 置 信 上限,1 称 为 置信 度.
置 信 区 间 不 同 于 一 般 的区 间, 它 是 随 机 区 间, 对 于 不 同 的 样 本 值 取 到不 同 的 区 间. 在 这 些 区 间 中 有 的 包 含 参数 的 真 值, 有 的 则
1.
设X 1
,
X2
,,
X
是
n
来
自
总
体X的
样
本,
取
参
数的
较
优
的
点估计ˆX1, X2 ,, Xn ，最好是无偏估计量。
2. 设法构造一个随机变量Z=Z(X1, X2, …, Xn;), Z的分布 已知, 并且不依赖于参数, 也不依赖于其他任何未知
参数; Z的分位点可以从表中查出。
3. 对于给定的置信度1 ,查表求得Z的 及1
(3)写 出的 置 信 区 间
s
s
x
n t 2 (n 1), x
n
t
2
(n
1)
3.求 2的置信区间 :
设总体X ~ N ( , 2 ), , 2均未知，
/2
X1
,
X
2
,
,
X
是
n
一
பைடு நூலகம்
个
样
本.
/2
考 虑 随 机 变 量Z
n1
2
S2,
12 / 2 (n 1)
2
/
2
(n
1)
由定理一知Z ~ 2 (n 1), 不依赖于任何参数
P
F1 2
n1 1,n2 1
S12
S
2 2
2 1
2 2
F
2
n1 1,n2 1 1
P
S12 S22
1
F (n1 1, n2
2
1)
2 1
2 2
S12
S
2 2
F1 2
(n1
1 1,
n
2
1)
1
于
是
得
到
2 1 2 2
的
一
个
置
信
度
为1
的
置
信
区
间
为
S12 S22
则 可 用 X Y z /2
S12
n1 S22
n2
来 作 为1
的
2
置信度为1 的近似置信区间.
例1. 为 比 较I , II 两 种 型 号 步 枪 子 弹 的 枪口 速 度, 随 机 的
取I型 子 弹10发, 得 到 枪 口 速 度 的 平 均 值x1 500(m/s), 标 准 差s1 1.10(m/s),随 机 地 取II 型 子 弹20发, 得 到 枪 口 速 度 的 平 均 值 为x2 496(m/s),标 准 差s2 1.20(m/s). 假 定 两 总 体 都 可 近 似 地服 从 正 态 分 布,且 由 生 产 过 程
现抽样得到的区间 (4.71, 5.69), 则该区间属于那些 包含的区间的可信度为95%, 或“该区间包含” 这一事实的可信度为95%.
20 置 信 区 间 是 不 唯 一 的,如 上 例 中,取
X P{z0.01 n z0.04 } 0.95,
可 得( X
n z0.01 , X
n
z 0.04
)也 是的 置 信 度
为0.95的 置 信 区 间.
30 对于同一置信度, 可以有各种不同的置信区间, 显然, 置信度相同时, 置信区间越短越好, 一般地, 对 于 密 度 函 数 为 单 峰 对称 的 随 机 变 量 如 正 态 分布, t分布,取双侧分位点时, 置信区间最短.
三. 求置信区间的一般思路:
P
Z
Z 2
1 P Z Z 2
1 2
例如： 0.05, 1 2 0.975,
Z 1.96 2
例如： 0.01, 1 2 0.995,
Z 2.575 2
如 0.05, 若 1, n 16,有z / 2 1.96,于 是 有 一 个 置 信度为0.95的区间(X 1 16 1.96) (X 0.49).
§4.正态总体均值与方差的区间估计
一. 单个正态总体的均值与方差的区间估计:
设总体X
~
N(, 2
),
X1
,
X2
,,
X
是一个样
n
本.
1.当 2已知时,求的置信区间.
选取Z X ,由例1可得的置信度为1 n
的置信区间 X
n
z
/2
.
步骤如下：设x1, x2 ,, xn是一组样本观察值.
n
z
/2
X
n
z
/2
1
.
故我们得到的一个置信度为1 的置信区间
X
n z /2 ,
X
n
z
/2
或
X
n
z / 2
.
怎么查Z ？ 2
2
2
Z/2
Z / 2
按标准正态分布的上分位点定义, P Z Z 2
2
再由标准正态分布表知, Z 2 P Z Z 2 (P371)
Z 2
从而可得1 2的一个置信度为1 的置信区间
( X Y ) t / 2 (n1 n2 2)S 1 n1 1 n2
此处S2
( n1
1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
.
3.
当12和 22均未知时,求1
的置信区间
2
:
此
时
只
要n 1和n
都
2
很
大(实
用
上
一
般
大
于50即
可),
的置信区间
2
:
X, Y分别为1 , 2的无偏估计,
故X
Y也 是 1
的
2
无
偏估计,
由X ,Y的独立性以及X
~
N
(1
,
2 1
/ n1 ),
Y
~
N
(
2
,
2 2
/ n2 )得
X
Y
~
N (1
2
,
2 1
n1
2 2
n2 )
即
X Y (1 2 ) ~ N (0,1)
2 1
n1
2 2
n2
即 可 得 到 1
的
2
2
分位点a, b,使得
Pa Z( X1, X 2 ,, X n; ) b 1
4. 由 不 等 式a Z ( X1 , X 2 ,, X n; ) b解 得 1( X1, X2 ,, Xn;a,b) 2( X1, X2 ,, Xn;a,b)
这 样 就 得 到 了的 置 信 区 间.
例1. 设 总 体X ~ N( , 2 ), 2已 知, 未 知, 设X1, X2 ,
,
X
是
n
来
自
总
体X的
样
本,
求的
置
信
度
为1
的
置信 区间.
解 :由X是的无偏估计, 且 X ~ N(0,1)且不依赖于任何其 n
它参数, 按标准正态分布的上分位点的定义,
有P X n
z
2
1
,即
PX
t 0.025 (28)
2.0484,
S
2
(9 1.102
19 1.202 ) /
28,
故S 1.1688,
所求的两总体均值差1
的置
2
信度为0.95的置信区间
是( x1 x2 S t0.025 (28) 1 / 10 1 / 20) (4 0.93)
即 (3.07,4.93).
四. 两个总体方差比的置信区间:
1 / 2 / 2 1
n 1S 2
P
2
/
2
(n
1)
2
n 1S 2
2 1
/
2
(n
1)
1
2的置信度为1 的置信区间为
(n
2 /
1)S 2 2(n 1)
,
(n
2 1
/2
1)S 2 (n 1)
步骤如下：设x1, x2 ,, xn是一组样本观察值.
(1)计 算x
1 n
n i1
2.当 2未知时,求的置信区间.
由 2未知, 考虑S2是 2的无偏估计,
构造r.v.Z X ~ t(n 1)不依赖于任何未知参数,
Sn
查t(n 1)分布表得
P t / 2 (n 1)
X S
n
t / 2 (n 1)
1
可 得的 置 信度 为1 的 置 信
区 间 X
S n
t
(1)
计算x
1 n
n i1
xi
(2) 对给定的置信度1 ,查N(0,1)分布表的
上 / 2分位点z /2 .
(3)
写出的置信区间 x
n
Z , x 2
n
Z
2
注意：对于非正态总体，当样本容量n 1时，
由中心极限定理X 近似服从N (0,1),所以仍 n
可用上述方法对 E( X )作区间估计。
不 包 含.当 置 信 度 为1 时, 这 个 区 间 包 含 的 真 值的 概 率 为1 .如 0.05, 置 信 度 为0.95,说 明(1, 2 )以0.95的 概 率 包 含的 真 值, 粗 略 地 说, 在 随 机 区 间(1, 2 )的100个 观 察 值 中,有95个 包 含 的 真 值.
F (n1
1 1, n2
, 1)
2
S12
S
2 2
1
F
1
(n1
1, n2
2
1)
例2.
研 究 由 机 器A和 机 器B生 产 的 钢 管 的 内 径,
随 机 抽 取 机 器A生 产 的 管 子18只, 测 得 样 本 方 差
s12 0.34(m m2 );抽 取 机 器B生 产 的 管 子13只, 测 得 样 本 方 差s22 0.29(m m2 ),设 两 样 本 相 互 独 立, 且 设 机 器A, 机 器B生 产 的 管 子 的 内 径 分 别服 从
仅讨论总体均值1 ,2未知的情况,
由 (n 1
1)S
2 1
2 1
~
2 (n1
1),
(n 2
1)S
2 2
2 2
~
2 (n2
1),
且由假设知(n1
1)S
2 1
2 1
与 (n 2
1)S
2 2
2 2
相互独立,
由F分
布的定义知
S S
2 1 2 2
2 1
2 2
~ F(n1 1, n 2 1),
且不依赖于任何未知数,由此得
对于给定的置信度1 , 注意到
P
n1
2
S
2
2
/
2
(n
1)
/
2,
查表
得
2
/
2
(n
1)
P
n1
2
S2
2 1
/
2
(n
1)
1
/
2,
查表得
2 1
/ 2 (n
1)
故
P
2 1
/ 2 (n
1)
n1
2
S2
2
/
2
(n
1)
P
n1
2
S2
2 1
/
2
(n
1)
P
n1
2
S2
2
/
2
(n
1)
可
认
为
它
们
的
方
差
相
等.求
两
总
体
均
值1
-
的
2
置
信
度
为0.95的 置 信 区 间.
解 : 按实际情况,可认为分别来自两个总体的样本是 相互独立的.又因由假设两总体的方差相等, 但数值
未 知, 故 可 由 第2种 情 况 求 均 值 差 的 置 信区 间.由 于
1 0.95, n1 10, n2 20, n1 n2 2 28,
§3. 区间估计
一. 问题引入:
对于一个量a, 如某工件的长度, 通过测量和计算 得到它的一个近似值aˆ, 在工程技术上还要同时给出
这个近似值的误差 , 也就是说给出一个区间[aˆ , aˆ ], 量a一定落入这个区间内.
对 于 参 数 的 估 计 也 有 类似 的 问 题, 点 估 计 仅 仅 给 出 了 参 数 的 一 个 估 计 值,有 时 还 需 要 知 道 它 的 可靠 性 程 度,这 就 需 要 给 出 一 个 区 间, 并 且 说 明 这 个 区 间 以 多 大 的 概 率 包 含 参 数 的真 值,这 就 是 区 间 估 计.
2
一
个
置
信
度
为1
的 置 信 区 间
(X Y z/2
2 1
n1
2 2
n2 ).
其
中Z
/
2为N
(0,1)分
布
的
上
2
分
位
点.
2.
2 1
2 2
2 , 但 2未知,求1
的置信区间
2
:
由 第 六 章 的 定 理 三(P152)知
(X Y) (1 2 ) ~ S 1 n1 1 n2
t(n1 n2 2).