【压轴卷】高中三年级数学下期中试题附答案(4)

【压轴卷】高中三年级数学下期中试题附答案(4)
一、选择题
1．已知数列121,,,4a a 成等差数列，1231,,,,4b b b 成等比数列，则21
2
a a
b -的值是 ( ) A ．
12
B ．12
-
C ．
1
2或12- D ．
1
4
2．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ） A ．4S B ．5S
C ．6S
D ．7S
3．已知在
中，，，分别为角，，的对边，为最小角，且，
，
，则
的面积等于（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
4．设,x y 满足约束条件0,20,240,x y x y x y -≥⎧⎪
+-≥⎨⎪--≤⎩
则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．12
D ．13
5．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）
A ．2a b =
B ．2b a =
C ．2A B =
D ．2B A =
6．已知变量x , y 满足约束条件13230x x y x y ≥⎧⎪
+≤⎨⎪--≤⎩
，则2z x y =+的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．6
7．下列命题正确的是
A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2
B ．若a ＞b ，则 ac ＞bc
C ．若a ＞b ，则a 3＞b 3
D ．若a>b ，则
1
a ＜1b
8．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
B ．23,15⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
C ．()1,+∞
D ．23,
5⎛
⎤
-∞ ⎥⎝⎦
9．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，33c =，
30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )
A ．
37
2
B ．
34
C ．
32
或
D ．
34
10．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1a
b
c
<
B ．
c a c
b a b
->- C ．11a a c b --< D ．log log c b a a <
11．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3
n
n 则数列{an}中的最大项为( ) A ．89
B ．23
C ．
6481
D ．
125
243
12．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ） A ．
34
B ．
56
C ．
78
D ．
23
二、填空题
13．若,a b ∈R ，0ab >，则4441
a b ab ++的最小值为___________.
14．已知lg lg 2x y +=，则11
x y
+的最小值是______.
15．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差d =（___）． 16．已知0a >，0b >，且31a b +=，则
43
a b
+的最小值是_______. 17．在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____．
18．某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案为：第K 棵树种植在点
(),k k k P x y 处，其中11x =，11y =，当2K ≥时，
111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨
--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩
()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如()2.62T =，()0.20T =．按此方案第2016棵树种植点的坐标应为_____________．
19．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1c =，ABC ∆的面积为
221
4
a b +-，则ABC ∆面积的最大值为_____. 20．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T 若对任意自然数n 都有
2343n n S n T n -=-，则93
5784
a a
b b b b +++的值为_______．
三、解答题
21．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和． 22．在等比数列{}n a 中，125a a +=，且2320a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）求数列{3n a +的前n 项和n S .
23．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()sin 2sin 0b A a A C -+=． （1）求角A ；
（2）若3a =，ABC △的面积为
2
，求11b c +的值．
24．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是公比大于零的等比数列，且112a b ==,
338a b ==.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; （2）记n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S .
25．D 为ABC V 的边BC 的中点．222AB AC AD ===． （1）求BC 的长；
（2）若ACB ∠的平分线交AB 于E ，求ACE S V ．
26．C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量()
m a =r
与
()cos ,sin n =A B r
平行．
（Ⅰ）求A ；
（Ⅱ）若a =
2b =求C ∆AB 的面积．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【解析】
由题意可知：数列1,a 1,a 2，4成等差数列，设公差为d ， 则4=1+3d ，解得d =1，
∴a1=1+2=2，a2=1+2d=3.
∵数列1,b1,b2,b3，4成等比数列，设公比为q，则4=q4,解得q2=2，
∴b2=q2=2.
则21
2211 22
a a b
-
-=
=.
本题选择A 选项.
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
先通过数列性质判断
6
a <，再通过数列的正负判断
n
S的最小值.
【详解】
∵等差数列{}n a中，390
a a
+<，∴
396
20
a a a
+=<，即
6
a<.又
7
a>，∴{}n a的前n项和n S的最小值为6S.
故答案选C
【点睛】
本题考查了数列和的最小值，将n S的最小值转化为{}n a的正负关系是解题的关键.
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据同角三角函数求出；利用余弦定理构造关于的方程解出，再根据三角形面积公式求得结果.
【详解】
由余弦定理得：，即
解得：或
为最小角
本题正确选项：
【点睛】
本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、同角三角函数关系，关键是能够利用余弦定理构造关于边角关系的方程，从而求得边长.
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
由约束条件可得可行域，将问题变成11
22
y x z =-+在y 轴截距最大问题的求解；通过平移直线可确定最大值取得的点，代入可得结果. 【详解】
由约束条件可得可行域如下图所示：
当2z x y =+取最大值时，11
22
y x z =-+在y 轴截距最大 平移直线12
y x =-，可知当直线11
22y x z =-+过图中A 点时，在y 轴截距最大
由240
y x
x y =⎧⎨
--=⎩得：()4,4A max 42412z ∴=+⨯=
故选：C 【点睛】
本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距最值问题的求解，属于常考题型.
5．A
解析：A 【解析】
sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+
所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.
【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到
2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视. 6．A 解析：A 【解析】
【分析】
画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处，由此求得z 的最小值. 【详解】
画出可行域如下图所示，平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处，此时z 取得最小值为()2111⨯+-=. 故选：A.
【点睛】
本小题主要考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
7．C
解析：C 【解析】
对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.
故选C
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用分离常数法得出不等式2a x x >
-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2
f x x x
=-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围
【详解】
关于x 的不等式220x ax +->在区间[]
1,5上有解
22ax x ∴>-在[]15
x ∈，上有解 即2
a x x
>
-在[]15x ∈，上成立，
设函数数()2
f x x x
=
-，[]15x ∈，
()2
2
10f x x ∴'=-
-<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数
且()f x 的值域为2315⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
， 要2a x x >
-在[]15x ∈，上有解，则23
5
a >- 即a 的取值范围是23,5⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
故选A 【点睛】
本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知利用余弦定理可得29180a a -+=，解得a 值，由已知可求中线1
2
BD c =
，在BCD V 中，由余弦定理即可计算AB 边上中线的长． 【详解】
解：3,30b c B ===o Q ，
∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得239272332
a a =+-⨯⨯⨯，
整理可得：29180a a -+=，∴解得6a =或3．
Q 如图，CD 为AB 边上的中线，则13322
BD c ==，
∴在BCD V 中，由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-⋅⋅，可得：
222333336(
)26222CD =+-⨯⨯⨯，或222333333()23222
CD =+-⨯⨯⨯
， ∴解得AB 边上的中线32CD =
或37
2
． 故选C ．
【点睛】
本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．
10．D
解析：D 【解析】 【分析】
运用不等式对四个选项逐一分析 【详解】
对于A ，1b c >>Q ，1b c ∴>，01a <<Q ，则1a
b c ⎛⎫> ⎪⎝⎭
，故错误 对于B ，若c a c
b a b
->-，则bc ab cb ca ->-，即()0a c b ->，这与1b c >>矛盾，故错误
对于C ，01a <<Q ，10a ∴-<，1b c >>Q ，则11a a c b -->，故错误 对于D ，1b c >>Q ，c b log a log a ∴<，故正确 故选D 【点睛】
本题考查了不等式的性质，由未知数的范围确定结果，属于基础题．
11．A
解析：A 【解析】
解法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋1)
n ＋1
－n
n
＝·
n
，
当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，
所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×
2
＝.故选A.
解法二 ＝＝
，
令
>1，解得n <2；令＝1，解得n ＝2；令
<1，解得n >2.又a n >0，
故a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，
所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×
2
＝.故选A.
12．A
解析：A 【解析】 【分析】
设三角形的三边分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，根据余弦定理求出最小角的余弦值，然后再由正弦定理求得最小角的余弦值，进而得到n 的值，于是可得最小角的余弦值． 【详解】
由题意，设ABC ∆的三边长分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，对应的三角分别为,,A B C ， 由正弦定理得222
sin sin sin 22sin cos n n n n A C A A A
+++===， 所以2
cos 2n A n
+=
． 又根据余弦定理的推论得222(2)(1)5
cos 2(2)(1)2(2)
n n n n A n n n +++-+==+++．
所以
25
22(2)
n n n n ++=+，解得4n =， 所以453
cos 2(42)4
A +=
=+，
即最小角的余弦值为34
． 故选A ． 【点睛】
解答本题的关键是求出三角形的三边，其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程，使得问题得以求解，考查正余弦定理的应用及变形、计算能力，属于基础题．
二、填空题
13．4【解析】（前一个等号成立条件是后一个等号成立的条件是两个等号可以同时取得则当且仅当时取等号）【考点】均值不等式【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式（1）当且仅当时取等号；（2）当且仅
解析：4 【解析】
44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥= ，（前一个等号成立条件是
222a b =，后一个等号成立的条件是1
2
ab =，两个等号可以同时取得，则当且仅当
2224
a b =
=
时取等号）. 【考点】均值不等式
【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1）
22
,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；（2）,a b R +∈ ，a b +≥ ，
当且仅当a b =时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.
14．【解析】由得：所以当且仅当时取等号故填
解析：1
5
【解析】
由lg lg 2x y +=得：100xy =，所以
1111111
()1001005
xy x y x y x y ⎛⎫+=+=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当10x y ==时，取等号，故填
1
5
. 15．【解析】【分析】根据两个和的关系得到公差条件解得结果【详解】由题意可知即又两式相减得【点睛】本题考查等差数列和项的性质考查基本分析求解能力属基础题 解析：1-
【解析】 【分析】
根据两个和的关系得到公差条件，解得结果. 【详解】
由题意可知，10551015S S -=--=-，即67891015a a a a a ++++=-， 又1234510a a a a a ++++=，两式相减得2525d =-，1d =-. 【点睛】
本题考查等差数列和项的性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
16．【解析】【分析】利用1的代换将求式子的最小值等价于求的最小值再利用基本不等式即可求得最小值【详解】因为等号成立当且仅当故答案为：【点睛】本题考查1的代换和基本不等式求最值考查转化与化归思想的运用求解 解析：25
【解析】 【分析】
利用1的代换，将求式子43
a b +的最小值等价于求43()(3)a b a b
++的最小值，再利用基本不等式，即可求得最小值. 【详解】
因为
4343123()(3)491325b a a b a b a b a b +=++=+++≥+， 等号成立当且仅当21
,55
a b ==. 故答案为：25. 【点睛】
本题考查1的代换和基本不等式求最值，考查转化与化归思想的运用，求解时注意一正、二定、三等的运用，特别是验证等号成立这一条件.
17．【解析】在△中且故故答案为：点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数属于简单题对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）同时还要熟练掌握运用两种形式的条件另外在解与三角
解析：1
4
-
【解析】
在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =,故
2221
32,3,cos .24
a b c a b b c ab +-=∴===-
故答案为：1
4
-
. 点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）
222
cos 2b c a A bc
+-=
，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o
o
o
等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
18．【解析】【分析】根据题意结合累加法求得与再代值计算即可【详解】由题意知故可得解得当时；当时故第棵树种植点的坐标应为故答案为：【点睛】
本题考查数列新定义问题涉及累加法求通项公式属中档题
解析：()4031,404. 【解析】 【分析】
根据题意，结合累加法，求得k x 与k y ，再代值计算即可. 【详解】
由题意知11x =，11y =
211015555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，211055y y T T ⎛⎫⎛⎫
=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
322115555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，322155y y T T ⎛⎫⎛⎫
=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
433215555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，433255y y T T ⎛⎫⎛⎫
=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
L
11215555k k k k x x T T ---⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11255k k k k y y T T ---⎛⎫⎛⎫
=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故可得12121105555k k k x x x x x x k T T --⎛⎫⎛⎫
+++=+++++-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
L L 12121?10155k k k y y y y y y T T --⎛⎫⎛⎫
+++=+++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
L L 解得155k k x k T -⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭，当2016k =时，2016201654034031x =+⨯=；
115k k y T -⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，当2016k =时，20161403404y =+=.
故第2016棵树种植点的坐标应为()4031,404. 故答案为：()4031,404. 【点睛】
本题考查数列新定义问题，涉及累加法求通项公式，属中档题.
19．【解析】【分析】结合已知条件结合余弦定理求得然后利用基本不等式求得的最大值进而求得三角形面积的最大值【详解】由于三角形面积①由余弦定理得②由①②得由于所以故化简得故化简得所以三角形面积故答案为【点睛
解析：
1
4
【解析】 【分析】
结合已知条件，结合余弦定理求得π
4
C =，然后利用基本不等式求得ab 的最大值，进而求得三角形ABC 面积的最大值. 【详解】
由于三角形面积2211sin 24a b S ab C +-==①，由余弦定理得221
cos 2a b C ab +-=②，由
①②得sin cos C C =，由于()0,πC ∈，所以π4C =.
故221cos 22
a b C ab +-==
，化简
221a b =+-
22121a b ab =+-≥-
，化简得ab ≤所以三角形
面积1121
sin 22224
S ab C =≤⨯=.
故答案为1
4
. 【点睛】
本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查基本不等式求最值的方法，属于中档题.
20．【解析】【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式代值计算可得【详解】∵{an}{bn}为等差数列∴∵＝∴故答案为【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式属基础题
解析：19
41
【解析】 【分析】
由等差数列的性质和求和公式可得原式11
11
S T =，代值计算可得． 【详解】
∵{a n }，{b n }为等差数列，
∴
9393936
57846666
222a a a a a a a b b b b b b b b ++=+==++ ∵
61111111111622a S a a T b b b +==+＝211319411341
⨯-=⨯-，∴661941a b =， 故答案为
19
41
. 【点睛】
本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．
三、解答题
21．（1）21n a n =-；（2）2
31
2
n n -+
【解析】 【分析】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，运用通项公式，可得
3,2q d ==，进而得到所求通项公式；
（2）由（1）求得1
(21)3n n n n c a b n -=+=-+，运用等差数列和等比数列的求和公式，即
可得到数列{}n c 和． 【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 因为233,9b b ==，可得3
2
3b q b =
=，所以2212333n n n n b b q ---==⋅=， 又由111441,27a b a b ====，所以141
2141
a a d -=
=-， 所以数列{}n a 的通项公式为1(1)12(1)21n a a n d n n =+-⨯=+-=-．
（2）由题意知1
(21)3n n n n c a b n -=+=-+，
则数列{}n c 的前n 项和为
1
2
(121)1331[13(21)](1393)2132
n n n n n n n -+---+++-+++++=+=+
-L L ． 【点睛】
本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 22．（1）1
4n n a -=；（2）n S 4121n n =-+-.
【解析】 【分析】
（1）由数列{}n a 是等比数列，及125a a +=，且2320a a +=，两式相除得到公比q ，再代入125a a +=可求1a ，则通项公式可求.
（2）利用分组求和求出数列{3n a 的前n 项和n S . 【详解】
解：（1）因为等比数列{}n a 中，125a a +=，且2320a a +=. 所以公比23
12
4a a q a a +=
=+， 所以12155a a a +==，
即11a =， 故1
4
n n a -=.
（2）因为1
4
n n a -=
所以1
1334
2n n n a --=⋅+，
所以141231412
n n
n S --=⨯+
-- 4121n n =-+- 422n n =+-. 【点睛】
本题考查等比数列的通项公式的计算与等比数列前n 项和公式的应用，属于基础题.
23．（1）3π；（2【解析】 【分析】
（1）可通过化简()sin2sin 0b A a A C -+=计算出cos A 的值，然后解出A 的值。

（ 2）可通过计算b c +和bc 的值来计算11
b c
+的值。

【详解】
（1）由()bsin 2sin 0A a A C -+=得bsin 2sin sin A a B b A ==， 又0A π<<，所以sin 0A ≠，得2cos 1A =，所以A 3
π
=。

（2）由ABC n 及A 3π=得1bcsin 23π=bc 6= ，
又3a =，从而由余弦定理得222cos 9b c bc A +-=，所以b c +=，
所以
112
b c b c bc ++==。

【点睛】
本题考察的是对解三角函数的综合运用，需要对相关的公式有着足够的了解。

24．（1）31,2n
n n a n b =-=；（2）1326n n +⨯--.
【解析】
试题分析：（1）设出等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，且q>0．由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；
（2）由c n =a bn 结合数列{a n }和{b n }的通项公式得到数列{c n }的通项公式，结合等比数列的前n 项和求得数列{c n }的前n 项和S n ． 试题解析：
（1）设等差数列的公差为，等比数列
的公比为，且．
由，得
，解得． 所以．
由，得，又
，解得
．
所以． （2）因为，
所以
．
25．（1）6=BC 231015
-
【解析】 【分析】
（1）由题意知21AB AC AD ===，．设BD DC m ==，在ADB △与ADC V 中，由余弦定理即可解得m 的值．（2）在ACE △与BCE V 中，由正弦定理，角平分线的性质可得
6
6
AE AC BE BC ==
．可求6BE AE =，2615AE =（）．利用余弦定理可求cos BAC ∠的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin BAC ∠的值，利用三角形的面积
公式即可计算得解． 【详解】
解：（1）由题意知21AB AC AD ===，．设BD DC m ==．
在ADB V 与ADC V 中，由余弦定理得：2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，
2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．
即：212cos 4m m ADB +-∠=，①
212cos 1m m ADB ++∠=．②
由①+②，得：2
32
m =， 所以6
m =
6BC = （2）在ACE V 与BCE V 中，由正弦定理得：
,sin sin sin sin AE EC BE EC
ACE EAC BCE CBE
==∠∠∠∠，
由于ACE BCE ∠=∠，且sin sin BC AC
BAC CBA
=∠∠，
所以
6
6
AE AC BE BC ==
． 所以6BE AE =，
所以2
615
AE =（）．
又2
22222121cos 2221
4
AB AC BC BAC AB AC +-
+-∠==
=-⋅⨯⨯，
所以sin 4
BAC ∠=，
所以11211225ACE S AC AE sin BAC =⋅⋅∠=⨯⨯=
V （）． 【点睛】
本题主要考查了余弦定理，正弦定理，角平分线的性质，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 26．（Ⅰ）3π；（Ⅱ
）2
． 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）根据平面向量//m n r r
，列出方程，在利用正弦定理求出tan A 的值，即可求解角A 的大小；（2）由余弦定理，结合基本不等式求出bc 的最大值，即得ABC ∆的面积的最大值.
试题解析：（1
）因为向量()
m a =r
与()cos ,sin n =A B r
平行，
所以0asinB ＝，
由正弦定理得sinAsinB
－0sinBcosA ＝， 又sin 0B ≠，从而tanA
，由于0<A<π，所以A ＝
3
π
. （2）由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，而a
，b ＝2，A ＝3
π， 得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0， 因为c>0，所以c ＝3. 故△ABC 的面积为
12bcsinA
＝2
. 考点：平面向量的共线应用；正弦定理与余弦定理.。