九年级数学上册 第21章 一元二次方程总结课件
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∵k＋4≠0， ∴k≠－4，∴k＝1.
2021/12/10
第三页，共二十七页。
小结(xiǎojié)
类型(lèixíng)之二 一元二次方程的解法
3．一元二次方程 x2－2x－3＝0 的解是( A )
A．x1＝－1，x2＝3
B．x1＝1，x2＝－3
C．x1＝－1，x2＝－3
D．x1＝1，x2＝3
【解析】公式法：∵a＝1，b＝－2，c＝－3，b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－3)
－b± b2－4ac 2± 16
＝16＞0，∴方程有两个不相等的实数根，x＝
2a
＝ 2×1 ＝1±2，
∴x1＝－1，x2＝3.因式分解法：原方程可变形为(x＋1)(x－3)＝0，∴x＋1＝0 或
x－3＝0，解得 x1＝－1，x2＝3.故选 A.
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小结(xiǎojié)
∴b2－4ac＝(－5)2－4×3×(－2)＝49，
－b± b2－4ac 5± 49 5±7
1
∴x＝
2a
＝ 6 ＝ 6 ，∴x1＝2，x2＝－3.
(2)2x－3＝±x，∴x1＝3，x2＝1. (3)3x(x－1)＝2－2x.变形，得 3x(x－1)＋2(x－1)＝0，
分解因式，得(x－1)(3x＋2)＝0，
故选 A.
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小结(xiǎojié)
5．一个等腰三角形的两边长分别是方程 x2－7x＋10＝0 的两根，
则该等腰三角形的周长是( A )
A．12
B．9 C．13
D．12 或 9
【解析】∵x2－7x＋10＝0，∴(x－2)(x－5)＝0，∴x1＝2，x2＝5.若等腰三 角形的三边长分别为 2，5，5，则 2＋5>5，满足三角形的三边关系，此时等腰三 角形的周长为 12；若等腰三角形的三边长分别为 2，2，5，则 2＋2<5，不满足三
可得 x－1＝0 或 3x＋2＝0，
2 解得 x1＝1，x2＝－3.
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小结(xiǎojié)
类型(lèixíng)之三 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
7．2017·攀枝花 关于 x 的一元二次方程(m－1)x2－2x－1＝0 有两
个实数根，则实数 m 的取值范围是( C )
当 x－1<0，即 x<1 时，|x－1|＝－(x－1)．
原方程化为 x2＋(x－1)－1＝0，即 x2＋x－2＝0.
解得 2021/12/10 x1＝1，x2＝－2.
第二十四页，共二十七页。
小结(xiǎojié)
∵x<1，故 x＝1 舍去，∴x＝－2 是原方程的解． 综上所述，原方程的解为 x1＝1，x2＝－2. 解方程：x2＋2|x＋2|－4＝0.
3 ∴符合条件的 m 的值为2.
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小结(xiǎojié)
10．已知关于 x 的一元二次方程 x2＋(2m＋2)x＋m2－4＝0 有两个不
相等的实数根．
(1)求 m 的取值范围； (2)若 m 为负整数，且该方程的两个根都是整数，求 m 的值．
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解：(1)∵原方程有两个实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4(m－1)≥0， 整理，得 4－4m＋4≥0，解得 m≤2. (2)∵x1＋x2＝2，x1x2＝m－1，x12＋x22＝6x1x2，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝6x1x2， 即 4＝8(m－1)，解得 m＝32. ∵m＝32＜2，
A．m≥0
B．m＞0
C．m≥0 且 m≠1
D．m＞0 且 m≠1
【解析】∵关于 x 的一元二次方程(m－1)x2－2x－1＝0 有两个实数根， ∴m－1≠0 且Δ≥0，即(－2)2－4×(m－1)×(－1)≥0，
解得 m≥0 且 m≠1，∴m 的取值范围是 m≥0 且 m≠1.故选 C.
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小结(xiǎojié)
12．2017·无锡 某商店今年 1 月份的销售额是 2 万元，3 月份的销 售额是 4.5 万元，从 1 月份到 3 月份，该店销售额平均每月的增长率是 (C )
A．20% B．25% C．50% D．62.5%
【解析】设该店销售额平均每月的增长率是 x. 根据题意，得 2(1＋x)2＝4.5，即(1＋x)2＝2.25， ∴1＋x＝±1.5，∴x1＝0.5＝50%，x2＝－2.5(不合题意，舍去)， ∴该店销售额平均每月的增长率是 50%.
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小结(xiǎojié)
8．2017·盐城 若方程 x2－4x＋1＝0 的两个根是 x1，x2，则 x1(1＋x2)＋x2 的值为___5_____．
【解析】x1(1＋x2)＋x2＝x1＋x1x2＋x2＝x1＋x2＋x1x2.由一元二次方程的根与系 数的关系可知，x1＋x2＝4，x1x2＝1，所以 x1(1＋x2)＋x2＝4＋1＝5.
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小结(xiǎojié)
9．2016·孝感 已知关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋m－1＝0 有两个实数根 x1，x2.
(1)求 m 的取值范围； (2)当 x12＋x22＝6x1x2 时，求 m 的值．
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第十二页，共二十七页。
小结(xiǎojié)
根，则该三角形的面积是( B )
A．24 B．24 或 30
C．48
D．30
【解析】解方程 x2－16x＋60＝0，得 x1＝6，x2＝10.当直角三角形的两条直 角边长分别是 6 和 10 时，三角形的面积是 30；当直角三角形的一条直角边长和 斜边长分别是 6 和 10 时，根据勾股定理得另一条直角边长是 8，此时三角形的面 积是 24.
(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会 减少 4 件．若生产的某档次产品一天的总利润为 1080 元，该烘焙店 生产的是第几档次的产品？
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第十八页，共二十七页。
小结(xiǎojié)
解：(1)设此批次蛋糕属于第 x 档次产品，则 10＋2(x－1)＝14，解得 x＝3. 答：此批次蛋糕属于第 3 档次产品． (2)设该烘焙店生产的是第 y 档次的产品，根据题意，得 [10＋2(y－1)][76－4(y－1)]＝1080， 解之，得 y1＝5，y2＝11(不合题意，舍去)． 答：该烘焙店生产的是第 5 档次的产品．
第二十二页，共二十七页。
小结(xiǎojié)
解：(1)设平均每次下调的百分率为 x.根据题意，得 5(1－x)2＝3.2. 解得 x＝0.2 或 x＝1.8. ∵降价的百分率不可能大于 1，∴x＝1.8 不符合题意，舍去， ∴x＝0.2＝20%. 答：平均每次下调的百分率是 20%. (2)小华选择方案一更优惠． 理由：方案一所需费用为 3.2×0.9×5000＝14400(元)； 方案二所需费用为 3.2×5000－200×5＝15000(元)． ∵14400<15000，∴小华选择方案一更优惠．
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第十九页，共二十七页。
小结(xiǎojié)
14．某单位准备将院内一块长 30 m、宽 20 m 的长方形空地建成 一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向曲折的小 道，剩余的地方种植花草，如图 21－X－1 所示，要使种植花草的面 积为 532 m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？(注：所有小道进 出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)
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图 21－X－1
第二十页，共二十七页。
小结(xiǎojié)
解：设小道进出口的宽度应为 x m．根据题意，得(30－2x)(20－x)＝532.
整理，得 x2－35x＋34＝0. 解得 x1＝1，x2＝34(不符合题意，舍去)． ∴x＝1.
答：小道进出口的宽度应为 1 m.
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第二十三页，共二十七页。
小结(xiǎojié)
类型(lèixíng)之五 数学活动
16．阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题
的解法解方程．
例：解方程 x2－|x－1|－1＝0.
解：当 x－1≥0，即 x≥1 时，|x－1|＝x－1.
原方程化为 x2－(x－1)－1＝0，即 x2－x＝0.解得 x1＝0，x2＝1. ∵x≥1，故 x＝0 舍去，∴x＝1 是原方程的解；
角形的三边关系，舍去．故选 A.
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第七页，共二十七页。
小结(xiǎojié)
6．解方程：(1)3x2－5x－2＝0； (2)(2x－3)2＝x2； (3)3x(x－1)＝2－2x.
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第八页，共二十七页。
小结(xiǎojié)
解：(1)∵a＝3，b＝－5，c＝－2，
4．用配方法解一元二次方程 ax2＋x＋2ba2＝b2－4a42ac
B.x＋2ba2＝4a4ca－2 b2
C.x－2ba2＝b2－4a42ac
D.x－2ba2＝4a4ca－2 b2
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第五页，共二十七页。
小结(xiǎojié)
【解析】方程 ax2＋bx＋c＝0 两边同除以 a 并移项，得 x2＋bax＝－ca. 配方，得x＋2ba2＝b2－4a42ac.
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第二十五页，共二十七页。
小结(xiǎojié)
解：当 x＋2≥0，即 x≥－2 时，|x＋2|＝x＋2. 原方程化为 x2＋2(x＋2)－4＝0，即 x2＋2x＝0.解得 x1＝0，x2＝－2. ∵x≥－2，故 x1＝0，x2＝－2 均是原方程的解； 当 x＋2<0，即 x<－2 时，|x＋2|＝－(x＋2)．原方程化为 x2－2(x＋2)－4＝0， 即 x2－2x－8＝0.解得 x1＝4，x2＝－2. ∵x<－2，∴x1＝4，x2＝－2 均不是原方程的解． 综上所述，原方程的解为 x1＝0，x2＝－2.
第二十一页，共二十七页。
小结(xiǎojié)
15.菜农李伟种植的某种蔬菜计划以每千克 5 元的价格对外批发销 售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售， 减少损失，对价格进行两次下调后，以每千克 3.2 元的单价对外批发销 售．
(1)求平均每次下调的百分率． (2)小华准备到李伟处购买 5 吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给 予以下两种优惠方案以供选择： 方案一：打九折销售； 方案二：不打折，每吨优惠现金 200 元． 2021/1小2/10华选择哪种方案更优惠？请说明理由．
第二十一章 一元二次方程
小结(xiǎojié)
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第一页，共二十七页。
小结
(xiǎojié)
类型(lèixíng)之一 一元二次方程的有关概念
1．2017·江汉区校级模拟 若方程(m－2)x2＋3mx＋1＝0 是关
于 x 的一元二次方程，则( D )
A．m≠±2 B．m＝2
C．m＝－2 D．m≠2
当 m＝－2 时，方程为 x2－2x＝0，它的根为 x1＝0，x2＝2，都是整数，符合
题意．
综上所述，m＝－2.
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第十五页，共二十七页。
小结(xiǎojié)
类型(lèixíng)之四 用一元二次方程解决实际问题
11．直角三角形的两边长分别是一元二次方程 x2－16x＋60＝0 的两
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第十七页，共二十七页。
小结(xiǎojié)
13．2017·眉山 东坡区某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次， 第一档次(即最低档次)的产品每天生产 76 件，每件利润 10 元．经调 查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加 2 元．
(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为 14 元，此批次蛋糕属于第几 档次产品？
【解析】由题意得 m－2≠0，解得 m≠2.
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第二页，共二十七页。
小结(xiǎojié)
2．已知关于 x 的一元二次方程(k＋4)x2＋3x＋k2＋3k－4＝0 的 一个根为 0，求 k 的值．
解：把 x＝0 代入(k＋4)x2＋3x＋k2＋3k－4＝0，得 k2＋3k－4＝0，解得 k1＝1， k2＝－4.
第十四页，共二十七页。
小结(xiǎojié)
解：(1)∵一元二次方程 x2＋(2m＋2)x＋m2－4＝0 有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝(2m＋2)2－4×1×(m2－4)＝8m＋20＞0，∴m＞－52.
(2)∵m 为负整数，
∴m＝－1 或－2.
当 m＝－1 时，方程为 x2－3＝0，它的根为 x1＝ 3，x2＝－ 3，均不是整数， 不符合题意，故舍去；
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第三页，共二十七页。
小结(xiǎojié)
类型(lèixíng)之二 一元二次方程的解法
3．一元二次方程 x2－2x－3＝0 的解是( A )
A．x1＝－1，x2＝3
B．x1＝1，x2＝－3
C．x1＝－1，x2＝－3
D．x1＝1，x2＝3
【解析】公式法：∵a＝1，b＝－2，c＝－3，b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－3)
－b± b2－4ac 2± 16
＝16＞0，∴方程有两个不相等的实数根，x＝
2a
＝ 2×1 ＝1±2，
∴x1＝－1，x2＝3.因式分解法：原方程可变形为(x＋1)(x－3)＝0，∴x＋1＝0 或
x－3＝0，解得 x1＝－1，x2＝3.故选 A.
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第四页，共二十七页。
小结(xiǎojié)
∴b2－4ac＝(－5)2－4×3×(－2)＝49，
－b± b2－4ac 5± 49 5±7
1
∴x＝
2a
＝ 6 ＝ 6 ，∴x1＝2，x2＝－3.
(2)2x－3＝±x，∴x1＝3，x2＝1. (3)3x(x－1)＝2－2x.变形，得 3x(x－1)＋2(x－1)＝0，
分解因式，得(x－1)(3x＋2)＝0，
故选 A.
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第六页，共二十七页。
小结(xiǎojié)
5．一个等腰三角形的两边长分别是方程 x2－7x＋10＝0 的两根，
则该等腰三角形的周长是( A )
A．12
B．9 C．13
D．12 或 9
【解析】∵x2－7x＋10＝0，∴(x－2)(x－5)＝0，∴x1＝2，x2＝5.若等腰三 角形的三边长分别为 2，5，5，则 2＋5>5，满足三角形的三边关系，此时等腰三 角形的周长为 12；若等腰三角形的三边长分别为 2，2，5，则 2＋2<5，不满足三
可得 x－1＝0 或 3x＋2＝0，
2 解得 x1＝1，x2＝－3.
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第九页，共二十七页。
小结(xiǎojié)
类型(lèixíng)之三 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
7．2017·攀枝花 关于 x 的一元二次方程(m－1)x2－2x－1＝0 有两
个实数根，则实数 m 的取值范围是( C )
当 x－1<0，即 x<1 时，|x－1|＝－(x－1)．
原方程化为 x2＋(x－1)－1＝0，即 x2＋x－2＝0.
解得 2021/12/10 x1＝1，x2＝－2.
第二十四页，共二十七页。
小结(xiǎojié)
∵x<1，故 x＝1 舍去，∴x＝－2 是原方程的解． 综上所述，原方程的解为 x1＝1，x2＝－2. 解方程：x2＋2|x＋2|－4＝0.
3 ∴符合条件的 m 的值为2.
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第十三页，共二十七页。
小结(xiǎojié)
10．已知关于 x 的一元二次方程 x2＋(2m＋2)x＋m2－4＝0 有两个不
相等的实数根．
(1)求 m 的取值范围； (2)若 m 为负整数，且该方程的两个根都是整数，求 m 的值．
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解：(1)∵原方程有两个实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4(m－1)≥0， 整理，得 4－4m＋4≥0，解得 m≤2. (2)∵x1＋x2＝2，x1x2＝m－1，x12＋x22＝6x1x2，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝6x1x2， 即 4＝8(m－1)，解得 m＝32. ∵m＝32＜2，
A．m≥0
B．m＞0
C．m≥0 且 m≠1
D．m＞0 且 m≠1
【解析】∵关于 x 的一元二次方程(m－1)x2－2x－1＝0 有两个实数根， ∴m－1≠0 且Δ≥0，即(－2)2－4×(m－1)×(－1)≥0，
解得 m≥0 且 m≠1，∴m 的取值范围是 m≥0 且 m≠1.故选 C.
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第十六页，共二十七页。
小结(xiǎojié)
12．2017·无锡 某商店今年 1 月份的销售额是 2 万元，3 月份的销 售额是 4.5 万元，从 1 月份到 3 月份，该店销售额平均每月的增长率是 (C )
A．20% B．25% C．50% D．62.5%
【解析】设该店销售额平均每月的增长率是 x. 根据题意，得 2(1＋x)2＝4.5，即(1＋x)2＝2.25， ∴1＋x＝±1.5，∴x1＝0.5＝50%，x2＝－2.5(不合题意，舍去)， ∴该店销售额平均每月的增长率是 50%.
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8．2017·盐城 若方程 x2－4x＋1＝0 的两个根是 x1，x2，则 x1(1＋x2)＋x2 的值为___5_____．
【解析】x1(1＋x2)＋x2＝x1＋x1x2＋x2＝x1＋x2＋x1x2.由一元二次方程的根与系 数的关系可知，x1＋x2＝4，x1x2＝1，所以 x1(1＋x2)＋x2＝4＋1＝5.
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第十一页，共二十七页。
小结(xiǎojié)
9．2016·孝感 已知关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋m－1＝0 有两个实数根 x1，x2.
(1)求 m 的取值范围； (2)当 x12＋x22＝6x1x2 时，求 m 的值．
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第十二页，共二十七页。
小结(xiǎojié)
根，则该三角形的面积是( B )
A．24 B．24 或 30
C．48
D．30
【解析】解方程 x2－16x＋60＝0，得 x1＝6，x2＝10.当直角三角形的两条直 角边长分别是 6 和 10 时，三角形的面积是 30；当直角三角形的一条直角边长和 斜边长分别是 6 和 10 时，根据勾股定理得另一条直角边长是 8，此时三角形的面 积是 24.
(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会 减少 4 件．若生产的某档次产品一天的总利润为 1080 元，该烘焙店 生产的是第几档次的产品？
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第十八页，共二十七页。
小结(xiǎojié)
解：(1)设此批次蛋糕属于第 x 档次产品，则 10＋2(x－1)＝14，解得 x＝3. 答：此批次蛋糕属于第 3 档次产品． (2)设该烘焙店生产的是第 y 档次的产品，根据题意，得 [10＋2(y－1)][76－4(y－1)]＝1080， 解之，得 y1＝5，y2＝11(不合题意，舍去)． 答：该烘焙店生产的是第 5 档次的产品．
第二十二页，共二十七页。
小结(xiǎojié)
解：(1)设平均每次下调的百分率为 x.根据题意，得 5(1－x)2＝3.2. 解得 x＝0.2 或 x＝1.8. ∵降价的百分率不可能大于 1，∴x＝1.8 不符合题意，舍去， ∴x＝0.2＝20%. 答：平均每次下调的百分率是 20%. (2)小华选择方案一更优惠． 理由：方案一所需费用为 3.2×0.9×5000＝14400(元)； 方案二所需费用为 3.2×5000－200×5＝15000(元)． ∵14400<15000，∴小华选择方案一更优惠．
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第十九页，共二十七页。
小结(xiǎojié)
14．某单位准备将院内一块长 30 m、宽 20 m 的长方形空地建成 一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向曲折的小 道，剩余的地方种植花草，如图 21－X－1 所示，要使种植花草的面 积为 532 m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？(注：所有小道进 出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)
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图 21－X－1
第二十页，共二十七页。
小结(xiǎojié)
解：设小道进出口的宽度应为 x m．根据题意，得(30－2x)(20－x)＝532.
整理，得 x2－35x＋34＝0. 解得 x1＝1，x2＝34(不符合题意，舍去)． ∴x＝1.
答：小道进出口的宽度应为 1 m.
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第二十三页，共二十七页。
小结(xiǎojié)
类型(lèixíng)之五 数学活动
16．阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题
的解法解方程．
例：解方程 x2－|x－1|－1＝0.
解：当 x－1≥0，即 x≥1 时，|x－1|＝x－1.
原方程化为 x2－(x－1)－1＝0，即 x2－x＝0.解得 x1＝0，x2＝1. ∵x≥1，故 x＝0 舍去，∴x＝1 是原方程的解；
角形的三边关系，舍去．故选 A.
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小结(xiǎojié)
6．解方程：(1)3x2－5x－2＝0； (2)(2x－3)2＝x2； (3)3x(x－1)＝2－2x.
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第八页，共二十七页。
小结(xiǎojié)
解：(1)∵a＝3，b＝－5，c＝－2，
4．用配方法解一元二次方程 ax2＋x＋2ba2＝b2－4a42ac
B.x＋2ba2＝4a4ca－2 b2
C.x－2ba2＝b2－4a42ac
D.x－2ba2＝4a4ca－2 b2
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小结(xiǎojié)
【解析】方程 ax2＋bx＋c＝0 两边同除以 a 并移项，得 x2＋bax＝－ca. 配方，得x＋2ba2＝b2－4a42ac.
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小结(xiǎojié)
解：当 x＋2≥0，即 x≥－2 时，|x＋2|＝x＋2. 原方程化为 x2＋2(x＋2)－4＝0，即 x2＋2x＝0.解得 x1＝0，x2＝－2. ∵x≥－2，故 x1＝0，x2＝－2 均是原方程的解； 当 x＋2<0，即 x<－2 时，|x＋2|＝－(x＋2)．原方程化为 x2－2(x＋2)－4＝0， 即 x2－2x－8＝0.解得 x1＝4，x2＝－2. ∵x<－2，∴x1＝4，x2＝－2 均不是原方程的解． 综上所述，原方程的解为 x1＝0，x2＝－2.
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小结(xiǎojié)
15.菜农李伟种植的某种蔬菜计划以每千克 5 元的价格对外批发销 售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售， 减少损失，对价格进行两次下调后，以每千克 3.2 元的单价对外批发销 售．
(1)求平均每次下调的百分率． (2)小华准备到李伟处购买 5 吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给 予以下两种优惠方案以供选择： 方案一：打九折销售； 方案二：不打折，每吨优惠现金 200 元． 2021/1小2/10华选择哪种方案更优惠？请说明理由．
第二十一章 一元二次方程
小结(xiǎojié)
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小结
(xiǎojié)
类型(lèixíng)之一 一元二次方程的有关概念
1．2017·江汉区校级模拟 若方程(m－2)x2＋3mx＋1＝0 是关
于 x 的一元二次方程，则( D )
A．m≠±2 B．m＝2
C．m＝－2 D．m≠2
当 m＝－2 时，方程为 x2－2x＝0，它的根为 x1＝0，x2＝2，都是整数，符合
题意．
综上所述，m＝－2.
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小结(xiǎojié)
类型(lèixíng)之四 用一元二次方程解决实际问题
11．直角三角形的两边长分别是一元二次方程 x2－16x＋60＝0 的两
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13．2017·眉山 东坡区某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次， 第一档次(即最低档次)的产品每天生产 76 件，每件利润 10 元．经调 查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加 2 元．
(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为 14 元，此批次蛋糕属于第几 档次产品？
【解析】由题意得 m－2≠0，解得 m≠2.
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2．已知关于 x 的一元二次方程(k＋4)x2＋3x＋k2＋3k－4＝0 的 一个根为 0，求 k 的值．
解：把 x＝0 代入(k＋4)x2＋3x＋k2＋3k－4＝0，得 k2＋3k－4＝0，解得 k1＝1， k2＝－4.
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解：(1)∵一元二次方程 x2＋(2m＋2)x＋m2－4＝0 有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝(2m＋2)2－4×1×(m2－4)＝8m＋20＞0，∴m＞－52.
(2)∵m 为负整数，
∴m＝－1 或－2.
当 m＝－1 时，方程为 x2－3＝0，它的根为 x1＝ 3，x2＝－ 3，均不是整数， 不符合题意，故舍去；