2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数基础知识检测 北师大版必修4.doc

2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数基础知识检测 北师大版
必修4
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题正确的是( ) A ．终边相同的角一定相等 B ．第一象限的角都是锐角 C ．锐角都是第一象限角 D ．小于90°的角都是锐角 [答案] C
[解析] 终边相同的角相差k ·360°(k ∈Z )，故A 不正确；锐角0°<α<90°，而第一象限角是指终边在第一象限的角，其中有正角、负角，包括锐角，故B 不正确；而C 正确，小于90°的角的包括锐角、负角和零角，故D 不正确．
2．已知△ABC 中，tan A ＝－5
12
，则cos A 等于( ) A ．12
13 B ．5
13 C ．－513
D ．－1213
[答案] D
[解析] ∵tan A ＝－512，∴A ∈(π
2，π)．由⎩⎪⎨⎪⎧
sin 2
A ＋cos 2
A ＝1，sin A cos A ＝－5
12，可得cos A ＝－12
13
.
3．如果cos(π＋A )＝－12，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＝( )
A ．－1
2
B ．12
C ．－
32
D ．
32
[答案] B
[解析] 由cos(π＋A )＝－cos A ＝－12，∴cos A ＝1
2，
∴sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋A ＝cos A ＝12.
4．已知角α是第二象限角，且|cos α2|＝－cos α2，则角α
2是( )
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
[答案] C
[解析] 由α是第二象限角知，α2是第一或第三象限角．又∵|cos α2|＝－cos α
2，∴
cos α
2
<0.
∴α
2
是第三象限角． 5．下列函数中，既是以π为周期的奇函数，又是⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2上的增函数的是( )
A ．y ＝tan x
B ．y ＝cos x
C ．y ＝tan x
2
D ．y ＝|sin x |
[答案] A
[解析] y ＝tan x 为T ＝π的奇函数，且在⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数．
6．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B ＝( )
A ．∅
B ．{α|0≤α≤π}
C ．{α|－4≤α≤4}
D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π} [答案] D
[解析] [2k π，(2k ＋1)π]∩[－4,4]在k ≥1或k ≤－2时为空集，于是，A ∩B ＝{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}．
7．若α为第二象限角，则k ·180°＋α(k ∈Z )的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第一、二象限 C ．第一、三象限 D ．第二、四象限
[答案] D
[解析] 当k 为偶数时，设k ＝2n ，n ∈Z ， 则k ·180°＋α＝n ·360°＋α为第二象限角；
当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，
则k ·180°＋α＝n ·360°＋180°＋α为第四象限角，故选D ．
8．已知函数y ＝2sin ωx (ω>0)的图像与直线y ＋2＝0相邻的两个公共点之间的距离为2π
3
，则ω的值为( ) A ．3 B ．32 C ．23 D ．13
[答案] A
[解析] 函数y ＝2sin ωx (ω>0)的最小值是－2，它与直线y ＋2＝0相邻的两个公共点之间的距离恰好为一个周期，由2πω＝2π
3
，得ω＝3.故应选A ．
9．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x <π时，f (x )＝0，则f (23π
6)
＝( )
A ．12
B ．
32 C ．0 D ．－12
[答案] A
[解析] 本题考查递归运算，诱导公式．
f (236π)＝f (176π)＋sin 176π＝f (116π)＋sin 116π＋sin 176π＝f (56π)＋sin 56π＋sin
116
π＋sin 17
6
π
＝0＋12－12＋12＝12.
10．y ＝cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫π4－x 是( )
A ．[－π，0]上的增函数
B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3
4
π，π4上的增函数
C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的增函数
D ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，54π上的增函数 [答案] B
[解析] y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4
∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，∴当函数图像向右平移π4后得到y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4在
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－34π，π4上是增函数．
11．(2015·全国卷Ⅰ理，8)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )
A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z
B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z
C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1
4，k ＋34，k ∈Z
D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z [答案] D
[解析] 由五点作图知，⎩⎪⎨⎪⎧
14ω＋φ＝π
2
，54ω＋φ＝3π
2
，解得ω＝π，φ＝π
4
，所以f (x )＝
cos(πx ＋π4)，令2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，k ∈Z ，解得2k －14＜x ＜2k ＋3
4，k ∈Z ，故单
调减区间为(2k －14，2k ＋3
4
)，k ∈Z ，故选D .
12．已知将函数y ＝sin(x －π
3
)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图像向左平移
π
3
个单位，所得函数图像的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝π
4
B ．x ＝5π3
C ．x ＝4π3
D ．x ＝π
[答案] C
[解析] 由已知得y ＝sin(x －
π3)――→横坐标伸长2倍y ＝sin(12x －π3
) y ＝
sin[12(x ＋π3)－π3]＝sin(12x －π
6
)．
令12x －π6＝k π＋π2，得x ＝2k π＋4π3(k ∈Z )，即函数的对称轴方程为x ＝2k π＋4π3(k ∈Z )．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所对的扇形面积是________． [答案] 18
[解析] ∵l ＝αR ，∴R ＝l
α
＝6.
根据扇形面积公式有S 扇＝12lR ＝1
2
×6×6＝18.
14．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为2π，且当x ∈[0，π]时f (x )＝sin x ，则f (5
3
π)＝________.
[答案]
32
[解析] 由题意可知f (53π)＝f (5
3π－2π)
＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝3
2
.
15．设f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π
2
.若f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤x <0，sin x
x <π，则
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－15
4π＝________.
[答案]
2
2
[解析] ∵T ＝
3π2，∴kT ＝k ·3π2(k ∈Z )都是y ＝f (x )的周期，∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
15π4＝
f ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－3π2＋3π4＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π4 ＝sin 3π4＝sin π4＝2
2
.
16．下列命题中，正确命题的序号是________． ①函数y ＝sin|x |不是周期函数． ②函数y ＝tan x 在定义域内是增函数． ③函数y ＝⎪
⎪⎪⎪⎪⎪cos 2x ＋12的周期是π2. ④y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋5π2是偶函数． [答案] ①④
[解析] ②中y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内是增函数，③中y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos2x ＋12的周期为π.
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设tan(α＋8π
7
)＝a ，
求15π
7＋α＋α－
13π
720π
7
－α－
α＋
22π
7
的值．
[解析] 原式＝
s
π＋8π
7＋α＋
α＋8π
7－3
π
π－8π
7－α－
α＋8π
7
＋2
π
＝－8π7＋α－α＋
8π
7－
8π7＋α－
α＋
8
π7
＝
8π7＋α＋3
8π7
＋α＋1
＝a ＋3a ＋1. 18．(本小题满分12分)已知cos(π6－α)＝33，求cos(5π6＋α)－2sin(4π
3＋α)．
[解析] cos(5π6＋α)－2sin(4π
3
＋α)
＝cos[π－(π6－α)]－2sin[π＋π2－(π
6－α)]
＝－cos(π6－α)＋2cos(π
6
－α)
＝cos(π6－α)＝33
.
19．(本小题满分12分)求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，当x ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－π3，53π时函数的最大值
与最小值．
[解析] 当x ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－π3，53π时，
12x －π6∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π3，23π，令t ＝12x －π6
， ∵y ＝2sin t 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π3，23π上的单调性为在－π3，π2上增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，23π上减．
∴当12x －π6＝－π3即x ＝－π3时，函数取最小值，y min ＝2sin(－π
3)＝－3，
当12x －π6＝π2即x ＝4
3
π时，函数取最大值，y max ＝2. 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋a (a 为实常数)．且当x ∈
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π12，π12时，f (x )的最大值与最小值之和为3.
(1)求实数a 的值；
(2)说明函数y ＝f (x )的图像经过怎样的变换可以得到函数y ＝sin x 的图像？ [解析] (1)依题意有f (x )＝2sin(2x ＋π
3)＋a ，
x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π12⇒2x ∈⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤－π6
，π6⇒2x ＋π3
∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π6，π2，
∴12≤sin(2x ＋π
3
)≤1， 即⎩
⎪⎨⎪⎧
f x max
＝2＋a
f x
min
＝1＋a
，∴2a ＋3＝3⇒a ＝0.
(2)由(1)知f (x )＝2sin(2x ＋
π3)．将函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图像先向右平移π
6
个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，最后把所得图像上所有点的纵坐标缩短为原来的1
2
倍(横坐标不变)，便得到函数y ＝sin x 的图像．
21．(本小题满分12分)如图，它表示电流I ＝A sin(ωt ＋φ)在一个周期内的图像．
(1)试根据图像写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；
(2)在任意一段1
100秒的时间内，电流I 有可能既取得最大值|A |，又取得最小值－A 吗？
[解析] (1)观察图像，A ＝3，
∵T ＝2(120－150)＝350，∴ω＝2πT ＝100π
3.
由ω·150＋φ＝π可解得φ＝π
3.
∴I ＝3sin(100π3t ＋π
3)．
(2)∵T ＝350>1
100，
∴不可能在任意一段
1
100
秒的时间间隔内，I 既取得最大值|A |，又取得最小值－|A |. 22．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin x
2|cos x |.
(1)判断f (x )的奇偶性；
(2)画出f (x )在[－π，π]上的简图；
(3)求f (x )的最小正周期及在[－π，π]上的单调区间． [解析] (1)∵cos x ≠0，∴x ≠k π＋π
2
(k ∈Z )．
∴函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π
2，k ∈Z ，关于原点对称，且f (－x )＝
－x 2
－x
＝
－sin x
2|cos x |＝－f (x )，
∴此函数为奇函数． (2)f (x )＝
sin x
2|cos x |
＝⎩⎪⎨
⎪⎧
22tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2，
－22tan x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π≤x <－π2或π2<x ≤π，
图像如图所示，
(3)T ＝2π，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π.。