人教版九年级数学上册 二次函数章末训练(Word版 含解析)

人教版九年级数学上册
二次函数章末训练（Word版含解析）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）
1．已知，抛物线y＝-
1
2
x2 +bx+c交y轴于点C（0,2），经过点Q（2,2）.直线y＝x+4分别交x轴、y轴于点B、A．
（1）直接填写抛物线的解析式________；
（2）如图1，点P为抛物线上一动点（不与点C重合），PO交抛物线于M，PC交AB于N，连MN.
求证：MN∥y轴；
（3）如图,2，过点A的直线交抛物线于D、E，QD、QE分别交y轴于G、H.求证：CG •CH 为定值.
【答案】（1）2
1
2
2
y x x
=-++；（2）见详解；（3）见详解．
【解析】
【分析】
（1）把点C、D代入y＝-
1
2
x2 +bx+c求解即可；
（2）分别设PM、PC的解析式，由于PM、PC与抛物线的交点分别为：M、N.，分别求出M、N的代数式即可求解；
（3）先设G、H的坐标，列出QG、GH的解析式，得出与抛物线的交点D、E的横坐标，再列出直线AE的解析式，算出它与抛物线横坐标的交点方程.运用韦达定理即可求证．【详解】
详解：（1）∵y＝-
1
2
x2 +bx+c过点C（0,2），点Q（2,2），
∴
2
1
222
2
2
b c
c
⎧
-⨯++
⎪
⎨
⎪=
⎩
＝
,
解得：12b c =⎧⎨=⎩
. ∴y=-12
x 2+x+2； （2） 设直线PM 的解析式为：y=mx ，直线PC 的解析式为：y=kx+2 由22122y kx y x x =+⎧⎪⎨=-++⎪⎩
得12
x 2+（k-1）x=0, 解得：120,22x x k ==-，
x p =22p x k =- 由21=22y mx y x x =⎧⎪⎨-++⎪⎩
得12
x 2+(m-1)x-2=0， ∴124b x x a
⋅=-=- 即x p•x m =-4，
∴x m =4p x -=21
k -. 由24y kx y x =+⎧⎨=+⎩
得x N =21
k -=x M , ∴MN ∥y 轴.
（3）设G （0，m ）,H （0，n ）.
设直线QG 的解析式为y kx m =+，
将点()2,2Q 代入y kx m =+
得22k m =+
22
m k -∴= ∴直线QG 的解析式为22m y x m -=
+ 同理可求直线QH 的解析式为22
n y x n -=+； 由222122m y x m y x x -⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩
得221=222
m x m x x -+-++ 解得：122,2x x m ==-
2D x m ∴=-
同理，2E x n =-
设直线AE 的解析式为：y=kx+4， 由24122y kx y x x =+⎧⎪⎨=-++⎪⎩
， 得12
x 2-(k-1)x+2=0 124b x x a
∴⋅=-
= 即x D x E =4， 即（m-2）•（n-2）=4
∴CG•CH=（2-m ）•（2-n ）=4.
2．如图，直线l ：y ＝﹣3x +3与x 轴，y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线y ＝﹣x 2+2x +b 经过点B ．
（1）该抛物线的函数解析式；
（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值； （3）在（2）的条件下，当S 取得最大值时，动点M 相应的位置记为点M '．
①写出点M '的坐标；
②将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l '，当直线l ′与直线AM '重合时停止旋转，在
旋转过程中，直线l '与线段BM '交于点C ，设点B ，M '到直线l '的距离分别为d 1，d 2，当d 1+d 2最大时，求直线l '旋转的角度（即∠BAC 的度数）．
【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）2
1525228S m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ ，258；（3）①57,24M ⎛⎫' ⎪⎝⎭
；②45° 【解析】
【分析】
（1）利用直线l 的解析式求出B 点坐标，再把B 点坐标代入二次函数解析式即可求出b 的值．
（2）设M 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3），然后根据面积关系将△ABM 的面积进行转化．
（3）①由（2）可知m ＝
52
，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值． ②可将求d 1+d 2最大值转化为求AC 的最小值．
【详解】 （1）令x ＝0代入y ＝﹣3x+3，
∴y ＝3，
∴B （0，3），
把B （0，3）代入y ＝﹣x 2+2x+b 并解得：b ＝3，
∴二次函数解析式为：y ＝﹣x 2+2x+3．
（2）令y ＝0代入y ＝﹣x 2+2x+3，
∴0＝﹣x 2+2x+3，
∴x＝﹣1或3，
∴抛物线与x轴的交点横坐标为-1和3，
∵M在抛物线上，且在第一象限内，
∴0＜m＜3，
令y＝0代入y＝﹣3x+3，
∴x＝1，
∴A的坐标为（1，0），
由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），∴S＝S四边形OAMB﹣S△AOB＝S△OBM+S△OAM﹣S△AOB
＝1
2
×m×3+
1
2
×1×（-m2+2m+3）-
1
2
×1×3
＝﹣1
2
（m﹣
5
2
）2+
25
8
，
∴当m＝5
2
时，S取得最大值
25
8
．
（3）①由（2）可知：M′的坐标为（5
2
，
7
4
）．
②设直线l′为直线l旋转任意角度的一条线段，过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，
根据题意知：d1+d2＝BF，
此时只要求出BF的最大值即可，
∵∠BFM′＝90 ，
∴点F在以BM′为直径的圆上，
设直线AM′与该圆相交于点H，
∵点C在线段BM′上，
∴F在优弧'
BM H上，
∴当F与M′重合时，
BF可取得最大值，
此时BM′⊥l1，
∵A （1，0），B （0，3），M′（52，74
）， ∴由勾股定理可求得：AB ＝10，M′B ＝
55，M′A ＝85， 过点M′作M′G ⊥AB 于点G ，
设BG ＝x ，
∴由勾股定理可得：M′B 2﹣BG 2＝M′A 2﹣AG 2， ∴8516
﹣（10﹣x ）2＝12516﹣x 2， ∴x ＝
5108， cos ∠M′BG ＝
'BG BM ＝2，∠M′BG= 45︒ 此时图像如下所示，
∵l 1∥l′，F 与M′重合，BF ⊥l 1
∴∠B M′P=∠BCA ＝90︒，
又∵∠M′BG=∠CBA= 45︒
∴∠BAC ＝45︒．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与二次函数的综合以及一次函数旋转求角度问题，正确掌握一次函数与二次函数性质及综合问题的解法是解题的关键．
3．如图1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:C y ax bx c =++与x 轴相交于,A B 两点，顶点为()0,442D AB =,(),0F m 是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点F 旋转180︒，得到新的抛物线'C ．
()1求抛物线C 的函数表达式:
()2若抛物线'C 与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，求m 的取值范围． ()3如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线'C 上的对应点P'，设M 是C 上的动点，N 是'C 上的动点，试探究四边形'PMP N 能否成为正方形？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．
【答案】()12142
y x =-+；()2222m <<()3四边形'PMP N 可以为正方形，6m = 【解析】
【分析】
（1）由题意得出A,B 坐标，并代入,,A B D 坐标利用待定系数法求出抛物线C 的函数表达式；
（2）根据题意分别求出当C '过点()0,4D 时m 的值以及当C '过点()22,0B 时m 的值，并以此进行分析求得；
（3）由题意设(),P n n ，代入解出n ，并作HK OF ⊥，PH HK ⊥于H ，利用正方形性
质以及全等三角形性质得出M 为()2,2m m --，将M 代入21: 42C y x =-
+即可求得答案.
【详解】
解：()142AB =
()
, 22,0)2,0(2A B ∴-
将,,A B D 三点代入得2 y ax bx c =++
8220.
8220.
4
a b c
a b c
c
⎧-+=
⎪⎪
++=
⎨
⎪=
⎪⎩
解得
1
2
4
a
b
c
⎧
=-
⎪
⎪
=
⎨
⎪=
⎪
⎩
2
1
4
2
y x
∴=-+；
()2如图2
1
:4
2
C y x
=-+．
关于(),0
F m对称的抛物线为
()2
1
:24
2
C y x m
'=--
当C'过点()
0,4
D时有()2
1
4024
2
m
=--
解得:2
m=
当C'过点()
2,0
B时有()2
1
02224
2
m
=-解得:22
m=
222
m
∴<<；
()3四边形'
PMP N可以为正方形
由题意设(),
P n n，
P是抛物线C第一象限上的点
2
1
4
2
n n
∴-+=
解得:12
2,2
n n
==-(舍去)即()
2,2
P
如图作HK OF
⊥，PH HK
⊥于H，
MK HK ⊥于K
四边形PMP N '为正方形
易证PHK FKM ≌
2FK HP m ∴==-
2MK HF ==
M ∴为()2,2m m --
∴将M 代入21
: 42
C y x =-+得 ()212242
m m -=--+ 解得:126,0m m ==(舍去)
∴当6m =时四边形PMP N ''为正方形.
【点睛】
本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，难度大.
4．如图1，抛物线21:C y x b =+交y 轴于()0,1A ．
（1）直接写出抛物线1C 的解析式______________．
（2）如图1，x 轴上两动点,M N 满足：m n X X n -==．若,B C （B 在C 左侧）为线段MN 上的两个动点，且满足：B 点和C 点关于直线:1l x =对称．过B 作BB x '⊥轴交1C 于B '，过C 作CC x '⊥轴交1C 于C '，连接B C ''．求B C ''的最大值（用含n 的代数式表示）．
（3）如图2，将抛物线1C 向下平移78
个单位长度得到抛物线2C ．2C 对称轴左侧的抛物线上有一点M ，其横坐标为m ．以OM 为直径作K ，记⊙K 的最高点为Q ．若Q 在直线2y x =-上，求m 的值．
【答案】（1）21y x =+；（2）1|n -；（3）14m =-或12
m =- 【解析】
【分析】
（1）将()0,1A 带入抛物线1C 解析式，求得b 的值，即可得到抛物线1C 的解析式； （2）设(),0B q ，则()2,0C q -，求()2B C ''并进行化简，由1n q -≤<且12,
q n <-得21n q -<，则当()2max B C ''⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，取min 2q q n ==-，带入()
2B C ''，即可求得()max B C ''
；
（3）依题意将抛物线1C 向下平移78
个单位长度得到抛物线2C ，求得2C 解析式，根据解析式特点设21,8M m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得到222218OM m m ⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭，由圆的特性易求得，⊙K 的最高点点Q 坐标为：2111,22
28m OM m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设Q y k =，则2111228k OM m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，化简得到22211084k m k m ⎛⎫++-= ⎪⎝
⎭，由Q 点在2y x =-上，得2Q k x m =-=-，继而得到231048m m -+=，解得14m =-或12
m =-． 【详解】
解：（1）将()0,1A 带入抛物线21:C y x b =+，得b=1，
则21:1C y x =+，
（2）设(),0B q ，则()2,0C q -，
∴()22
222(2)(2)B C q q q q ''⎡⎤=--+--⎣⎦
2204020q q =-+
()2
201q =-，
∵1n q -≤<且12,q n <-
21n q -<∴，
∴()
2max
B C ''⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，min 2q q n ==-， 即()2
2220(21)20(1)B C n n ''
=--=-，
∴()
max
1|B C n ''
=-，
（3）根据题意，将抛物线1C 向下平移7
8
个单位长度得到抛物线2C ， ∴2
21:8
C y x =+， ∴2
1,8M m m ⎛⎫+
⎪⎝
⎭
， ∴2
2
2218OM m m ⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭，
∴由圆的特性易求得，⊙K 的最高点点Q 坐标为：
2111,22
28m OM m ⎛⎫
⎛⎫++ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭， 设Q y k =，则2111228k OM m ⎛⎫
=
++ ⎪⎝⎭
， ∴2
22111428OM k m ⎡⎤
⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 化简上式得：2
2211084k m k m ⎛⎫++-= ⎪
⎝
⎭， ∵Q 点在2y x =-上，则2Q k x m =-=-， ∴k m =-为上述方程的一个解， ∴分析可知1()04k m k m ⎛⎫
+-
= ⎪⎝⎭
， 21148
m m m -=+∴，
∴2
31
048
m m -
+=， 解得：114m =-
，212m =-（经检验114m =-，212m =-是方程2
31048
m m -+=的
解），
故
1
4
m=-或
1
2
m=-．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像及性质、图像平移的性质、及二次函数与一元二次方程的综合应用、最值求法等知识．解题关键是熟练掌握二次函数的性质，充分利用数形结合的思想．
5．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2，-1)，且与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合)，过点P作PD∥y轴，交AC于点D．
(1)求该抛物线的函数关系式；
(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；
(3)在题(2)的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) y=x2﹣4x+3；(2) P1（1，0），P2（2，﹣1）；(3) F1（22，1），F2（22，1）．
【解析】
【分析】
（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的C点坐标代入上式中，即可求出抛物线的解析式；
（2）由于PD∥y轴，所以∠ADP≠90°，若△ADP是直角三角形，可考虑两种情况：
①以点P为直角顶点，此时AP⊥DP，此时P点位于x轴上（即与B点重合），由此可求出P点的坐标；
②以点A为直角顶点，易知OA=OC，则∠OAC=45°，所以OA平分∠CAP，那么此时D、P关于x轴对称，可求出直线AC的解析式，然后设D、P的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式表示出D、P的纵坐标，由于两点关于x轴对称，则纵坐标互为相反数，可据此求出P 点的坐标；
（3）很显然当P、B重合时，不能构成以A、P、E、F为顶点的四边形，因为点P、F都在抛物线上，且点P为抛物线的顶点，所以PF与x轴不平行，所以只有（2）②的一种情况
符合题意，由②知此时P 、Q 重合；假设存在符合条件的平行四边形，那么根据平行四边形的性质知：P 、F 的纵坐标互为相反数，可据此求出F 点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出F 点的坐标． 【详解】
（1）∵抛物线的顶点为Q （2，﹣1）， ∴设抛物线的解析式为y=a （x ﹣2）2﹣1， 将C （0，3）代入上式，得： 3=a （0﹣2）2﹣1，a=1；
∴y=（x ﹣2）2﹣1，即y=x 2﹣4x+3； （2）分两种情况：
①当点P 1为直角顶点时，点P 1与点B 重合； 令y=0，得x 2﹣4x+3=0，解得x 1=1，x 2=3； ∵点A 在点B 的右边， ∴B （1，0），A （3，0）； ∴P 1（1，0）；
②当点A 为△AP 2D 2的直角顶点时； ∵OA=OC ，∠AOC=90°， ∴∠OAD 2=45°；
当∠D 2AP 2=90°时，∠OAP 2=45°， ∴AO 平分∠D 2AP 2； 又∵P 2D 2∥y 轴， ∴P 2D 2⊥AO ，
∴P 2、D 2关于x 轴对称；
设直线AC 的函数关系式为y=kx+b （k≠0）． 将A （3，0），C （0，3）代入上式得：
30
3
k b b +=⎧⎨
=⎩ ， 解得1
3
k b =-⎧⎨
=⎩ ；
∴y=﹣x+3；
设D 2（x ，﹣x+3），P 2（x ，x 2﹣4x+3），
则有：（﹣x+3）+（x2﹣4x+3）=0，
即x2﹣5x+6=0；
解得x1=2，x2=3（舍去）；
∴当x=2时，y=x2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1；
∴P2的坐标为P2（2，﹣1）（即为抛物线顶点）．
∴P点坐标为P1（1，0），P2（2，﹣1）；
（3）由（2）知，当P点的坐标为P1（1，0）时，不能构成平行四边形；
当点P的坐标为P2（2，﹣1）（即顶点Q）时，
平移直线AP交x轴于点E，交抛物线于F；
∵P（2，﹣1），
∴可设F（x，1）；
∴x2﹣4x+3=1，
解得x1=2﹣2，x2=2+2；
∴符合条件的F点有两个，
即F1（2﹣2，1），F2（2+2，1）．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的解析式的确定、直角三角形的判定、平行四边形的判定与性质等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求较高，难度较大.
6．如图①抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线
上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）存在．P（﹣3
4
，
19
16
）．（3）
1
539
(,)
24
M--
2
1139 (,) 24
M-
3
521 (,) 24
M
【解析】
【分析】
（1）将A,B,C三点代入y＝ax2+bx+4求出a,b,c值，即可确定表达式；
（2）在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，构建△DCB≌△GCB，求直线BG的解析式，再求直线BG与抛物线交点坐标即为P点，
（3）根据平行四边形的对边平行且相等，利用平移的性质列出方程求解，分情况讨论.【详解】
解：如图：
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．
∴
40
16440
a b
a b
-+=
⎧
⎨
++=
⎩
解得
1
3
a
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．（2）存在．理由如下：
y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣3
2
）2+
25
4
．
∵点D（3，m）在第一象限的抛物线上，∴m＝4，∴D（3，4），∵C（0，4）
∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝45°．
连接CD，∴CD∥x轴，
∴∠DCB＝∠OBC＝45°，
∴∠DCB＝∠OCB，
在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，
再延长BG交抛物线于点P，在△DCB和△GCB中，CB＝CB，∠DCB＝∠OCB，CG＝CD，∴△DCB≌△GCB（SAS）
∴∠DBC＝∠GBC．
设直线BP解析式为y BP＝kx+b（k≠0），把G（0，1），B（4，0）代入，得
k＝﹣1
4
，b＝1，
∴BP解析式为y BP＝﹣1
4
x+1．
y BP＝﹣1
4
x+1，y＝﹣x2+3x+4
当y＝y BP时，﹣1
4
x+1＝﹣x2+3x+4，
解得x1＝﹣3
4
，x2＝4（舍去），
∴y＝19
16
，∴P（﹣
3
4
，
19
16
）．
（3）
1
539 (,)
24
M--
2
1139 (,) 24
M-
3
521 (,) 24
M理由如下，如图
B(4，0),C(0，4) ，抛物线对称轴为直线
3
2
x=，
设N(3
2
，n)，M(m, ﹣m2+3m+4)
第一种情况：当MN与BC为对边关系时，MN∥BC,MN=BC,
∴4-3
2
=0-m，∴m=
5
2
-
∴﹣m2+3m+4=
39 4 -,
∴
1
539 (,)
24
M--；
或∴0-3
2
=4-m，
∴m=11 2
∴﹣m2+3m+4=
39 4 -,
∴
2
1139 (,) 24
M-；
第二种情况：当MN 与BC 为对角线关系，MN 与BC 交点为K,则
K(2,2)，
∴32
2
2
m
∴m=
52
∴﹣m 2+3m+4=214
∴3521
(,
)24
M 综上所述，当以M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形时，点M 的坐标为
1539(,)24M -- 21139(,)24M - 3521(,)24
M .
【点睛】
本题考查二次函数与图形的综合应用，涉及待定系数法，函数图象交点坐标问题，平行四边形的性质，方程思想及分类讨论思想是解答此题的关键.
7．如图1所示，抛物线2
23
y x bx c =
++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知C 点坐标为（0，4），抛物线的顶点的横坐标为
7
2
，点P 是第四象限内抛物线上的动点，四边形OPAQ 是平行四边形，设点P 的横坐标为m ． （1）求抛物线的解析式；
（2）求使△APC 的面积为整数的P 点的个数；
（3）当点P 在抛物线上运动时，四边形OPAQ 可能是正方形吗？若可能，请求出点P 的坐标，若不可能，请说明理由；
（4）在点Q 随点P 运动的过程中，当点Q 恰好落在直线AC 上时，则称点Q 为“和谐点”，
如图（2）所示，请直接写出当Q 为“和谐点”的横坐标的值．
【答案】（1）2214433
y x x =-+；（2）9个 ；（3）33,22或44，；（4）33【解析】 【分析】
（1）抛物线与y 轴交于点C ，顶点的横坐标为
7
2
，则47
22
23
c
b ，即可求解； （2）APC ∆的面积PHA
PHC
S
S
S
，即可求解；
（3）当四边形OPAQ 是正方形时，点P 只能在x 轴的下方，此时OAP 为等腰直角三角形，设点(,)P x y ，则0x y +=，即可求解； （4）求出直线AP 的表达式为：2
(1)(6)3
y m x ，则直线OQ 的表达式为：2
(1)3
y
m x ②，联立①②求出Q 的坐标，又四边形OPAQ 是平行四边形，则AO 的中点即为PQ 的中点，即可求解． 【详解】
解：（1）抛物线与y 轴交于点C ，顶点的横坐标为7
2
，则
47
2223
c
b ，解得14
34
b c
， 故抛物线的抛物线为：2214
433
y x x =-+； （2）对于2214
433
y x x =
-+，令0y =，则1x =或6，故点B 、A 的坐标分别为(1,0)、(6,0)；
如图，过点P 作//PH y 轴交AC 于点H ，
设直线AC 的表达式为：y kx b =+ 由点A （6，0）、C （0，4）的坐标得460
b k
b
，解得
423
b k
， ∴直线AC 的表达式为：2
43
y x =-+①， 设点2
2
14(,4)3
3
P x x x ，则点2(,
4)3
H x x ，
APC ∆的面积
2
21
12214
6(4
4)212(16)223
33
PHA
PHC
S
S
S
PH OA x x x x x
，
当1x =时，10S =，当6x =时，0S =， 故使APC ∆的面积为整数的P 点的个数为9个；
（3）当四边形OPAQ 是正方形时，点P 只能在x 轴的下方， 此时OAP 为等腰直角三角形，设点(,)P x y ，则0x y +=， 即22144
3
3
y
x x x ，解得：3
2
x =
或4， 故点P 的坐标为3
(2，
3
)2
或(4,4)-； （4）设点2
2
14(,4)3
3
P m m m ，为点(6,0)A ，
设直线AP 的表达式为：y kx t =+，
由点A ，P 的坐标可得
2602144
3
3
k
t km
t m m ，解之得：
2
(1)3
26(1)
3
k
m t
m
∴直线AP 的表达式为：2
(1)(6)3
y
m x ， //AP OQ ，则AP 和OQ 表达式中的k 值相同，
故直线OQ 的表达式为：2
(1)3
y
m x ②，
联立①②得：
2
(1)
3
2
4
3
y m x
y x
，解得：
4
4
6
m
m
y
x
，
则点
6
(Q
m
，
4
4)
m
，
四边形OPAQ是平行四边形，则AO的中点即为PQ的中点，
如图2，作QC x
⊥轴于点C，PD x
⊥轴于点D，
∴OC AD
=,
则有，
6
6
m
m
，解得：33
m，
经检验，33
m是原分式方程得跟，
则
6
33
m
，
故Q的横坐标的值为33
±．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形正方形的性质、面积的计算等，能熟练应用相关性质是解题的关键．
8．如图，直线3
y x与x轴、y轴分别交于点A，C，经过A，C两点的抛物线2
y ax bx c
=++与x轴的负半轴的另一交点为B，且tan3
CBO
∠=
（1）求该抛物线的解析式及抛物线顶点D的坐标；
（2）点P是射线BD上一点，问是否存在以点P，A，B为顶点的三角形，与ABC相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】（1）243y x x =++，顶点(2,1)D --；（2）存在，5
2,33P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
或(4,3)-- 【解析】
【分析】
（1）利用直线解析式求出点A 、C 的坐标，从而得到OA 、OC ，再根据tan ∠CBO=3求出OB ，从而得到点B 的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数解析式，整理成顶点式形式，然后写出点D 的坐标；
（2）根据点A 、B 的坐标求出AB ，判断出△AOC 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AC ，∠BAC=45°，再根据点B 、D 的坐标求出∠ABD=45°，然后分①AB 和BP 是对应边时，△ABC 和△BPA 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可；②AB 和BA 是对应边时，△ABC 和△BAP 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可．
【详解】
解：（1）令y=0，则x+3=0，
解得x=-3，
令x=0，则y=3，
∴点A （-3，0），C （0，3），
∴OA=OC=3，
∵tan ∠CBO=
3OC OB
=， ∴OB=1，
∴点B （-1，0），
把点A 、B 、C 的坐标代入抛物线解析式得， 93003a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩
，解得：143a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，
∴该抛物线的解析式为：2
43y x x =++，
∵y=x 2+4x+3=（x+2）2-1，
∴顶点(2,1)D --；
（2）∵A （-3，0），B （-1，0），
∴AB=-1-（-3）=2，
∵OA=OC ，∠AOC=90°，
∴△AOC 是等腰直角三角形，
∴
，∠BAC=45°，
∵B （-1，0），D （-2，-1），
∴∠ABD=45°，
①AB 和BP 是对应边时，△ABC ∽△BPA ，
∴AB AC
BP BA
=，
即
232
2
BP
=，
解得BP=22
3
，
过点P作PE⊥x轴于E，
则BE=PE=
2
3
×
2
2
=
2
3
，
∴OE=1+2
3=
5
3
，
∴点P的坐标为（-5
3，-
2
3
）；
②AB和BA是对应边时，△ABC∽△BAP，∴AB AC
BA BP
=，
即232
2BP =，
解得BP=32
过点P作PE⊥x轴于E，
则BE=PE=322
=3，
∴OE=1+3=4，
∴点P的坐标为（-4，-3）；
综合上述，当
52
,
33
P
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
或(4,3)
--时，以点P，A，B为顶点的三角形与ABC
∆相
似；【点睛】
本题是二次函数综合题型，主要利用了直线与坐标轴交点的求解，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，难点在于（2）要分情况讨论．
9．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +2的图象与x 轴交于A （﹣3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ．
（1）求这个二次函数的关系解析式；
（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；
【答案】（1）224233y x x =--+；（2）存在，点P 35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
，使△PAC 的面积最大；（3）存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形．Q 点坐标为：Q 1（2，3），Q 2（3，1），Q 3（﹣1，﹣1），Q 4（﹣2，1）．
【解析】
【分析】
（1）直接把点A （﹣3，0），B （1，0）代入二次函数y ＝ax 2+bx+2求出a 、b 的值即可得出抛物线的解析式；
（2）设点P 坐标为（m ，n ），则n ＝﹣23m 2﹣43
m+2，连接PO ，作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ．根据三角形的面积公式得出△PAC 的表达式，再根据二次函数求最大值的方法得出其顶点坐标即可；
（3）以BC 为边，在线段BC 两侧分别作正方形，正方形的其他四个顶点均可以使得“△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形”，因此有四个点符合题意要求，再过Q 1点作Q 1D ⊥y 轴于点D ，过点Q 2作Q 2E ⊥x 轴于点E ，根据全等三角形的判定定理得出
△Q 1CD ≌△CBO ，△CBO ≌△BQ 2E ，故可得出各点坐标．
【详解】
（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx+2过点A （﹣3，0），B （1，0），
∴093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩
2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得 ∴二次函数的关系解析式为y ＝﹣2
3x 2﹣43x+2； （2）存在．
∵如图1所示，设点P 坐标为（m ，n ），则n ＝﹣
23m 2﹣43m+2． 连接PO ，作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ．
则PM ＝﹣23m 2﹣43
m+2．，PN ＝﹣m ，AO ＝3． ∵当x ＝0时，y ＝﹣
23×0﹣43
×0+2＝2， ∴OC ＝2， ∴S △PAC ＝S △PAO +S △PCO ﹣S △ACO
＝
12AO•PM+12CO•PN ﹣12AO•CO ＝12×3×（﹣23m 2﹣43m+2）+12×2×（﹣m ）﹣12
×3×2 ＝﹣m 2﹣3m
∵a ＝﹣1＜0
∴函数S △PAC ＝﹣m 2﹣3m 有最大值
∴当m ＝﹣
2b a ＝﹣32时，S △PAC 有最大值． ∴n ＝﹣23m 2﹣43m+2＝﹣23×（﹣32）2﹣43×（﹣32）+2＝52
， ∴存在点P （﹣
32，52），使△PAC 的面积最大．
（3）如图2所示，以BC 为边在两侧作正方形BCQ 1Q 2、正方形BCQ 4Q 3，则点Q 1，Q 2，Q 3，Q 4为符合题意要求的点．过Q 1点作Q 1D ⊥y 轴于点D ，过点Q 2作Q 2E ⊥x 轴于点E ， ∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∠3+∠4＝90°，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
在△Q 1CD 与△CBO 中，
∵11324Q C BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△Q 1CD ≌△CBO ，
∴Q 1D ＝OC ＝2，CD ＝OB ＝1，
∴OD ＝OC+CD ＝3，
∴Q 1（2，3）；
同理可得Q 4（﹣2，1）；
同理可证△CBO ≌△BQ 2E ，
∴BE ＝OC ＝2，Q 2E ＝OB ＝1，
∴OE ＝OB+BE ＝1+2＝3，
∴Q 2（3，1），
同理，Q 3（﹣1，﹣1），
∴存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形．Q 点坐标为：Q 1（2，3），Q 2（3，1），Q 3（﹣1，﹣1），Q 4（﹣2，1）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，二次函数极值、全等三角形的判定与性质，正方形及等腰直角三角形的性质等知识，涉及面较广，难度较大．
10．如图，已知二次函数22(0)y ax ax c a 的图象与x 轴负半轴交于点A （-1，0），与y 轴正半轴交与点B ，顶点为P ，且OB=3OA ，一次函数y=kx+b 的图象经过A 、B ．
(1) 求一次函数解析式；
(2)求顶点P 的坐标；
(3)平移直线AB 使其过点P ，如果点Ｍ在平移后的直线上，且3tan 2OAM ∠=
，求点M 坐标；
(4)设抛物线的对称轴交x 轴与点E ，联结AP 交y 轴与点D ，若点Q 、N 分别为两线段PE 、PD 上的动点，联结QD 、QN ，请直接写出QD+QN 的最小值．
【答案】(1) 一次函数的解析式为：y=3x+3
(2)顶点P 的坐标为（1，4）
(3) M 点的坐标为：15,2(,39⎛⎫- ⎪⎝⎭或 23-
） （445【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的解析式即可得出B （0，3），根据OB=3OA ，可求出OA 的长，也就得出了A 点的坐标，然后将A 、B 的坐标代入直线AB 的解析式中，即可得出所求；
（2）将（1）得出的A 点坐标代入抛物线的解析式中，可求出a 的值，也就确定了抛物线的解析式进而可求出P 点的坐标；
（3）易求出平移后的直线的解析式，可根据此解析式设出M 点坐标（设横坐标，根据直线的解析式表示出纵坐标）．然后过M 作x 轴的垂线设垂足为E ，在构建的直角三角形AME 中，可用M 点的坐标表示出ME 和AE 的长，然后根据∠OAM 的正切值求出M 的坐标．（本题要分M 在x 轴上方和x 轴下方两种情况求解．方法一样．）
（4）作点D 关于直线x=1的对称点D′，过点D′作D′N ⊥PD 于点N ，根据垂线段最短求出QD+QN 的最小值．
【详解】
(1)∵A （-1，0）,∴OA=1
∵OB=3OA ，∴B （0，3）
∴图象过A 、B 两点的一次函数的解析式为：y=3x+3
(2)∵二次函数22(0)y ax ax c a =-+<的图象与x 轴负半轴交与点A （-1，0），与y 轴正半轴交与点B （0，3），
∴c=3,a=-1
∴二次函数的解析式为：223y x x =-++
∴抛物线223y x x =-++的顶点P （1，4）
(3)设平移后的直线的解析式为：3y x b =+
∵直线3y x b =+过P （1，4）
∴b=1
∴平移后的直线为31y x =+
∵M 在直线31y x =+，且3tan 2OAM ∠=
设M （x,3x+1）
① 当点M 在x 轴上方时，有
31312x x +=+，∴13x = ∴11,23M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
②当点M 在x 轴下方时，有31312x x +-
=+，∴59x =- ∴25(,9M - 23
-） (4)作点D 关于直线x=1的对称点D’，过点D’作D’N ⊥PD 于点N
当-x 2+2x+3=0时，解得，x=-1或x=3，
∴A （-1，0），
P 点坐标为（1，4），
则可得PD 解析式为：y=2x+2，
令x=0，可得y=2，
∴D （0，2），
∵D 与D′关于直线x=1对称，
∴D′（2，2）．
根据ND′⊥PD ，
设ND′解析式为y=kx+b ，
则k=-12，即y=-12
x+b ， 将D′（2，2）代入，得2=-
12×2+b ，解得b=3， 可得函数解析式为y=-12
x+3， 将两函数解析式组成方程组得：13222
y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩，
解得
2 5 14 5
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
故N（
214
,)
55
，
由两点间的距离公式：d=
22
21445
22
555
⎛⎫⎛⎫
-+-=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
∴所求最小值为
45
5
【点睛】
本题主要考查了一次函数解析式的确定、二次函数解析式的确定、函数图象的平移等知识点．同时考查了应用轴对称和垂线段最短解决线段和的最小值问题．。