2024年初中数学中考高频考点解答题测试卷 (210)

一、解答题
1. 如图所示，点P 是∠AOB 内部的一点，按要求完成下列各小题.
(1)分别画出点P 关于OA 、OB 的对称点分别为P 1、P 2，连接P 1P 2, 分别交OA 、OB 于点M 、N 两点.
(2)连接PM ，PN ，若P 1P 2=5cm ，则△
PMN 的周长= cm;
(3)画射线OP 1与OP 2，若∠AOB=55°，则∠P 1OP 2
= °.2. 图1，图
均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A ，B ，C 均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点
，按下列要求作图：(1)在图1中，连接
，，使；(2)在图2中，连接，
，，使．
3. 某市去年中考体育测试中，1分钟跳绳为自选项目，该市九年级共有3000名同学选考这个项目，从中随机抽取50名同学进行调查统计．根
据测试评分标准，将她们的成绩进行统计后分为
四个等级，并绘制成下面的频数分布表（注：6~7的意义为大于等于6分且小于7
分）和扇形统计图．频数分布表
等级分值跳绳（次/1分钟）频数
A 9~10
150~17048~9140~150
12B 7~8130~140
176~7120~130
C 5~6110~120
04~590~110
D 3~470~90
10~30~70
（1）求等级A 人数的百分比；
（2）求的值；
（3）请你估算出该市九年级选考1分钟跳绳项目的同学中，及格的同学有多少人？（6分以上含6分为及格）．
4. （1）在数轴上分别画出表示下列3个数的点：，，．
（2）有理数x，y在数轴上对应点如图所示：试把x，y，0，，这五个数从小到大用“<”号连接．
5. 在数学课上，同学们研究图形的拼接问题．
比如：两个全等的等腰直角三角形纸片既能拼成一个大的等腰直角三角形（如图1），也能拼成一个正方形（如图2）．
（1）现有两个相似的直角三角形纸片，各有一个角为，恰好可以拼成另一个含有30°角的直角三角形，那么在原来的两个三角形纸片
中，较大的与较小的纸片的相似比为________，请画出拼接的示意图；
（2）现有一个矩形恰好由三个各有一个角为的直角三角形纸片拼成，请你画出两种不同拼法的示意图．在拼成这个矩形的三角形中，若每种拼法中最小的三角形的斜边长为，请直接写出每种拼法中最大三角形的斜边长．
6. 已知平面内三角形和三角形关于点成中心对称，请找出点，并补全两个三角形.
7. 如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE并延长，交AC于点F．
（1）根据题意补全图形．
（2）如果AF＝1，求CF的长．
8. 在学习了反比例函数之后，某同学课外对函数y＝的图象和性质进行探究，请你帮助解决下面问题．
（1）函数y＝中自变量x的取值范围是 ；
（2）列表：
x…﹣2﹣101245678…
y…0﹣1﹣332…
请你在所给平面直角坐标系中画出函数的图象；
（3）根据图象写出函数的增减性；
（4）该函数图象的两个分支关于一个点成中心对称，这个点的坐标是 ．
9. 如图，在中，，．
(1)请用尺规作图的方法作的角平分线，交于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，求证：．
10. 作图题：（1）如图，已知∠AOB及点C、D两点，请利用直尺和圆规作一点P，使得点P到射线OA、OB的距离相等，且P点到点C、D的距离也相等．
（2）①利用方格纸画出△ABC关于直线的对称图形△A′B′C′，②判断△ABC的形状并说明理由．
11. 如图，已知⊙O，请用无刻度的直尺和圆规按要求画图（不写画法，保留作图痕迹）．
（1）图1中，若点P为⊙O外一点，请过点P作⊙O的一条切线PM（点M为切点）；
（2）图2中，若点Q为⊙O外一点，点C为优弧AB上一点，试确定点C，使得CQ平分∠ACB．
12. 如图，已知，
(1)尺规作图：作的垂直平分线交于点D；
(2)连接．若，，求的度数．
13. 某市为了增强学生体质，全面实施“学生饮用奶”营养工程．某品牌牛奶供应商提供了原味、草莓味、菠萝味、香橙味、核桃味五种口味的牛奶提供学生饮用．某中学为了了解学生对不同口味牛奶的喜好，对全校订购牛奶的学生进行了随机调查（每盒各种口味牛奶的体积相同），绘制了如图两张不完整的人数统计图：
（1）本次被调查的学生有 名；
（2）补全上面的条形统计图1；
（3）计算喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图2中所占圆心角的度数；
（4）该校共有1200名学生订购了该品牌的牛奶，牛奶供应商每天只为每名订购牛奶的学生配送一盒牛奶．要使学生每天都喝到自己喜好的口味的牛奶，牛奶供应商每天送往该校的牛奶中，草莓味要比原味多送多少盒？
14. 如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点（不与点B，C重合），过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于点F，过点D作DG⊥FC，
交FC的延长线于点G，连接FB，FD．
(1)依题意补全图形；
(2)求∠AFD的度数；
(3)用等式表示线段AF，BF，DF之间的数量关系，并证明．
15. 【定义新概念】把一个两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
【操作与发现】已知（如图）．
（1）尺规作图求作四边形，且，．（保留作图痕迹，不写作法，）
（2）以上所得四边形是平行四边形，请说明理由．
【探索与延伸】如上图，连结，记交点为，观察、分析，在该平行四边形中，辨析以下结论：
①平行四边形的两组对角分别相等（，）；
②平行四边形的两条对角线互相平分（，）；
③平行四边形中连结两条对角线，图中全等的三角形是2对；
④和的面积相等；
其中正确的有______（填写序号）．
16. 一家公司加工一批农产品，有粗加工和精加工两种方式．如果进行粗加工，每天可加工15吨；如果进行精加工，每天可加工5吨．该公司从市场上收购了农产品150吨，并用14天加工完这批农产品．根据题意，甲、乙两名同学分别列出的方程组(部分)如下：
甲：乙：
（1）根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组；
（2）求粗加工和精加工这批农产品各多少吨？
17. 如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于C，交弦AB于D．求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）．
18. 盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是 2 米与 3 米，若把这个矩形布料按照如图 1 的方式扩大到面积为原来的2 倍，设原矩形布料的一边加长a米，另一边长加长b米，可得a与b之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图像和性质进行了探究，研究过程如下：
(1)如图 2 ，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图像，并完成如下问题：
①函数的图像可由函数图像向左平移_______个单位，再向下平移_____个单位得到，其对称中心坐标为____________；
②根据该函数图像指出，当x在什么范围内变化时，．
(2)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案．
19. 如图，在平面直角坐标系中有一个，顶点，，．
(1)将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，作出平移后的；
(2)画出关于轴对称的，并写出点的坐标．
20. 中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深广。

为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校1500名学生参加的“汉字听写”大赛，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了部分学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表．请你根据表中提供的信息，解答下列问题：
成绩x/分频数频率
50≤x＜60100.05
60≤x＜70200.10
70≤x＜8030b
80≤x＜90a0.30
90≤x≤100800.40
（1）此次调查的样本容量为_____；
（2）在表中：=_____，=______；
（3）补全频数分布直方图；
（4）若成绩在80分以上（包括80分）的为“A”级，则该校参加这次比赛的1500名学生中，成绩为“A”级的约有多少人？
21. 教育部门为了解本地区中小学生参加家务劳动的情况，随机抽取本地区1200名中小学生进行问卷调查，现将调查问卷（部分）和统计结果绘制成如下不完整的统计图．现将中小学生每周参加家务劳动的时间x（h）分为5组：第一组（），第二组（），第三组（），第四组（），第五组（）．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查中，中小学生每周参加家务劳动时间不足2小时的有多少人？
(2)在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的有多少人？
(3)教育部门倡议本地区中小学生每周参加家务劳动的时间不少于2小时，结合上述统计图，请你对该地区中小学生每周参加家务劳动的情况作出评价，并提出两条合理化建议．
22. 已知一次函数
(1)在所给的平面直角坐标系中画出它的图象；
(2)根据图象回答问题：
①图象与x轴的交点坐标是___________，与y轴的交点坐标是___________．
②当x________时，．
23. 九（1）班全体同学根据自己的爱好参加了六个兴趣小组（每个学生必须参加且只参加一个），为了了解学生参加兴趣小组的情况，班主任参加各个兴趣小组的人数进行了统计，绘制成了如图不完整的扇形统计图，已知参加“足球”小组的学生有7人，请解答下列问题：
（1）九（1）班共有 名学生；
（2）若该班参加“吉他”小组与“街舞”小组的人数相同，请你计算，“吉他”小组对应扇形的圆心角的度数；
（3）若“足球”兴趣小组7个同学编号为1，2，3，4，5，6，7，把这些号码制成大小相同的号码球，放到A、B、C三个口袋中，A口袋中装有1，2，3三个号码球，B口袋中装4，5两个号码球，C口袋中装6，7两个号码球，从三个口袋中各随机取出1个球，请用列表法或树状图求取出的3个号码球都是奇数的概率．
24. 问题探究及解决：
（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形
△APD，并求出此时BP的长；
（2）有一山庄，它的平面图为如图②的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使
∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线
段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．
二、解答题25. 下面是小云设计的“利用等腰三角形和它底边的中点作菱形”的尺规作图过程．
已知：如图，在△ABC 中，，D 是AC 的中点．
求作：四边形ABCE ，使得四边形ABCE 为菱形．
作法：①作射线BD ；
②以点D 为圆心，BD 长为半径作弧，交射线BD 于点E ；
③连接AE ，CE ，则四边形ABCE 为菱形．
根据小云设计的尺规作图过程．
(1)
使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：∵点D 为AC 的中点，∴
．
又∵，
∴四边形ABCE 为平行四边形（______）（填推理的依据）．∵
，∴
为菱形（______）（填推理的依据）．
26. 某果农把自家果园的柑橘包装后放到了网上销售．原计划每天卖
箱，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表
是某个星期的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：箱）．星期
一二三四五六日
与计划量的
差值(1)根据记录的数据可知前五天共卖出______箱；
(2)本周实际销售总量达到了计划数量没有？
(3)若每箱柑橘售价为元，同时需要支出运费元/箱，那么该果农本周总共收入多少元？
27. 端午节是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”
的习俗．某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅
，豆沙馅
，花生馅
，蜜枣馅四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．请根据统计图
解答下列问题：
(1)本次参加抽样调查的居民人数是______人；
(2)求图②中表示“A”的圆心角的度数；
(3)若居民区有8000人，请估计爱吃蜜枣馅粽子的人数．
28. 为深入开展了全民进度宣传教育，某校组织了七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的竞赛成绩（满分为100分），并对竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：A．
，B．，C．，D．）．
七年级10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的成绩在组中的数据是：93，90，94．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级七年
级
八年
级
平均
数
9292
中位
数
93
众数100
方差5250.4
八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述图表中，，的值；
(2)根据以上数据，你认为哪个年级的竞赛成绩比较好？请说明理由（1条即可）；
(3)该校七、八年级共人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？
29. 临近春季，不少市民购买国画装饰屋子.某网店购进甲、乙两种国画，其中甲种国画幅，乙种国画幅，共花费元，甲种国画的
单价比乙种国画的单价高元．
(1)甲、乙两种国画的单价各是多少元？
(2)在第一批国画销售完后，该网店决定再次购进甲、乙两种国画共幅，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种国画按单价的
八折出售，乙种国画每幅降价6元出售．如果此次购买甲种国画的数量不低于乙种国画数量的一半，那么应购买多少幅甲种国画，使此次购买国画的总费用最小？最小费用是多少元？
30. 一家商店将某种服装按成本加作为标价，又以标价的折卖出，结果每件服装仍可获利元，问：
(1)这种服装每件的成本价是多少元？
(2)成本提高后的标价是多少元？
31. 福州市的市花是茉莉花．“飘香1号”茉莉花实验种植基地是边长为的正方形去掉一块边长为的正方形蓄水池后余下的部
分，“飘香2号”茉莉花实验种植基他是边长为的正方形，两块实取种植基地的茉莉花都收获了．请说明哪种茉莉花的单位面
积产量更高？
32. 某商场销售一种服装，原价卖时，该服装每日销售额为4500元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价促销．经过两轮的促销活动后，该服装每日的销售额增长至6480元，求该种服装日销售额的每轮平均增长率．
33. 某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的50％．在销售过程中发现：当销售单价为35元时，每天可售出350件，若销售单价每提高5元，则每天销售量减少50件．设销售单价为x元（销售单价不低于35元）
(1)求这种儿童玩具每天获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；
(2)当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
34. 已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求此反比例函数的关系式；
(2)当时，求电阻R的值．
35. 田忌赛马的故事为我们熟知，小亮与小齐学习概率初步知识后设计了如下游戏：小亮手中有方块10，8，6三张扑克牌，小齐手中有方块9，7，5三张扑克牌，每人从各自手中取出一张牌进行比较，数字大的为本“局”获胜，每次取的牌不能放回．若每人随机取手中的一张牌进行比赛，求小齐本“局”获胜的概率．
36. 某校七年级六个班组织举办了“废纸回收，变废为宝”活动，各班收集的废纸均以5千克为标准，超过的记为“”，不足的记为“”，一班到五班收集的废纸质量分别是，，，0，（单位：千克），六个班共收集了33千克的废纸．
(1)求六班收集的废纸的质量；
(2)若本次活动收集废纸质量排名前三的班级可获得荣誉称号，请计算获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量．
37. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人在相同的条件下各射击10次，射击的成绩如图所示．根据图中信息，解答下列问题：
(1)算出甲射击成绩的平均数；
(2)经计算，乙射击成绩的平均数为8，甲射击成绩的方差为1.6，请你计算出乙射击成绩的方差，并判断谁的射击成绩更加稳定．
38. 篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打场比赛，一共有多少个球队参赛．
39. 经销商用6200元一次性购买甲、乙两种纪念品共100件，已知甲、乙两种纪念品的进件和售价如下表：
种类进价（元/件）售价（元/件）
甲5090
乙70100
(1)经销商一次性购进甲，乙两种纪念品各多少件？
(2)经销商全部卖出纪念品，则获得利润是多少元？
40. 甲、乙两个工厂，去年计划总产值为360万元，结果甲厂完成了计划的112%，乙厂比原计划增加了10%，这样两厂共完成的产值为400万元，去年两厂各超额完成产值多少万元？
41. 为帮助人民应对疫情，某药厂下调药品的价格某种药品经过连续两次降价后，由每盒元下调至元，已知每次下降的百分率相同．
（1）求这种药品每次降价的百分率是多少？
（2）已知这种药品的成本为元，若按此降价幅度再一次降价，药厂是否亏本？
42. 某种活期储蓄的月利率是0.06%，存入100元本金，求本息和y（本金与利息的和，单位：元）随所存月数x变化的函教解析式，并计算存期为4个月时的本息和．
43. 某书城新购进一批图书，先清点整理，再对外销售．
(1)工人甲花了3个小时清点整理完这批图书的一半，工人乙再加入清点整理另一半图书的工作，两名工人合作1.2小时清点整理完另一半图书，若由工人乙单独清点整理这批图书需要几个小时？
(2)在销售过程中，书城发现，该批图书每套在成本的基础上提高40元销售时，平均每周可以售出20套．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，发现每套售价每降低1元，平均每周可以多售出2套．并且，为了积极响应习总书记提出的“要提倡多读书，建设书香社会，不断提升人民思想境界、增强人民精神力量”的号召，书城决定，每售出该批图书一套，就向当地的读书会捐赠5元用于推广全民阅读，当该批图书每套降价多少元时，书城每周销售该批图书的利润为900元？
44. 某校九年级举行英语演讲比赛，派了两位老师去学校附件的超市购买笔记本作为奖品．经过了解得知，该超市的A，B两种笔记本的价格分别是12元和8元，他们准备购买这两种笔记本共30本．
（1）如果他们计划用300元购买奖品，那么能买这两种笔记本各多少本？
（2）两位老师根据演讲比赛的设奖情况，决定所购买的A种笔记本的数量要少于B种笔记本数量的，但又不少于B种笔记本数量的，如果设他们买A种笔记本n本，买这两种笔记本共花费w元．
①请写出w（元）关于n（本）的函数关系式，并求出有哪几种购买方案？
②请你帮他们计算，购买这两种笔记本各多少时，花费最少，此时的花费是多少元？
45. 某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
（1）如果多种5棵橙子树，计算每棵橙子树的产量；
（2）如果果园橙子的总产量要达到60375个，考虑到既要成本低，又要保证树与树间的距离不能过密，那么应该多种多少棵橙子树；（3）增种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？最多为多少？
46. 仓库有水泥20吨，已知从仓库到工地的运价如下表，若从仓库运到工地的水泥为吨．
到工地到工地
仓库每吨15元每吨12元
(1)用含的代数式表示从仓库运到工地的水泥为______吨；
(2)求把全部水泥从两仓库运到两工地的总运输费（用含的代数式表示并化简）；
(3)如果从仓库运到工地的水泥为10吨．那么总运输费为多少元？
47. 近年来，宣城市不断践行德智体美劳“五育并举”目标，努力将劳动教育落到实处，某校八年级策划举行劳动技能比赛，计划购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元．根据比赛设奖情况，需购买笔记本共30本．
(1)设买A种笔记本n本，买两种笔记本的总费用为w元，求w关于n的函数表达式．
(2)在（1）的条件下，若购买A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的，但又不少于B种笔记本数量的，则购买这两种笔记本各多少时费用最少？最少的费用是多少元？
三、解答题48. 年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、
民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．现某商店推出销售吉祥物活动，已知吉祥物每件的进货价为
元，经市场调研发现，当该吉祥物的销售单价为元时，每天可销售
件；当销售单价每增加元，每天的销售数量将减少件．（销售利润销售总额进货成本）
(1)若“龙辰辰”吉祥物的销售单价为元，则当天销售量为 件；
(2)该吉祥物的当天利润有可能达到
元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．49. (本题满分8分)某小区准备新建30个停车位，停车位分为地上停车位和地下停车位．已知新建2个地上停车位和2个地下停车位共需1万元；新建3个地下停车位和4个地上停车位共需1．7万元．
(1)该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元?
(2)该小区的物业部门预计投资7．4万元至7．7万元建设停车位，问共有几种建造方案?
50. 某汽车销售公司购进，两种型号的汽车，其中购进
辆型汽车和
辆
型汽车需万元；购进
辆型汽车和
辆型汽车需万元．(1)求型和型汽车每辆的进价分别为多少万元？
(2)若该汽车销售公司每辆型汽车售价为
万元，每辆型汽车售价为
万元，该公司准备用不超过万元购进，
两种型号汽车
辆，且两种型号的汽车全部售出后总获利不低于
万元，问有哪几种购车方案？在几种方案中，该汽车销售公司将这些汽车全部售出后，
分别获利多少万元？
51. 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，延长AC 到D ，使得CD=CB ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，交BC 于F ．求证：AB=DF
．
52. 在一个边长为a （单位：cm ）的正方形ABCD 中
.
（1）如图1，如果N 是AD 中点，F 为AB 中点，连接DF ，CN.
①求证：DF=CN ；
②连接AC.求DH:HE: EF 的值；
（2）如图2，如果点E 、M 分别是线段AC 、CD 上的动点，假设点E 从点A 出发，以cm/s 速度沿AC 向点C 运动，同时点M 从点C 出发，以1cm/s 的速度沿CD 向点D 运动，运动时间为t （t ＞0），连结DE 并延长交正方形的边于点F ，过点M 作MN ⊥DF 于H ，交AD 于N.判断命题“当点F 是边AB 中点时，则点M 是边CD 的三等分点”的真假，并说明理由.
53. 如图，E 、F 分别是矩形ABCD 的边 BC 、AD 上的点，且BE = DF
．
（1）求证：四边形 AECF 是平行四边形；
（2）若四边形 AECF 是菱形，且 CE = 10，AB = 8，求线段BE 的长．
54. 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AB=4，BC=3，过点B 作BE ⊥CD 于E ，连结AE ，∠AEB=60°，F 为AE 上一点，且∠BFE=∠C.
(1)求证：△ABF∽△EAD；
(2)求BF的长
55. 如图，在正方形中，，动点从点出发，以每秒2个单位的速度，沿线段方向匀速运动，到达点停止．连接交
于点，以为直径作⊙交于点，连接、．
(1)求证：为等腰直角三角形；
(2)若点的运动时间为秒．
①当为何值时，点恰好为的一个三等分点；
②将沿翻折，得到，当点恰好落在上时，求的值．
56. 如图，是的直径，为上一点，过点的切线交延长线于点，，垂足为，交于点．
(1)求证：平分；
(2)若点E是弧的中点，，求的半径．
57. (1)如图1，在中，，，点，在边上且不与点，重合，，猜想，，之
间的数量关系并说明理由．
(2)如图2，在中，，，点，在边上且不与点，重合，，，探究
，，之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)如图3，在等边中，为内的一点，，，将绕点逆时针旋转得，连接
．若，求，的长．
58. 如图，在四边形中，，平分，，，。