江西高三高中数学月考试卷带答案解析

江西高三高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知集合，，则=（）
A．B．C．D．
2.若复数（），，且为纯虚数，则在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3.若函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为（）
A．B．
C．D．
4.偶函数满足：，且在区间与上分别递减和递增，则不等式的解集为（）
A．B．
C．D．
5.已知且，则是的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6.已知等比数列的前项和为，则的值为( )
A．B．C．D．
7.两个等差数列和,其前项和分别为,且则等于（）A．B．C．D．
8.各项互不相等的有限正项数列，集合，集合
,则集合中的元素至多有（）个. A．B．C．D．
9.在锐角三角形中，分别是内角的对边，设，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
10.已知O为△ABC的外心，，若，且，则∠B=（）A．B．C．D．
11.已知函数，若，且，使得
.则实数的取值范围是 ( )
A．B．C．D．
12.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是()
A．B．C．D．
二、填空题
1.已知,则___________.
2.在中，为上一点，且，为上一点，，则取最小值时，向量的模为______．
3.用表示不超过的最大整数，例如，，设函数，若函数的定义域是
，，则其值域中元素个数为_________．
4.在平面直角坐标系中，已知是的图象上的动点，该图象在处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的纵坐标为，则的最大值是__________．
三、解答题
1.在中，角的对边分别是，且.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
2.设各项均为正数的数列的前项和为，且满足：.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）设，求数列的前项和.
3.．已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的极值．
4.已知数列是公差不为0的等差数列，是等比数列，且
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前n项的和．
5.已知向量，，函数，. （1）若的最小值为-1，求实数的值；
（2）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值
范围；若不存在，请说明理由.
6.已知函数，，其中…是然对数底数．
（1）若函数有两个不同的极值点，，求实数的取值范围；
（2）当时，求使不等式在一切实数上恒成立的最大正整数．
江西高三高中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.已知集合，，则=（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为集合，，所以，故选D.
2.若复数（），，且为纯虚数，则在复平面内所对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】由于为纯虚数，则，得，
故，其对应的点为在第一象限，故选A.
3.若函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为函数的定义域为实数集，所以开口向上的二次函数的图象，与轴没有交点，即，即实数的取值范围为，故选D.
【方法点睛】本题考查函数的定义域、二次函数的图象与性质以及一元二次方程的根与系数的关系，属于简答题.
对于定义域为求参数的题型，主要有三种：（1）根式型，，只需；（2）对数型，，只需，（3）分式型，，只需.
4.偶函数满足：，且在区间与上分别递减和递增，则不等式
的解集为（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
求即等价于求函数在第二、四象限图形的取值范围，偶函数满足，
，且在区间与上分别递减与递增，如图可知，即函数图象位于第四象限函数图象位于第二象限，综上所述，的解集为
，故选D.
5.已知且，则是的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由
可得是的充要条件.
【考点】函数性质与充要条件.
6.已知等比数列的前项和为，则的值为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，
，故选C.
7.两个等差数列和,其前项和分别为,且则等于（）A．B．C．D．
【答案】D
【解析】.
点睛：本题主要考查等差数列前项和公式，考查等差数列的常用性质.对于等差数列的前项和公式，有两个，一个是有关和的，即，有一个是关于和的，即，要根据不同的题目所给定的条件，选择恰当的公式来计算.若，则，这个是等差数列常用的性质.
8.各项互不相等的有限正项数列，集合，集合
,则集合中的元素至多有（）个.
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】各项不相等的有限正项数列，不妨假设数列是单调递增的，集合，集合
，最多可取最多可取最多可取，集合中的元素至多有，故选A.
9.在锐角三角形中，分别是内角的对边，设，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由正弦定理得：，为锐角，即，且为锐角， ,所以，即，
，则的取值范围是，故选A.
10.已知O为△ABC的外心，，若，且，则∠B=（）A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，取中点连接，为的外心，，，同理
，，，的外接圆半径，，，，不是最大角，,故选D.
【考点】平面向量的基本定理及其意义.
【易错点睛】本题考查三角形外心的概念，考查向量的数量积的运算及计算公式，考查余弦函数的定义，以及正弦定理，三角形外接圆半径的求法，已知三角函数值求角，以及大边对大角定理.本题难点在于如何将向量的问题转化为正余弦定理问题，本题的着眼在于外接圆的半径的求法.本题涉及的知识在广，难度中等.
11.已知函数，若，且，使得
.则实数的取值范围是 ( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
令，则，由得或，由
得，在上单调递增，在上单调递减，的极大值为
，极小值为，由题意可得，函数的图象和直线有个交点，，故选C.
12.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是()
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
函数，则，令
得，函数有两个极值点，等价于有两个零点，等价于函数与的图象有两个交点，在同一坐标系中作出它们的图象（如图），当时，直线
与的图象相切，由图可知，当时，与的图象有两个交点，则实数的取值范围是，故选B.
【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值以及函数的零点与方程的根的问题，属于难题. 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象：一是转化为两个函数的图象的交点个
数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .
二、填空题
1.已知,则___________.
【答案】
【解析】,
即
，故答案为.
2.在中，为上一点，且，为上一点，，则取
最小值时，向量的模为______．
【答案】
【解析】设，
，，，，
，当即时，取最小值.所以.
【考点】向量的加减法.
【易错点睛】本题主要考查了向量的加减法运算、基本不等式等知识.由求取最小值可知本题由开始的向量
问题转化成不等式问题，可推测得由向量条件可得到的等式关系，由此可知本题不等式的考查应为基本不等式，知识点综合性是现在考查的一个大方向，学生应掌握知识的综合应用.本题考查方向明确，难度中档.
3.用表示不超过的最大整数，例如，，设函数，若函数的定义域是
，，则其值域中元素个数为_________．
【答案】
【解析】的定义域是，当时，，
，函数值有个；当时，，
，函数值有个；当时，，
，能取到，函数值有个；当时，，，能取到，函数值有个；
当时，，，能取到，函数值有
个，…当时，，，
，函数值有个，值域中元素个数为：
，故答案为.
【方法点睛】本题考查函数的值域、等差数列的求和公式以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过
给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心
读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得
以解决.本题定义一种达到考查函数值域及等差数列求和的目的.
4.在平面直角坐标系中，已知是的图象上的动点，该图象在处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的纵坐标为，则的最大值是__________．
【答案】
【解析】设切点，因，故切线的斜率，切线的方程为，令得；过点与切线垂直的直线方程为，令得，则中点的纵坐标为，因
，故当时，，函数
单调递增；故当时，，函数单调递减，故当
时，函数，应填答案。

点睛：解答本题的关键是如何建构以切点的横坐标为变量的函数。

求解时先设切点坐标为切点，然后再依据题设条件建立关于线段的中点的纵坐标为的目标函数，最后再运用导数的知识求函数的最大值，从而使得问题获解．
三、解答题
1.在中，角的对边分别是，且.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由正弦定理，可化简已知条件得，由此求得；（2）用诱导公式和降次公式，化简条件得，由于，故，由此求得，进而求得取值范围得
.
试题解析：
（1）由正弦定理可得，,从而可得
,又为三角形的内角, 所以,于是,又为三角形的内角, 因此.
（2）
,由可知,
,从而,
因此,故的取值范围为.【考点】解三角形，三角恒等变换．
2.设各项均为正数的数列的前项和为，且满足：.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）设，求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）在已知条件中，令可求的值；
（Ⅱ）由得从而解得，由
可求数列的通项公式；（Ⅲ）由题意可写出数列的通项公式，由
的通项公式的表达形式可知，其分子是等差数列，分母是等比数列，所以用错位相减法求其前项和即可. 试题解析：（Ⅰ）由可得：
，又，所以.………………3分
（Ⅱ）由可得：
，，又，所以，
∴………………5分
∴当时，，……6分
由（Ⅰ）可知，
此式对也成立，
∴……………………………7分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得………………………………8分
∴；
∴；
∴…………………………10分
∴
………………………………………………11分
∴……………………………………12分
【考点】1. 与关系；2.错位相减法求和.
3.．已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的极值．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）把代入原函数解析式中，求出函数在时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当时，，函数在定义域，上单调递增，函数无极值，当时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值. 试题解析：函数f（x）的定义域为（0，+∞），．
（1）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，，因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即
（2）由，x＞0知：
①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；
②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a，又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值，综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值．
【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数求函数的极值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程
.
4.已知数列是公差不为0的等差数列，是等比数列，且
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前n项的和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设等差数列的公差为
，等比数列的公比为，由
，可得，解出即可得出数列
和
的通项公式；（2）
，设数列
的前项和为
，则
，
，当
时，
，当
时，
，进而可得
结果.
试题解析：（1）设等差数列{a n }的公差为d≠0，等比数列{b n }的公比为q ，∵b 1=a 1=3，b 2=a 3，b 3=a 9．∴
，解得d=3，q=3．∴a n =3+3（n ﹣1）=3n ，b n =3n ．
（2）
=5n ﹣32，
设数列{c n }的前n 项和为T n ，则T n ==
，令c n ≥0，解得n≥7，∴|c n |=
，
∴当n≤6时，S n =﹣（a 1+a 2+…+a n ）=﹣T n =
，当n≥7时，S n =﹣T 6+a 7+a 8+…+a n =T n ﹣2T 6=
+174，∴数列{|c n |}的前n 项的和S n =．
5.已知向量，
，函数
， .
（1）若
的最小值为-1，求实数
的值；
（2）是否存在实数，使函数
， 有四个不同的零点？若存在，求出的取值
范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）利用向量数量积的公式化简函数 即可求出函数的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可；（2）由
得到
或
，方程
和
在
上共有四个不同的实根，，利用三角函数的性质进行求解即可.
试题解析：（1）∵，
， ∴
，
∵∴
， ，令
，
∴∵
，对称轴为
，
①当即时，当时，
∴
舍，
②当即时，当时，
∴，
③当即
是，当
时，
∴
舍， 综上，.
（2）令
，即
，
∴或，∵， 有四个不同的零点， ∴方程
和
在
上共有四个不同的实根，
∴∴∴.
6.已知函数，
，其中
…是然对数底数．
（1）若函数有两个不同的极值点，
，求实数的取值范围；
（2）当
时，求使不等式
在一切实数上恒成立的最大正整数
．
【答案】（1）；（2）14
【解析】（1）函数有两个不同的极值点，
得，
有两个不同的根
，对分类讨论：当
时，可得
在
上递减，不合题意，
，函数
在
上递减，在
上递增，只需
，解出即可得出结果；（2）当时，由题意可得：不等式
对题意恒成立，令
，令得
，利用单调性可得
，整理得
，再研究其单调性即可得出.
试题解析：（1）f′（x ）=λe x ﹣2x ，据题意得f′（x ）=λe x ﹣2x=0有两个不同的根x 1，x 2，当λ≤0时，f′（x ）=λe x ﹣2x≤0，因此f （x ）在R 上递减，不合题意，∴λ＞0，又f ″（x ）=λe x ﹣2，令f ″（x ）=0，解得，∴函数f′
（x ）=λe x ﹣2x 在
上递减，在
上递增，∴f′（x ）=λe x ﹣2x=0有两个不同的根，则
，即
，
，解得
．
（2）当λ=1时，求使不等式f （x ）＞g （x ）在一切实数上恒成立，即不等式
对任意x 恒成立，令
，∴
，令h′（x ）=0得
，∴函数h （x ）在
上递减，在
上递增，∴
，整理得
．令
，易得ϕ（μ）在（2，+∞）上递减，若μ=2e 2∈（14，15），ϕ（2e 2）=15﹣2e 2＞0，若
μ=15，
，所以满足条件的最大整数μ=14．。