邹平县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

邹平县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．下列说法正确的是（）
A．类比推理是由特殊到一般的推理
B．演绎推理是特殊到一般的推理
C．归纳推理是个别到一般的推理
D．合情推理可以作为证明的步骤
2．高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（）
A．720 B．270 C．390 D．300
3．等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a2a6=（）
A．6 B．9 C．36 D．72
4．在△ABC中，，则这个三角形一定是（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角 D．等腰或直角三角形
5．数列{a n}满足a n+2=2a n+1﹣a n，且a2014，a2016是函数f（x）=+6x﹣1的极值点，则log2
（a2000+a2012+a2018+a2030）的值是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．设函数f（x）=则不等式f（x）＞f（1）的解集是（）
A．（﹣3，1）∪（3，+∞）B．（﹣3，1）∪（2，+∞）C．（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，3）
7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S4=﹣2，S5=0，则S6=（）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．若函数
1,0,
()
(2),0,
x x
f x
f x x
+≥
⎧
=⎨
+<
⎩
则(3)
f-的值为（）
A．5 B．1-C．7-D．2 9．已知，则f{f[f（﹣2）]}的值为（）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．8
10．已知f （x ）是定义在R 上周期为2的奇函数，当x ∈（0，1）时，f （x ）=3x ﹣1，则f （log 35）=（ ） A ．
B ．﹣
C ．4
D ．
11．底面为矩形的四棱锥P -ABCD 的顶点都在球O 的表面上，且O 在底面ABCD 内，PO ⊥平面ABCD ，当四棱锥P -ABCD 的体积的最大值为18时，球O 的表面积为（ ） A ．36π B ．48π C ．60π
D ．72π
12．抛物线y=4x 2的焦点坐标是（ ）
A ．（0，1）
B ．（1，0）
C ．
D ．
二、填空题
13．若x ，y 满足线性约束条件
，则z=2x+4y 的最大值为 ．
14．设幂函数()f x kx α=的图象经过点()4,2，则k α+= ▲ ． 15．如果实数,x y 满足等式()2
2
23x y -+=，那么
y
x
的最大值是 ． 16．如图为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由 块木块堆成．
17．某种产品的加工需要 A ，B ，C ，D ，E 五道工艺，其中 A 必须在D 的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 种．（用数字作答）
18．抛物线y 2=8x 上到顶点和准线距离相等的点的坐标为 ．
三、解答题
19．已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且csinA=acosC ．
（I ）求C 的值； （Ⅱ）若c=2a ，b=2
，求△ABC 的面积．
20．双曲线C ：x 2﹣y 2=2右支上的弦AB 过右焦点F ． （1）求弦AB 的中点M 的轨迹方程
（2）是否存在以AB 为直径的圆过原点O ？若存在，求出直线AB 的斜率K 的值．若不存在，则说明理由．
21．【南师附中2017届高三模拟二】如下图扇形AOB 是一个观光区的平面示意图，其中AOB ∠为
23
π
，半径OA 为1km ，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A 到出口B 的观光道路，道路由圆弧
AC 、线段CD 及线段BD 组成．其中D 在线段OB 上，且//CD AO ，设AOC θ∠=．
（1）用θ表示CD 的长度，并写出θ的取值范围； （2）当θ为何值时，观光道路最长？
22． （本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，直线⊥AF 平面ABCD ，AB EF //，
12,2====EF AF AB AD ，点P 在棱DF 上.
（1）求证：BF AD ⊥；
（2）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （3）若FD FP 3
1
=
，求二面角C AP D --的余弦值.
23．【南师附中2017届高三模拟一】已知,a b 是正实数，设函数()()ln ,ln f x x x g x a x b ==-+. （1）设()()()h x f x g x =- ，求 ()h x 的单调区间； （2）若存在0x ，使03,45a b a b x ++⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
且()()00f x g x ≤成立，求b a 的取值范围.
24．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos（）
=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．
（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
邹平县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：因为归纳推理是由部分到整体的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；合情推理的结论不一定正确，不可以作为证明的步骤，
故选C．
【点评】本题考查合情推理与演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
2．【答案】C
解析：高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．各个班的人数有5班的3人、16班的4人、33班的5人，
首发共有1、2、2；2、1、2；2、2、1类型；
所求方案有：++=390．
故选：C．
3．【答案】D
【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，
∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴3（1+q2+q4）=21，解得q2=2．
则a2a6=9×q6=72．
故选：D．
4．【答案】A
【解析】解：∵，
又∵cosC=，
∴=，整理可得：b2=c2，
∴解得：b=c．即三角形一定为等腰三角形．
故选：A．
5．【答案】C
【解析】解：函数f（x）=+6x﹣1，可得f′（x）=x2﹣8x+6，
∵a2014，a2016是函数f（x）=+6x﹣1的极值点，
∴a2014，a2016是方程x2﹣8x+6=0的两实数根，则a2014+a2016=8．
数列{a n }中，满足a n+2=2a n+1﹣a n ， 可知{a n }为等差数列，
∴a 2014+a 2016=a 2000+a 2030，即a 2000+a 2012+a 2018+a 2030=16， 从而log 2（a 2000+a 2012+a 2018+a 2030）=log 216=4． 故选：C ．
【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键．
6． 【答案】A
【解析】解：f （1）=3，当不等式f （x ）＞f （1）即：f （x ）＞3 如果x ＜0 则 x+6＞3可得 x ＞﹣3，可得﹣3＜x ＜0． 如果 x ≥0 有x 2﹣4x+6＞3可得x ＞3或 0≤x ＜1 综上不等式的解集：（﹣3，1）∪（3，+∞） 故选A ．
7． 【答案】D 【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ，
则S 4=4a 1+d=﹣2，S 5=5a 1+d=0，
联立解得，
∴S 6=6a 1+d=3
故选：D
【点评】本题考查等差数列的求和公式，得出数列的首项和公差是解决问题的关键，属基础题．
8． 【答案】D111] 【解析】
试题分析：()()()311112f f f -=-==+=. 考点：分段函数求值． 9． 【答案】C 【解析】解：∵﹣2＜0 ∴f （﹣2）=0
∴f （f （﹣2））=f （0） ∵0=0
∴f （0）=2即f （f （﹣2））=f （0）=2
∵2＞0 ∴f （2）=22=4
即f{f[（﹣2）]}=f （f （0））=f （2）=4
故选C ．
10．【答案】B
【解析】解：∵f （x ）是定义在R 上周期为2的奇函数， ∴f （log 35）=f （log 35﹣2）=f （log 3）， ∵x ∈（0，1）时，f （x ）=3x ﹣1 ∴f （log 3）═﹣ 故选：B
11．【答案】
【解析】选A.设球O 的半径为R ，矩形ABCD 的长，宽分别为a ，b ， 则有a 2＋b 2＝4R 2≥2ab ，∴ab ≤2R 2，
又V 四棱锥P －ABCD ＝1
3
S 矩形ABCD ·PO
＝13abR ≤23R 3. ∴2
3
R 3＝18，则R ＝3， ∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝36π，选A. 12．【答案】C
【解析】解：抛物线y=4x 2的标准方程为 x 2=y ，p=，开口向上，焦点在y 轴的正半轴上，
故焦点坐标为（0，），
故选C ． 【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x 2的方程化为标准形式，是解题的
关键．
二、填空题
13．【答案】 38 ．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+4y 得y=﹣x+，
平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A 时， 直线y=﹣x+的截距最大，此时z 最大， 由
，解得
，
即A （3，8），
此时z=2×3+4×8=6+32=32， 故答案为：38
14．【答案】32
【解析】
试题分析：由题意得11,422
k α
α==⇒=∴32k α+=
考点：幂函数定义
15．【答案】3 【解析】
考点：直线与圆的位置关系的应用. 1
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、直线与圆相切的判定与应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和转化与化归的思想方
的最值转化为直线与圆相切是解答的关键，属于中档试题.
法，本题的解答中把y
x
16．【答案】4
【解析】解：由三视图可以看出此几何体由两排两列，前排有一个方块，后排左面一列有两个木块右面一列有一个，
故后排有三个，故此几何体共有4个木块组成．
故答案为：4．
17．【答案】24
【解析】解：由题意，B与C必须相邻，利用捆绑法，可得=48种方法，
因为A必须在D的前面完成，所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有48÷2=24种，
故答案为：24．
【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．
18．【答案】（1，±2）．
【解析】解：设点P坐标为（a2，a）
依题意可知抛物线的准线方程为x=﹣2
a2+2=，求得a=±2
∴点P的坐标为（1，±2）
故答案为：（1，±2）．
【点评】本题主要考查了两点间的距离公式、抛物线的简单性质，属基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（I）∵a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且csinA=acosC，
∴sinCsinA=sinAcosC，∴sinCsinA﹣sinAcosC=0，
∴sinC=cosC，∴tanC==，
由三角形内角的范围可得C=；
（Ⅱ）∵c=2a，b=2，C=，
∴由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，
∴4a2=a2+12﹣4a•，解得a=﹣1+，或a=﹣1﹣（舍去）
∴△ABC的面积S=absinC==
20．【答案】
【解析】解：（1）设M（x，y），A（x1，y1）、B（x2，y2），则x12﹣y12=2，x22﹣y22=2，两式相减可得（x1+x2）（x1﹣x2）﹣（y1+y2）（y1﹣y2）=0，
∴2x（x1﹣x2）﹣2y（y1﹣y2）=0，
∴=，
∵双曲线C：x2﹣y2=2右支上的弦AB过右焦点F（2，0），
∴，
化简可得x2﹣2x﹣y2=0，（x≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）假设存在，设A（x1，y1），B（x2，y2），l AB：y=k（x﹣2）
由已知OA⊥OB得：x1x2+y1y2=0，
∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
，
所以（k2≠1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
联立①②得：k 2+1=0无解
所以这样的圆不存在．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
21．【答案】（1）3cos sin ,0,3CD πθθθ⎛⎫
=+∈ ⎪⎝⎭
;（2）设∴当6πθ=时，()L θ取得最大值，即当6πθ=
时，观光道路最长.
【解析】试题分析：（1）在OCD ∆中，由正弦定理得：sin sin sin CD OD CO
COD DCO CDO ==
∠∠∠ 2323sin cos sin 333CD πθθθ⎛⎫
∴=-=+ ⎪⎝⎭
，23sin OD θ= 233sin 1sin 03OD OB π
θθθ<∴<∴<∴<<Q
3cos sin ,0,3CD πθθθ⎛⎫
∴=+∈ ⎪⎝⎭
（2）设观光道路长度为()L θ，
则()L BD CD AC θ=++弧的长 = 2331sin cos sin θθθθ-
+++= 3cos sin 1θθθ-++，0,3πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
∴()3
sin cos 1L θθθ=--
+' 由()0L θ'=得：3sin 6πθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭，又0,3πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
6πθ∴= 列表：
θ
0,6π⎛⎫
⎪⎝⎭
6
π ,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
()L θ'
+ 0 - ()L θ
↗
极大值
↘
∴当6
π
θ=
时，()L θ取得最大值，即当6
π
θ=
时，观光道路最长.
考点：本题考查了三角函数的实际运用
点评：对三角函数的考试问题通常有：其一是考查三角函数的性质及图象变换，尤其是三角函数的最大值与最小值、周期。

多数题型为选择题或填空题；其次是三角函数式的恒等变形。

如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等。

除在填空题和选择题出现外，解答题的中档题也经常出现这方面内容。

另外，还要注意利用三角函数解决一些应用问题 22．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查了线面垂直、线线垂直等位置关系及线线角、二面角的度量，突出考查逻辑推理能力及利用坐标系解决空间角问题，属中等难度.
（3）因为⊥AB 平面ADF ，所以平面ADF 的一个法向量)0,0,1(1=n .由3
1
=知P 为FD 的三等分点且此时)32,32,
0(P .在平面APC 中，)3
2
,32,0(=AP ，)0,2,1(=AC .所以平面APC 的一个法向量)1,1,2(2--=n .……………………10分
所以3
6
|
||||,cos |212121=
=
><n n n n ，又因为二面角C AP D --的大小为锐角，所以该二面角的余弦值为3
6
.……………………………………………………………………12分 23．【答案】（1）在0,b e ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，在,b e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）7b e a ≤<
【解析】【试题分析】（1）先对函数()()ln ln ,0,h x x x x b a x =-+∈∞求导得()'ln 1ln h x x b =+-，再解不
等式()'0h x >得b x e >求出单调增区间；解不等式()'0h x <得b
x e
<求出单调减区间；（2）先依据题设345a b a b ++<得7b a <，由（1）知()min 0h x ≤，然后分345a b b a b e ++≤≤
、4b a b e +<、35
b a b
e +>三种情形，分别研究函数()()ln ln ,0,h x x x x b a x =-+∈∞的最小值，然后建立不等式进行分类讨论进行求解出
其取值范围7b
e a
≤
<： 解：（1）()()()ln ln ,0,,'ln 1ln h x x x x b a x h x x b =-+∈∞=+-，由()'0h x >得b x e >，()'h x ∴在0,b e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，在,b e ⎛⎫
∞
⎪⎝⎭
上单调递增. （2）由345a b a b ++<
得7b
a
<，由条件得()min 0h x ≤. ①当345a b b a b e ++≤≤，即345e b e e a e ≤≤
--时，()min b b h x h a e e ⎛⎫
==-+ ⎪⎝⎭
，由0b a e -+≤得 3,5b b e
e e a a e
≥∴≤≤
-. ②当4b a b e +<时，()4,e a b h x a ->∴在3,4
5a b a b ++⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()min ln ln ln ln 4444a b a b a b a b b h x h b a b a
e ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==-+≥-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭43?3044e b b
a b e e b e --+-=>=>，矛盾，∴不成立. 由0b
a e
-+≤得.
③当35b a b e +>，即35b e a e >-时，53e a b e ->，()h x ∴在3,45a b a b ++⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，
()
min 3333
ln ln ln ln 5555
a b a b a b a b b
h x h
b a b a
e ++++
⎛
⎫⎛⎫⎛⎫
==-+≥-+
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
5
2?
22
30
553
e
b b
a b e
e b
e
-
-
--
=>=>，∴当
3
5
b e
a e
>
-
时恒成立，综上所述，7
b
e
a
≤<.
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由
从而C的直角坐标方程为
即
θ=0时，ρ=2，所以M（2，0）
（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）
N点的直角坐标为
所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，
所以直线OP的极坐标方程为，ρ∈（﹣∞，+∞）
【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．。