湖北省咸宁市咸安区2021-2022学年中考数学押题卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知一次函数y=kx+b的图象如图，那么正比例函数y=kx和反比例函数y=b
x
在同一坐标系中的图象的形状大致是
（）
A．B．
C．D．
2．如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC 的度数是（）
A．70°B．44°C．34°D．24°
3．若x＞y，则下列式子错误的是（）
A．x﹣3＞y﹣3 B．﹣3x＞﹣3y C．x+3＞y+3 D．x y > 33
4．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是A．B．C．D．
5．如图，在,//ABC DE BC ∆中，,D E 分别在边,AB AC 边上，已知
13
AD DB =，则DE
BC 的值为（ ）
A ．
1
3
B ．
14
C ．
15
D ．
25
6．《九章算术》是中国古代数学的重要著作，方程术是它的最高成就，其中记载：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。

问：牛、羊各直金几何？译文：“假设有 5 头牛、2 只羊，值金 10 两；2 头牛、5 只羊，值金 8 两。

问：每头牛、每只羊各值金多少两？” 设每头牛值金 x 两，每只羊值金 y 两，则列方程组错误的是（ ） A ．5210
258
x y x y +=⎧⎨
+=⎩
B ．5210
7718
x y x y +=⎧⎨
+=⎩
C ．7718
258
x y x y +=⎧⎨
+=⎩
D ．528
2510
x y x y +=⎧⎨
+=⎩
7．小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等．设小明打字速度为x 个/分钟，则列方程正确的是（ ） A ．
120180
6x x
=+ B ．
120180
6
x x =- C ．
120180
6
x x =+ D ．
120180
6x x
=- 8．如图，已知∠1＝∠2，要使△ABD ≌△ACD ，需从下列条件中增加一个，错误的选法是（ ）
A ．∠AD
B ＝∠AD
C B ．∠B ＝∠C C ．AB ＝AC
D ．DB ＝DC
9．对于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），定义一种运算：()()1212A B x x y y ⊕=+++．例如，A （－5，4），B （2，﹣3），
()()A B 52432⊕=-++-=-．若互不重合的四点C ，D ，E ，F ，满足C D D E E F F D ⊕=⊕=⊕=⊕，则C ，D ，E ，
F 四点【 】
A ．在同一条直线上
B ．在同一条抛物线上
C ．在同一反比例函数图象上
D ．是同一个正方形的四个顶点
10．如图：已知AB ⊥BC ，垂足为B ，AB=3.5，点P 是射线BC 上的动点，则线段AP 的长不可能是（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．5
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，若DB=4，AB=6，BE=3，则EC的长是_____．
12．如图，△ABC是直角三角形，∠C=90°，四边形ABDE是菱形且C、B、D共线，AD、BE交于点O，连接OC，若BC=3，AC=4，则tan∠OCB=_____
13．国家游泳中心“水立方”是奥运会标志性建筑之一，其工程占地面积约为62800m2，将62800用科学记数法表示为_____．
14．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=5．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为2；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+6；⑤S正方形ABCD=4+6．其中正确结论的序号是．
15．若
1
+2
3
x
x
-
-
有意义，则x的范围是_____．
16．如图，长方形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则△AFC的面积等于___．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）（1）|﹣2|+327•tan30°+（2018﹣π）0-（1
5
）-1
（2）先化简，再求值：（
2x
x x +﹣1）÷
2
2
1
21
x
x x
-
++
，其中x的值从不等式组
23
241
x
x
-≤
⎧
⎨
-
⎩＜
的整数解中选取．
18．（8分）如图1，□OABC的边OC在y轴的正半轴上，OC＝3，A(2，1)，反比例函数y＝k
x
(x＞0)的图象经过点
B．
（1）求点B的坐标和反比例函数的关系式；
（2）如图2，将线段OA延长交y＝k
x
(x＞0)的图象于点D，过B，D的直线分别交x轴、y轴于E，F两点，①求
直线BD的解析式；②求线段ED的长度．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，点A（2,1）. （1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式；
（3）在（2）所求的抛物线上，是否存在一点P，使四边形ABOP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
20．（8分）如图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点和O点都在正方形的顶点上．
以点O 为位似中心，在方格图中将△ABC 放大为原来的2倍，得到△A′B′C′；
△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A″B′C″，并求边A′B′在旋转过程中扫过的图形面积． 21．（8分）2017年10月31日，在广州举行的世界城市日全球主场活动开幕式上，住建部公布许昌成为“国家生态园林城市”在2018年植树节到来之际，许昌某中学购买了甲、乙两种树木用于绿化校园．若购买7棵甲种树和4棵乙种树需510元；购买3棵甲种树和5棵乙种树需350元． （1）求甲种树和乙种树的单价；
（2）按学校规划，准备购买甲、乙两种树共200棵，且甲种树的数量不少于乙种树的数量的1
2
，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
22．（10分）计算：﹣（﹣2）2+|﹣3|﹣20180×327 23．（12分）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
273(1)1
5(4)2
x x x x -<-⎧⎪
⎨-+≥⎪⎩①② 24．如图1，B （2m ，0），C （3m ，0）是平面直角坐标系中两点，其中m 为常数，且m ＞0，E （0，n ）为y 轴上一动点，以BC 为边在x 轴上方作矩形ABCD ，使AB=2BC ，画射线OA ，把△ADC 绕点C 逆时针旋转90°得△A′D′C′，连接ED′，抛物线2
y ax bx c =++（0a ≠）过E ，A′两点．
（1）填空：∠AOB= °，用m 表示点A′的坐标：A′（ ， ）；
（2）当抛物线的顶点为A′，抛物线与线段AB交于点P，且
1
3
BP
AP
时，△D′OE与△ABC是否相似？说明理由；
（3）若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为点M，过M作MN⊥y轴，垂足为N：
①求a，b，m满足的关系式；
②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为10，请你探究a的取值范围．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、C
【解析】
试题分析：如图所示，由一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，可得k＞1，b＜1．因此可知正比例函数y=kx
的图象经过第一、三象限，反比例函数y=b
x
的图象经过第二、四象限．综上所述，符合条件的图象是C选项．
故选C．
考点：1、反比例函数的图象；2、一次函数的图象；3、一次函数图象与系数的关系2、C
【解析】
易得△ABD为等腰三角形，根据顶角可算出底角，再用三角形外角性质可求出∠DAC 【详解】
∵AB=BD，∠B=40°，
∴∠ADB=70°，
∵∠C=36°，
∴∠DAC=∠ADB﹣∠C=34°．
故选C.
本题考查三角形的角度计算，熟练掌握三角形外角性质是解题的关键.
3、B
【解析】
根据不等式的性质在不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变即可得出答案：
A、不等式两边都减3，不等号的方向不变，正确；
B、乘以一个负数，不等号的方向改变，错误；
C、不等式两边都加3，不等号的方向不变，正确；
D、不等式两边都除以一个正数，不等号的方向不变，正确．
故选B．
4、B
【解析】
根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解.
【详解】
已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、
只有选项B的各边为1B．
【点晴】
此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.
5、B
【解析】
根据DE∥BC得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质解答．
【详解】
解：∵
1
3 AD
DB
=，
∴
1
4 AD
AB
=，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
1
4 DE AD
BC AB
==，
故选：B．
本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边的比等于相似比是解题的关键．
6、D
【解析】
由5头牛、2只羊，值金10两可得：5x+2y=10，由2头牛、5只羊，值金8两可得2x+5y=8，则7头牛、7只羊，值金18两，据此可知7x+7y=18，据此可得答案．
【详解】
解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，
由5头牛、2只羊，值金10两可得：5x+2y=10，
由2头牛、5只羊，值金8两可得2x+5y=8，
则7头牛、7只羊，值金18两，据此可知7x+7y=18，
所以方程组
528
2510
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
错误，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意找到相等关系及等式的基本性质．
7、C
【解析】
解：因为设小明打字速度为x个/分钟，所以小张打字速度为（x+6）个/分钟，根据关系：小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等，
可列方程得120180
6
x x
=
+
，
故选C．
【点睛】
本题考查列分式方程解应用题，找准题目中的等量关系，难度不大．
8、D
【解析】
由全等三角形的判定方法ASA证出△ABD≌△ACD，得出A正确；由全等三角形的判定方法AAS证出
△ABD≌△ACD，得出B正确；由全等三角形的判定方法SAS证出△ABD≌△ACD，得出C正确．由全等三角形的判定方法得出D不正确；
【详解】
A正确；理由：
在△ABD 和△ACD 中，
∵∠1=∠2，AD=AD ，∠ADB=∠ADC ， ∴△ABD ≌△ACD （ASA ）； B 正确；理由： 在△ABD 和△ACD 中， ∵∠1=∠2，∠B=∠C ，AD=AD ∴△ABD ≌△ACD （AAS ）； C 正确；理由： 在△ABD 和△ACD 中， ∵AB=AC ，∠1=∠2，AD=AD ， ∴△ABD ≌△ACD （SAS ）；
D 不正确，由这些条件不能判定三角形全等； 故选：D ． 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定方法；三角形全等的判定是中考的热点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 9、A 。

【解析】∵对于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），()()1212A B x x y y ⊕=+++， ∴如果设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），E （x 5，y 5），F （x 6，y 6）， 那么()()()()34344545C D x x y y D E x x y y ⊕=+++⊕=+++，，
()()()()56564646E F x x y y F D x x y y ⊕=+++⊕=+++，。

又∵C D D E E F F D ⊕=⊕=⊕=⊕，
∴()()()()()()()()3434454556564646x x y y x x y y x x y y x x y y +++=+++=+++=+++。

∴33445566x y x y x y x y +=+=+=+。

令33445566x y x y x y x y k +=+=+=+=，
则C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），E （x 5，y 5），F （x 6，y 6）都在直线y x k =-+上， ∴互不重合的四点C ，D ，E ，F 在同一条直线上。

故选A 。

10、A 【解析】
根据直线外一点和直线上点的连线中，垂线段最短的性质，可得答案．【详解】
解：由AB⊥BC，垂足为B，AB=3.5，点P是射线BC上的动点，得AP≥AB，
AP≥3.5，
故选：A．
【点睛】
本题考查垂线段最短的性质，解题关键是利用垂线段的性质．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、3 2
【解析】
由△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，根据平行线分线段成比例定理，可得DB：AB=BE：BC，又由DB=4，AB=6，BE=3，即可求得答案．
【详解】
解：∵DE∥AC，
∴DB：AB=BE：BC，
∵DB=4，AB=6，BE=3，
∴4：6=3：BC，
解得：BC=9
2
，
∴EC=BC﹣BE=9
2
﹣3=
3
2
．
故答案为3
2
．
【点睛】
考查了平行线分线段成比例定理，解题时注意：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
12、1 2
【解析】
利用勾股定理求出AB，再证明OC=OA=OD，推出∠OCB=∠ODC，可得tan∠OCB=tan∠ODC=AC
CD
，由此即可解
决问题.
【详解】
在Rt△ABC中，∵AC=4，BC=3，∠ACB=90°，
∴，
∵四边形ABDE是菱形，
∴AB=BD=5，OA=OD，
∴OC=OA=OD，
∴∠OCB=∠ODC，
∴tan∠OCB=tan∠ODC=AC
CD
=
41
=
3+52
，
故答案为1
2
．
【点睛】
本题考查菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
13、6.28×1．
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
62800用科学记数法表示为6.28×1．
故答案为6.28×1．
【点睛】
此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14、①③⑤
【解析】
①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；
③利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，即可证；
④连接BD ，求出△ABD 的面积，然后减去△BDP 的面积即可；
⑤在Rt △ABF 中，利用勾股定理可求AB 2，即是正方形的面积．
【详解】
①∵∠EAB +∠BAP =90°，∠PAD +∠BAP =90°，
∴∠EAB =∠PAD ，
又∵AE =AP ，AB =AD ，
∵在△APD 和△AEB 中，
AE AP EAB PAD AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△APD ≌△AEB （SAS ）；
故此选项成立；
③∵△APD ≌△AEB ，
∴∠APD =∠AEB ，
∵∠AEB =∠AEP +∠BEP ，∠APD =∠AEP +∠PAE ，
∴∠BEP =∠PAE =90°，
∴EB ⊥ED ；
故此选项成立；
②过B 作BF ⊥AE ，交AE 的延长线于F ，
∵AE =AP ，∠EAP =90°，
∴∠AEP =∠APE =45°，
又∵③中EB ⊥ED ，BF ⊥AF ，
∴∠FEB =∠FBE =45°，
又∵BE
2PE
，
∴BF =EF
= 2
故此选项不正确；
④如图，连接BD ，在Rt △AEP 中，
∵AE=AP=1，
∴EP2，
又∵PB5
∴BE3，
∵△APD≌△AEB，∴PD=BE3
∴S △ABP+S△ADP=S△ABD-S△BDP= 1
2
S正方形ABCD-
1
2
×DP×BE=
1
2
×（6）-
1
2
×33
1
2
6
故此选项不正确．
⑤∵EF=BF 6
AE=1，
∴在Rt△ABF中，AB2=（AE+EF）2+BF26，
∴S正方形ABCD=AB26，
故此选项正确．
故答案为①③⑤．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识．
15、x≤1．
【解析】
根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【详解】
依题意得：1﹣x≥0且x﹣3≠0，
解得：x≤1．
故答案是：x≤1．
【点睛】
本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数必须是非负数，分式有意义的条件是分母不等于零．
16、263
【解析】
由矩形的性质可得AB=CD=4，BC=AD=6，AD//BC ，由平行线的性质和折叠的性质可得∠DAC=∠ACE ，可得AF=CF ，
由勾股定理可求AF 的长，即可求△AFC 的面积．
【详解】 解：四边形ABCD 是矩形
AB CD 4∴==，BC AD 6==，AD//BC
DAC ACB ∠∠∴=，
折叠
ACB ACE ∠∠∴=，
DAC ACE ∠∠∴=
AF CF ∴=
在Rt CDF 中，222CF CD DF =+，
22AF 16(6AF)∴=+-，
13AF 3
∴= AFC 111326S AF CD 42233
∴=⨯⨯=⨯⨯=. 故答案为：263
. 【点睛】
本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，利用勾股定理求AF 的长是本题的关键．
三、解答题（共8题，共72分）
17、（1（1）-1
【解析】
（1）先根据根据绝对值的意义、立方根的意义、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂的意义化简，然后按照实数的运算法则计算即可；
（1）把括号里通分，把22121
x x x -++的分子、分母分解因式约分，然后把除法转化为乘法计算；然后求出不等式组的整数解，选一个使分式有意义的值代入计算即可.
【详解】
（1）原式
=1+3×3
+1﹣5
﹣5
1；
（1）原式=()()()()()2211111x x x x x x x x x x ⎡⎤+-+-÷⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦
=()2111
x x x x x --÷++ =111
x x x x -++- =﹣1x x -， 解不等式组23241
x x -≤⎧⎨-<⎩得：-1≤x 52< 则不等式组的整数解为﹣1、0、1、1，
∵x （x+1）≠0且x ﹣1≠0，
∴x≠0且x≠±1，
∴x=1，
则原式=﹣
221-=﹣1． 【点睛】
本题考查了实数的运算，分式的化简求值，不等式组的解法.熟练掌握各知识点是解答本题的关键，本题的易错点是容易忽视分式有意义的条件. 18、（1）B(2，4)，反比例函数的关系式为y ＝
8x
；（2）①直线BD 的解析式为y
＝－x ＋6；②ED ＝ 【解析】
试题分析：（1）过点A 作AP ⊥x 轴于点P ，由平行四边形的性质可得BP=4， 可得B(2，4)，把点B 坐标代入反比例函数解析式中即可；
（2）①先求出直线OA 的解析式，和反比例函数解析式联立，解方程组得到点D 的坐标，再由待定系数法求得直线
BD 的解析式； ②先求得点E 的坐标，过点D 分别作x 轴的垂线，垂足为G （4，0），由沟谷定理即可求得ED 长度. 试题解析：（1）过点A 作AP ⊥x 轴于点P ，
则AP ＝1，OP ＝2，
又∵AB ＝OC ＝3，
∴B(2，4).，
∵反比例函数y ＝
k x (x ＞0)的图象经过的B ， ∴4＝2
k ， ∴k ＝8. ∴反比例函数的关系式为y ＝
8x ； （2）①由点A （2，1）可得直线OA 的解析式为y ＝12
x ． 解方程组128y x y x
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得1142x y =⎧⎨=⎩，22
24x y =-⎧⎨=-⎩． ∵点D 在第一象限，
∴D(4，2)．
由B(2，4)，点D(4，2)可得直线BD 的解析式为y ＝－x ＋6；
②把y ＝0代入y ＝－x ＋6，解得x ＝6，
∴E(6，0)，
过点D 分别作x 轴的垂线，垂足分别为G ，则G （4，0），
由勾股定理可得：ED 22(64)(02)22-+-=.
点睛：本题考查一次函数、反比例函数、平行四边形等几何知识，综合性较强，要求学生有较强的分析问题和解决问题的能力.
19、 (1) B （-1.2）;(2) y=57x?66
x -;(3)见解析. 【解析】 （1）过A 作AC ⊥x 轴于点C ，过B 作BD ⊥x 轴于点D ，则可证明△ACO ≌△ODB ，则可求得OD 和BD 的长，可求得B 点坐标；
（2）根据A 、B 、O 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（3）由四边形ABOP 可知点P 在线段AO 的下方，过P 作PE ∥y 轴交线段OA 于点E ，可求得直线OA 解析式，设出P 点坐标，则可表示出E 点坐标，可表示出PE 的长，进一步表示出△POA 的面积，则可得到四边形ABOP 的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时P 点的坐标．
【详解】
（1）如图1，过A 作AC ⊥x 轴于点C ，过B 作BD ⊥x 轴于点D ，
∵△AOB 为等腰三角形，
∴AO=BO ，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠DOB=∠DOB+∠OBD=90°，
∴∠AOC=∠OBD ，
在△ACO 和△ODB 中
AOC OBD ACO ODB AO BO ＝＝＝∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
∴△ACO ≌△ODB （AAS ），
∵A （2，1），
∴OD=AC=1，BD=OC=2，
∴B （-1，2）；
（2）∵抛物线过O 点，
∴可设抛物线解析式为y=ax 2+bx ，
把A、B两点坐标代入可得
421
2
a b
a b
+
⎧
⎨
-
⎩
＝
＝
，解得
5
6
7
6
a
b
⎧
⎪⎪
⎨
⎪-
⎪⎩
＝
＝
，
∴经过A、B、O原点的抛物线解析式为y=5
6
x2-
7
6
x；
（3）∵四边形ABOP，
∴可知点P在线段OA的下方，
过P作PE∥y轴交AO于点E，如图2，
设直线AO解析式为y=kx，
∵A（2，1），
∴k=1
2
，
∴直线AO解析式为y=1
2
x，
设P点坐标为（t，5
6
t2-
7
6
t），则E（t，
1
2
t），
∴PE=1
2
t-（
5
6
t2-
7
6
t）=-
5
6
t2+
5
3
t=-
5
6
（t-1）2+
5
6
，
∴S△AOP=1
2
PE×2=PE═-
5
6
（t-1）2+
5
6
，
由A（2，1）可求得5
∴S△AOB=1
2
AO•BO=
5
2
，
∴S四边形ABOP=S△AOB+S△AOP=-5
6
（t-1）2+
5
6
+
5
2
=()2
510
1
63
t
--+，
∵-5
6
＜0，
∴当t=1时，四边形ABOP的面积最大，此时P点坐标为（1，-1
3），
综上可知存在使四边形ABOP的面积最大的点P，其坐标为（1，-1
3）．
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，主要涉及待定系数法、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积以及方程思想等知识．在（1）中构造三角形全等是解题的关键，在（2）中注意待定系数法的应用，在（3）中用t 表示出四边形ABOP 的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
20、（1）作图见解析；（2）作图见解析；5π（平方单位）．
【解析】
（1）连接AO 、BO 、CO 并延长到2AO 、2BO 、2CO 长度找到各点的对应点，顺次连接即可．
（2）△A′B′C′的A′、C′绕点B′顺时针旋转90°得到对应点，顺次连接即可．A′B′在旋转过程中扫过的图形面积是一个扇形，根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】
解：（1）见图中△A′B′C′
（2）见图中△A″B′C″ 扇形的面积()22901242053604S πππ=
+=⋅=（平方单位）． 【点睛】
本题主要考查了位似图形及旋转变换作图的方法及扇形的面积公式．
21、（1）甲种树的单价为50元/棵，乙种树的单价为40元/棵．（2）当购买1棵甲种树、133棵乙种树时，购买费用最低，理由见解析．
【解析】
（1）设甲种树的单价为x 元/棵，乙种树的单价为y 元/棵，根据“购买7棵甲种树和4棵乙种树需510元；购买3棵甲种树和5棵乙种树需350元”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种树a 棵，则购买乙种树（200-a ）棵，根据甲种树的数量不少于乙种树的数量的1,2
可得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出a 的取值范围，再由甲种树的单价比乙种树的单价贵，即可找出最省钱的购买方案．
【详解】
解：（1）设甲种树的单价为x 元/棵，乙种树的单价为y 元/棵，
根据题意得：
7451035350x y x y +=⎧⎨+=⎩
， 解得：5040.
x y =⎧⎨=⎩ 答：甲种树的单价为50元/棵，乙种树的单价为40元/棵．
（2）设购买甲种树a 棵，则购买乙种树（200﹣a ）棵， 根据题意得：()12002a a ≥
-， 解得：2003
a ≥， ∵a 为整数，
∴a≥1．
∵甲种树的单价比乙种树的单价贵，
∴当购买1棵甲种树、133棵乙种树时，购买费用最低．
【点睛】
一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用,读懂题目，是解题的关键.
22、﹣1
【解析】
根据乘方的意义、绝对值的性质、零指数幂的性质及立方根的定义依次计算各项后，再根据有理数的运算法则进行计算即可.
【详解】
原式=﹣1+3﹣1×
3=﹣1． 【点睛】
本题考查了乘方的意义、绝对值的性质、零指数幂的性质、立方根的定义及有理数的混合运算，熟知乘方的意义、绝对值的性质、零指数幂的性质、立方根的定义及有理数的混合运算顺序是解决问题的关键.
23、原不等式组的解集为﹣4＜x≤1，在数轴上表示见解析．
【解析】
分析：根据解一元一次不等式组的步骤，大小小大中间找，可得答案
详解：解不等式①，得x ＞﹣4，
解不等式②，得x≤1，
把不等式①②的解集在数轴上表示如图
，
原不等式组的解集为﹣4＜x≤1．
点睛：本题考查了解一元一次不等式组，利用不等式组的解集的表示方法是解题关键．
24、（1）45；（m ，﹣m ）；（2）相似；（3）①1b am =--；②
114a ≤≤． 【解析】
试题分析：（1）由B 与C 的坐标求出OB 与OC 的长，进一步表示出BC 的长，再证三角形AOB 为等腰直角三角形，即可求出所求角的度数；由旋转的性质得，即可确定出A′坐标；
（2）△D′OE ∽△ABC ．表示出A 与B 的坐标，由13
BP AP =，表示出P 坐标，由抛物线的顶点为A′，表示出抛物线解析式，把点E 坐标代入即可得到m 与n 的关系式，利用三角形相似即可得证；
（3）①当E 与原点重合时，把A 与E 坐标代入2y ax bx c =++，整理即可得到a ，b ，m 的关系式；
②抛物线与四边形ABCD 有公共点，可得出抛物线过点C 时的开口最大，过点A 时的开口最小，分两种情况考虑：若抛物线过点C （3m ，0），此时MN 的最大值为10，求出此时a 的值；若抛物线过点A （2m ，2m ），求出此时a 的值，即可确定出抛物线与四边形ABCD 有公共点时a 的范围．
试题解析：（1）∵B （2m ，0），C （3m ，0），∴OB=2m ，OC=3m ，即BC=m ，∵AB=2BC ，∴AB=2m=0B ，∵∠ABO=90°，
∴△ABO 为等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，由旋转的性质得：OD′=D′A′=m ，即A′（m ，﹣m ）；故答案为45；m ，﹣m ；
（2）△D′OE ∽△ABC ，理由如下：由已知得：A （2m ，2m ），B （2m ，0），∵
13BP AP =，∴P （2m ，12m ），∵A′为抛物线的顶点，∴设抛物线解析式为2()y a x m m =--，∵抛物线过点E （0，n ），∴2(0)n a m m =--，即m=2n ，
∴OE ：OD′=BC ：AB=1：2，∵∠EOD′=∠ABC=90°，∴△D′OE ∽△ABC ；
（3）①当点E 与点O 重合时，E （0，0），∵抛物线2
y ax bx c =++过点E ，A ，∴20{n am bm n m =++=-，整理得：1am b +=-，即1b am =--；
②∵抛物线与四边形ABCD 有公共点，∴抛物线过点C 时的开口最大，过点A 时的开口最小，若抛物线过点C （3m ，0），此时MN 的最大值为10，∴a （3m ）2﹣（1+am ）•3m=0，整理得：am=12，即抛物线解析式为21322
y x x m =-，由A （2m ，2m ），可得直线OA 解析式为y=x ，联立抛物线与直线OA 解析式得：2{1322
y x
y x x m ==-，解得：x=5m ，y=5m ，即M （5m ，5m ），令5m=10，即m=2，当m=2时，a=14
； 若抛物线过点A （2m ，2m ），则2(2)(1)22a m am m m --⋅=，解得：am=2，∵m=2，∴a=1，则抛物线与四边形ABCD
有公共点时a的范围为1
1 4
a
≤≤．
考点：1．二次函数综合题；2．压轴题；3．探究型；4．最值问题．。