2023-2024学年山东省烟台市龙口市初二下学期期末数学试卷及参考答案

2023-2024学年山东省烟台市龙口市下学期期末测试
初二数学试题 (120分钟)
一、书写与卷面（3分） 书写规范 卷面整洁
二、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号涂在答题卡上．
1.射击运动员随机射击一次，命中靶心，这个事件是 A ．必然事件 B ．不可能事件 C ．随机事件 D ．确定性事件
2.若a ＞b ，则下列各式一定成立的是 A ．a -2＜b -2
B ．ac 2＞bc 2
C ．-2a ＞-2b
D ．a +2＞b +2
3.如图，转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向的数是偶数的概率为 A
．3
1
B ．
2
1
C ．
3
2 D ．
4
3
4.如图所示，下列命题中，是假命题的是
A ．若A
B ∥EF ， 则∠4=∠B B ．若DE ∥B
C ， 则∠2=∠4
C ．若∠1=∠B ， 则∠3=∠C
D ．若∠1=∠2， 则∠2=∠4 5.如图，∠AOB 的度数可能是 A ．45°
B ．60°
第4题图
第3题图
D
A
B
C
C ．65°
D ．70°
6.不等式组⎩
⎨⎧−≥11x x ，
＜的解集在数轴上表示正确的是
7.如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为
A ．130°
B ．140°
C ．150°
D ．160°
8.如图，在△ABC 中，∠A =30°，DE 垂直平分AB ，交AB 于点D ， 交AC 于点E ，连接BE ，若BE =2，则AB 的长为
A
．3 B ．
23
C ．3
D ．4
9.如图是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大 正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的 较长直角边为a ，较短直角边为b ，则（a +b ）2的值为
A ．13
B ．19
C ．25
D ．169
10.用五个大小完全相同的长方形在直角坐标系中摆成如图所示的图案， 若点A 的坐标为（-1，5），则B 点的坐标为
A ．)311314(−−
， B ．)3
11314(，−
C ．)3
14311(，−
D ．)3
11
5(，−
三、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
第10题图
第9题图
第8题图
第7题图
11.命题“等边三角形的各个内角都等于60°”
，其逆命题是
．
12.如图，直线
y =kx +7经过点
A （-2，4），则不等式kx +7＞4的解集为 ．
13.如图是小明同学的健康码示意图，用黑白打印机打印在边长为2cm 的正方形区域内，图中黑色部分的总面积为2.4cm 2，现在向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为 ．
14.图中的小正方形的边长都相等，若△MNP ≌△MEQ ，则点Q 可能是A ，B ，C ，D 中的点 ．
15.如图，直线AB ∥CD ，∠AEF 的平分线与∠EFC 的平分线交于点P ，与CD 交于点M ，若PE=3，EF=5，则△EMF 的面积为 ．
16.已知关于x ，y 的方程组⎩
⎨⎧=+=+f dy cx e by ax ，的解为⎩⎨⎧==57y x ，（其中a ，b ，c ，d ，e ，f 都是常数），则关于m ，n 的方
程组⎩⎨⎧=++−=++−f
n m d n m c e n m b n m a )()()()(，
的解为 ．
四、解答题（本大题共9个小题，满分69分） 17.（本题满分8分）
解方程组：（1）⎩⎨⎧=−=+。

，3273y x y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=−+=+。

，
6)1(213
1
y x y x
第13题图
第12题图
第14题图
第15题图
解不等式组：⎪⎩⎪
⎨⎧−≤−++，，＜3122
1)2(325x x x x 并写出不等式组的整数解．
19.（本题满分5分）
尺规作图：（写出已知、求证，不写做法，保留作图痕迹）过直线外一点，作这条直线的垂线．
20.（本题满分5分）
如图，在△ABC 中，∠B =62°，∠BAC =76°，D 为BC 上一点，DE 交AC 于点F ，且AB =AD =DE ，连接AE ，∠E =55°．请判断△AFD 的形状，并说明理由．
21.（本题满分5分）
从背面相同的同一副扑克牌中取出9张红桃，10张黑桃，11张方块．
（1）将取出的这些牌洗匀背面朝上放在桌面上，求从中随机抽出一张是红桃的概率；
（2）若先从取出的这些牌中抽掉6张红桃和m 张黑桃后，将剩下的牌洗匀背面朝上放在桌面上，从中再随机抽出一张牌，若抽取黑桃牌的概率为3
1
，求m 的值．
如图，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，DB=DC．
（1）求证：BE=CF；
（2）若AD=10，AE=8，求四边形ACDB的面积．
23.（本题满分10分）
某商店销售A，B两种品牌书包．已知购买1个A品牌书包和2个B品牌书包共需550元；购买2个A品牌书包和1个B品牌书包共需500元．
（1）求这两种书包的单价；
（2）某校准备购买同一种品牌的书包m（m＞10）个，该商店对这两种品牌的书包给出优惠活动：A种品牌的书包按原价的八折销售；若购买B种品牌的书包10个以上，则超出部分按原价的五折销售．
①设购买A品牌书包的费用为w1元，购买B品牌书包的费用为w2元，请分别求出w1，w2与m的函数关系式；
②根据以上信息，试说明学校购买哪种品牌书包更省钱．
24.（本题满分10分）
【阅读材料】学完“全等三角形”相关内容后，小明做了这样一道题：如图1，已知△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且AE=CD．连结AD，BE交于点F．求证：△ABE≌△CAD．小明完成后，发现可以利用全等结论推出∠BFD的度数为定值．
【解决问题】（1）∠BFD的度数为；
【拓展探究】小明继续进行了如下思考：
（2）在上题中，若点D，E分别在BC，CA的延长线上，DA的延长线与BE交于点F，如图2，其他
条件不变．
①AD与BE有怎样的数量关系？
②∠BFD的度数是否仍为定值？
请你思考这两个问题，给出相应的结论并写出证明过程．
25.（本题满分14分）
如图，已知直线AB∥CD，∠CEB=100°．P是射线EB上一动点，连接CP，作∠PCF=∠PCD，交直线AB于点F，CG平分∠ECF交直线AB于点G．Q为射线CD上一点，PQ∥CE．
（1）若点F在点E的右侧，求∠PCG的度数；
（2）是否存在一点P，使∠EGC：∠EFC=4：3？若存在；请求出∠CPQ的度数；若不存在，请说明理由．
备用图
2023-2024学年山东省烟台市龙口市下学期期末测试
初二数学参考答案及评分意见
一、书写与卷面（3分）
评分标准：分别赋分3，2，1，0． 二、选择题（每小题3分，共30分）
三、填空题（每小题3分，共18分）
11.三个角都是60°的三角形是等边三角形； 12.x ＞-2；13.
53
；14.D ；15.15；16．⎩
⎨⎧−==。

，16n m
四、解答题（17-18题每小题4分，19-21题每题5分，22题8分，23-24题每题10分，25题14分， 共69分） 17.（1）
解：①+②，可得5x =10．……………………………………………………………………………………1分 解得x =2．………………………………………………………………………………………………………2分 把x =2代入①，得y =1．………………………………………………………………………………………3分
∴原方程组的解是⎩
⎨⎧==。

，
12y x ………………………………………………………………………………………4分
（2）
解：把①代入②，得2（x +1）-（
3
1
x +1）=6．………………………………………………………………1分 解得x =3．………………………………………………………………………………………………………2分 把x =3代入①，得y =2．………………………………………………………………………………………3分
∴原方程组的解是⎩
⎨⎧==。

，
23y x ……………………………………………………………………………………4分
18.
解：解不等式①，得x ＜2．…………………………………………………………………………………1分 解不等式②，得x ≥-1．………………………………………………………………………………………2分 ∴不等式组解集为-1≤x ＜2．…………………………………………………………………………………3分 ∴不等式组的整数解为-1，0，
1．……………………………………………………………………………4分 19.已知：点P 是直线l 外一点．………………………………1分 求做：PM ⊥l ，垂足为M ．………………………………………2分 作图痕迹如右图所示：……………………………………………4分 PM 就是所求做的直线．…………………………………………5分 20.解：△AFD 是直角三角形．…………………………………1分 理由如下：∵AB =AD ，
∴∠ADB =∠B =62°．…………………………………………………………………………………………2分 ∴∠BAD =180°-2×62°=56°，∠DAC =76°-56°=20°．………………………………………………3分 ∵AD =DE ，
∴∠DAE =∠E =55°，∠ADE =180°-2×55°=70°．………………………………………………………4分 ∵∠DAC +∠ADE =90°，
∴△AFD 是直角三角形．………………………………………………………………………………………5分 21.解：（1）从中随机抽出一张是红桃的概率是
10
3
309111099=
=++；……………………………………2分 （2）抽掉6张红桃和m 张黑桃后，桌面上共有9-6+10-m +11=（24-m ）张牌，其中黑桃有(10-m )张． ∴
3
1
（24-m ）=10-m ．…………………………………………………………………………………………4分 解得m =3．………………………………………………………………………………………………………5分 22.（1）证明：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
∴DE =DF ，∠DEB =∠DFC =90°．……………………………………………………………………………1分 又∵DB =DC ，
∴Rt △BED ≌Rt △CFD （HL ）．………………………………………………………………………………2分 ∴BE =CF ；………………………………………………………………………………………………………3分 （2）解：在Rt △AED 中， DE =
22AE AD −=681022=−．…………………………………………………………………………4分
∵AD =AD ，DE =DF ，
∴Rt △ADE ≌Rt △ADF （HL ）．………………………………………………………………………………5分 ∴S △ADE =S △ADF ．………………………………………………………………………………………………6分 ∵Rt △BED ≌Rt △CFD ，
∴S △BED =S △CFD ．………………………………………………………………………………………………7分 ∴四边形ACDB 的面积=S
四边形
AFDE =2S △ADE =
48682
1
2=⨯⨯⨯．……………………………………………8分 23.解：（1）设购买一个A 品牌的书包需a 元，一个B 品牌的书包需b 元，………………………………1分
由题意，得⎩⎨⎧=+=+。

，50025502b a b a ……………………………………………………………………………………3分
解得⎩
⎨⎧==。

，200150b a …………………………………………………………………………………………………4分
所以，购买一个A品牌的书包需150元，一个B品牌的书包需200元；…………………………………5分（2）①由题意，当m＞10时，w1=0.8×150m，即w1=120m；
w2=200×10+200（m-10）×0.5，即w2=100m+1000；……………………………………………………7分②当w1＜w2时，120m＜100m+1000．
解得m＜50．∴10＜m＜50．
∴当购买数量超过10个而不足50个时，购买A品牌的书包更省钱；……………………………………8分当w1=w2时，120m=100m+1000．
解得m=50．
∴当购买数量为50个时，购买两种品牌的书包花费相同；………………………………………………9分当w1＞w2时，120m＞100m+1000．
解得x＞50．
∴当购买数量超过50个时，购买B品牌的书包更省钱．…………………………………………………10分24.【解决问题】（1）60°；……………………………………………………………………………………2分【拓展探究】（2）解：①AD=BE．……………………………………………………………………………3分证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°．
∴∠BAE=∠ACD=120°．………………………………………………………………………………………4分又∵AE=CD，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；……………………………………………………………………………………5分∴AD=BE．………………………………………………………………………………………………………6分②∠BFD的度数仍为定值60°．………………………………………………………………………………7分证明：由①可知△ABE≌△ACD（SAS），∴∠E=∠D．……………………………………………………8分∵∠EAF=∠CAD，∠CAD+∠D=∠ACB=60°，
第11页（共12页）
∴∠EAF +∠E =60°．…………………………………………………………………………………………9分 ∴∠BFD =60°．………………………………………………………………………………………………10分
25.解：（1）∵AB ∥CD ，
∴∠CEB +∠ECQ =180°．……………………………………………………………………………………1分 ∵∠CEB =100°，
∴∠ECQ =80°．………………………………………………………………………………………………2分 ∵∠PCF =∠PCQ ，CG 平分∠ECF ，
∴∠PCG =∠PCF +∠FCG
=21∠QCF +2
1∠ECF=2
1∠ECQ =40°；………………………………………3分 （2）存在．……………………………………………………………………………………………………4分 理由如下：设∠EGC =4x °，∠EFC =3x °．………………5分
当点F 在点E 的右侧时，如右图．
∵AB ∥CD ，
∴∠QCG =∠EGC =4x °，∠QCF =∠EFC =3x °．
则∠GCF =∠QCG -∠QCF =4x °-3x °=x °．…………………………………………………………………6分 ∵CG 平分∠ECF ，∴∠ECG =∠GCF =x °．
∵∠PCF =∠PCD ，∴∠PCF =∠PCD =x 2
3°． ∴∠ECD=∠ECG +∠GCF +∠QCF =5x °=80°．……………………………………………………………7分 ∴x =16．
∴∠CPQ =∠ECP =x °+x °+x 23°=x 2
7°=56°；…………………………………………………………9分 （3）当点F 在点E 的左侧时，如右图．
∵∠EGC =4x °，∠EFC =3x °，
∴∠GCH =∠EGC =4x °，∠FCH =∠EFC =3x °．
第12页（共12页） ∴∠ECG =∠GCF =∠GCH -∠FCH =x °．
∵∠CGF =180°-4x °，∠GCQ =80°+x °，
∴180-4x =80+x ．
解得x =20．……………………………………………………………………………………………………11分 ∴∠FCQ =∠ECF +∠ECQ =20°×2+80°=120°．…………………………………………………………12分 ∴∠PCQ =2
1∠FCQ =60°．…………………………………………………………………………………13分 ∴∠CPQ =∠ECP =80°-60°=20°．
故∠CPQ 的度数为56°或20°．……………………………………………………………………………14分。