专题06 解密数量积的问题-2018版高人一筹之高三数学理

一、单选题
1．已知正四面体ABCD 的棱长为a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE AF ⋅的值为( )
A . a 2
B . 12a 2
C . 14a 2
D . 2 【答案】C
【解析】根据正四面体的的棱长为a ，画出图形如下：
()
()21111cos 60a 2244
AE
AF
AB AC AD a a a a →⋅→=
→+→⋅→=⋅+⋅︒= 故选C
2．已知向量AB 、AC 夹角为120︒
，且2AB =， 3AC =，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则实
数λ的值为（ ） A .
45 B . 16 C . 712 D . 25
- 【答案】C
解得712
λ=， 故选：C
3．已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D 在边BC 上，且2BD DC =，则AB AD ⋅的值为（ ）
A . 1
B . 23
C . 43
D . 1+
【答案】B 【解析】
ABC ∆是边长为1的等边三角形，且2
2,3
BD DC BD BC =∴=
， ()
2
23AB AD AB AB BD AB AB BC ∴⋅=⋅+=+
⋅ 212
111323
⎛⎫=+⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故选B . 4．已知圆O 是ΔABC 外接圆,其半径为1,且2,1AB AC AO AB +==,则·CACB
=
A .
3
2
B . 3
C .
D . 【答案】B
5．平行四边形ABCD 中， 4,2,4AB AD AB AD ==⋅=, 点P 在边CD 上，则PA PB ⋅的取值范围是（ ）
A . [-1,8]
B . [
)1,-+∞ C . [0,8] D . [-1,0] 【答案】A
【解析】∵4,2AB AD ==,4AB AD ⋅=，∴cos 4AB AD A ⨯⨯=，∴1
cos 2
A =
，A =60°， 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂线为y 轴，建立如图所示的坐标系，
∴A (0,0),B (4,0), (D ，
设(()15P x x ≤≤，∴()(,3,4,PA x PB x =--=-，
∴()()2
2
434321PA PB x x x x x ⋅=-+=-+=--，
设()()2
21f x x =--，∴()f x 在[)1,2上单调递减,在[]
2,5上单调递增，
结合二次函数的性质可知：函数的最小值为： ()21f =-，函数的最大值为()58f =， 则PA PB ⋅的取值范围是[−1,8]， 本题选择A 选项.
点睛：在利用平面向量的数量积解决平面几何中的问题时，首先要想到是否能建立平面直角坐标系，利用坐标运算题目会容易的多．
6．在直角三角形ABC 中，角C 为直角，且1AC BC ==，点P 是斜边上的一个三等分点，则
··CP CB CP CA +=（ ）
A . 0
B . 1
C . 94
D . 9
4
- 【答案】B
7．设1,2,0,OA OB OA OB OP OA OB λμ==⋅==+， 且1λμ+=， 则OA 在OP 上的投影的取值范围（ ）
A . ⎛⎤ ⎥ ⎝⎦
B . ⎤
⎥⎝⎦ C . ⎤
⎥⎝⎦ D . ⎛⎤
⎥ ⎝⎦
【答案】D
【解析】法1：因为1λμ+=，所以,,A B P 三点共线.
如图（1），当P 在,A B 之间时（含,A B 两点），OA 在OP 的投影的取值范围是[]
0,1；
如图（2），当P 在BA 的延长线上时（不含A 点），OA 在OP 的投影的取值范围是⎤
⎥⎝⎦
（当
OP 接近
于平行AB 时， OA 在OP ；
如图（3），当P 在AB 的延长线上时（不含A 点），OA 在OP 的投影的取值范围是⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭
（当OP 接
近于平行AB 时， OA 在OP 的投影的无限接近于-
）；
综上， OA 在OP 的投影的取值范围是⎛⎤ ⎥ ⎝⎦
.
点睛：处理平面向量的有关问题时，先分析题设中的向量等式是否具有明确的几何意义.本题中的向量等式蕴含三点共线，因此考虑动点的三种位置关系就可以讨论出相应的投影范围.当我们无法挖掘向量等式隐藏的几何意义时（或者根本没有几何意义），我们就从坐标的角度把向量问题转化为函数问题.
二、填空题
8．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形， E 为边BC 的中点，则AE AB ⋅=__________． 【答案】3 【
解
析
】∵E
为等边三角形
ABC
BC
的中点，
∴∠BAE =30°，
AE cos3023o AE AB AE AB ∴⋅=== 故答案为3
9．已知点P 是边长为ABC 内切圆上的一点，则PA PB ⋅的取值范围为_______. 【答案】[]
3,1-
10．在ABC ∆中， 226,AB AC BA BC BA ==⋅=，点P 是ABC ∆所在平面内一点，则当222
PA PB PC ++取得最小值时， AP BC ⋅=__________． 【答案】-9
【解析】∵2
BA BC BA ⋅=，
∴()
2
0BA BC BA BA BC BA BA AC ⋅-=⋅-=⋅=， ∴BA AC ⊥，即BA AC ⊥．
以点A 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B (6,0)，C (0,3)，设(),P x y ，
所以()()2
2
2
2
2
2
2
2
2
63PA PB PC x y x y x y ++=++-+++-
223123645x x y y =-+-+
()()22
32110x y ⎡⎤=-+-+⎣⎦
．
所以当2,1x y ==时222
PA PB PC ++有最小值，此时()()2,16,39AP BC ⋅=⋅-=-． 答案： 9-
点睛：数量积的计算有两种不同的方式，一是根据定义计算，二是用向量的坐标计算，其中用坐标进行运算可使得数量积的计算变得简单易行．在本题的解法中通过建立坐标系将数量积的最小值问题转化为函数的最值问题处理，体现了转化方法在数学解题中的应用．
11．已知,B D 是以AC 为直径的圆上的两点，且2,5AB AD ==,则AC BD ⋅的值为__________．
【答案】21
12．在△ABC 中，AB =2，AC =4，cosA =1
8
，过点A 作AM ⊥BC ，垂足为M ，若点N 满足3AM AN =，则N
AN B ⋅
=_____． 【答案】79
-
∵AC BC <，
∴cos 4
ABC ∠=
，在R t AMB ∆中，
cos 224242
BM AB ABC MA AB sin ABC =⋅∠=⨯
==⋅∠=⨯=
∵点N 满足2AM AN =， ∴214
2MN AM =
=
，
∴140,,0,,232A N B ⎛⎫⎛⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
∴1420,,NA NB ⎛⎫⎛==- ⎪ ⎝⎭⎝⎭， ∴14147
0639NA NB ⎛⋅=+-=- ⎝⎭
.
13．在平面直角坐标系中，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (1,0)，P 是x 轴上任意一点，平面上点M 满足：
PM PB CM CB ⋅≥⋅对任意P 恒成立，则点M 的轨迹方程为______．
【答案】x ＝0
14．已知菱形ABCD 的边长为2， 0
60DAB ∠=， P 是线段BD 上一点，则()
•PA PC PD +的最小值是
_____________. 【答案】258
-
【解析】以AC 所在直线为x 轴BD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图:
由题意可知()
A ， ()0,1
B -， )
C ， ()0,1
D ，设()0,P y ，则11y -<<
故()
2
•23PA PC PD y y +=--，当14y =
时取得最小值258
- 点睛：本题采用了建立平面直角坐标系的方法求向量的最小值，运用建系的方法可以直接给出各点坐标表示，设出P 点坐标，只含一个未知数，将问题转化，只要计算关于y 的一个一元二次函数的最值问题即可
15．已知正方形ABCD 的边长为2，则()
•AB AC AD +=______________. 【答案】4
【解析】∵ABCD 为正方形
∴()
cos45242
AB AC AD AB AC AB AD AB AC ⋅+=⋅+⋅=⋅︒=⨯= 故答案为4
16．在△ABC 中， ∠ABC ＝120︒，BA ＝2，BC ＝3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则BD BE ⋅的值为_____． 【答案】
119
17．若等边ABC ∆的边长为2，平面内一点M 满足11
32
CM CB CA =+，则MA MB ⋅=________. 【答案】8
9
-
【解析】由于MA ＝CA －CM ＝－113
2CB CA +， MB ＝CB －CM ＝21
32
CB CA -， 故22211
·942
MA MB CB CA CB CA ⋅=-
-+， ＝－29×22－14×22
＋12×2×2×cos 60°＝－89
.
18．已知圆C 的方程为()2
2
24x y -+=， P 是椭圆22
11612
x y +=上一点，过P 作圆的两条切线，切点为A 、B ，则PA PB ⋅的取值范围为__________．
【答案】22482129⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，
【解析】
点睛：本题考查圆的切线的性质、三角函数的二倍角公式、向量的数量积公式、基本不等式求函数的最值，属于中档题．解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。