2019高考数学二轮复习课时跟踪检测(二十一)函数的图象与性质(小题练)理

课时跟踪检测（二十一） 函数的图象与性质（小题练）
A 级——12＋4提速练
一、选择题 1．函数f (x )＝
3x
2
1－x
＋x ＋的定义域是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13，1 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13，13 D ．[0,1)
解析：选D 要使函数有意义，需⎩
⎪⎨
⎪
⎧
x ＋，
1－x >0.即0≤x <1.
2．(2018·合肥模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1x －2
，x >2，
x 2＋2，x ≤2，则f [f (1)]＝( )
A ．－1
2
B ．2
C ．4
D ．11
解析：选C ∵f (1)＝12
＋2＝3，∴f [f (1)]＝f (3)＝3＋13－2＝4.故选C.
3．函数y ＝ln(2－|x |)的大致图象为( )
解析：选A 令f (x )＝ln(2－|x |)，易知函数f (x )的定义域为{x |－2<x <2}，且f (－
x )＝ln(2－|－x |)＝ln(2－|x |)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，排除选项C ，D.当x ＝
32时，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32＝ln 12<0，排除选项B ，故选A. 4．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪
⎧
x 2
＋1，x >0，＋x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )
A ．函数f (x )是偶函数
B ．函数f (x )是减函数
C ．函数f (x )是周期函数
D ．函数f (x )的值域为[－1，＋∞)
解析：选 D 由函数f (x )的解析式，知f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，
f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数．当x >0时，f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)
上是增函数，且f (x )>1；当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且f (x ) ∈[－1,1]．所以函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．故选D.
5．(2018·贵阳模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝( )
A ．2
B ．4
C ．－2
D ．－4
解析：选C 由题意，知f (－6)＝－f (6)＝－(log 28－1)＝－3＋1＝－2，故选C. 6．(2018·武汉调研)已知奇函数f (x )在R 上单调递增，若f (1)＝1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )
A ．[－2,2]
B ．[－1,1]
C ．[0,4]
D ．[1,3]
解析：选D 因为f (x )为奇函数，且f (1)＝1，所以f (－1)＝－1，故f (－1)＝－1≤f (x －2)≤1＝f (1)，又函数f (x )在R 上单调递增，所以－1≤x －2≤1，解得1≤x ≤3，故选D.
7．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12x 2－x －1
的单调递增区间为( )
A.⎝ ⎛
⎦⎥⎤－∞，1－52
B ．⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，12
C.⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫
1＋52，＋∞
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞
解析：选A 由x 2
－x －1≥0，可得函数f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫
x |x ≤1－52或x ≥
1＋52.令t ＝x 2
－x －1，则y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12t ，该指数函数在定义域内为减函数．根据复合函数的单调性，
要求函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 2－x －1
的单调递增区间，即求函数t ＝x 2
－x －1的单调递减区
间，易知函数t ＝x 2
－x －1的单调递减区间为⎝
⎛⎦⎥
⎤－∞，1－52.所以函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x 2－x －1
的单调递增区间为⎝
⎛
⎦⎥⎤－∞，1－52，故选A.
8．(2019届高三·河北五个一名校联考)已知奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (1－x )，若当x ∈(－1,1)时，f (x )＝lg 1＋x
1－x
，且f (2 018－a )＝1，则实数a 的值可以是( )
A.911
B ．119
C ．－911
D ．－119
解析：选A ∵f (x ＋1)＝f (1－x )，∴f (x )＝f (2－x )，又函数f (x )为奇函数，∴f (－
x )＝－f (x )，∴f (2＋x )＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )为周期函
数，周期为4.当x ∈(－1，1)时，令f (x )＝lg 1＋x 1－x ＝1，得x ＝911，又f (2 018－a )＝f (2
－a )＝f (a )，∴a 可以是9
11
，故选A.
9．(2018·郑州模拟)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
e x
－a ，x ≤0，
2x －a ，x >0(a ∈R)，若函数f (x )在R
上有两个零点，则实数a 的取值范围是( )
A ．(0,1]
B ．[1，＋∞)
C ．(0,1)
D ．(－∞，1]
解析：选A 画出函数f (x )的大致图象如图所示．因为函数f (x )在R 上有两个零点，所以f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x ≤0时，f (x )有一个零点，需0≤1－a <1，即0<a ≤1；当
x >0时，f (x )有一个零点，需－a <0，即a >0.综上0<a ≤1，故选A.
10．(2018·成都模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＋f (x )＝0且当
x ∈[0,1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则下列不等式正确的是( )
A ．f (log 27)<f (－5)<f (6)
B ．f (log 27)<f (6)<f (－5)
C ．f (－5)<f (log 27)<f (6)
D ．f (－5)<f (6)<f (log 27)
解析：选C f (x ＋2)＋f (x )＝0⇒f (x ＋2)＝－f (x )⇒f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是周期为4的周期函数．
又f (－x )＝－f (x )，且有f (2)＝－f (0)＝0，
所以f (－5)＝－f (5)＝－f (1)＝－log 22＝－1，f (6)＝f (2)＝0. 又2<log 27<3，所以0<log 27－2<1，即0<log 27
4
<1，
f (lo
g 27)＋f (log 27－2)＝0⇒f (log 27)＝－f (log 27－2)＝－f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
log 274
＝－
log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫log 274＋1＝－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫log 272，又1<log 272<2，所以0<log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫log 272<1，所以－1<－log 2⎝
⎛⎭⎪⎫log 272<0， 所以f (－5)<f (log 27)<f (6)．
11．若函数y ＝f (x )的图象上的任意一点P 的坐标(x ，y )满足条件|x |≥|y |，则称函数f (x )具有性质S ，那么下列函数中具有性质S 的是( )
A ．f (x )＝e x
－1 B ．f (x )＝ln(x ＋1) C ．f (x )＝sin x
D ．f (x )＝tan x
解析：选C 不等式|x |≥|y |表示的平面区域如图中阴影部分所示，
函数f (x )具有性质S ，则函数图象必须完全分布在阴影区域①和②部分，
f (x )＝e x －1的图象分布在区域①和③内，f (x )＝ln(x ＋1)的图象分布在
区域②和④内，f (x )＝sin x 的图象分布在区域①和②内，f (x )＝tan x 在每个区域都有图象，故选C.
12．(2018·吉林省实验中学模拟)函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，f (x )>0，满足
f (x ·y )＝f (x )·f (y )，且在区间(0，＋∞)上单调递增，若m 满足f (lo
g 3m )＋f ⎝
⎛
⎭
⎫
log 13
m ≤2f (1)，则实数m 的取值范围是( )
A ．[1,3]
B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13
C.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，13∪(1,3] D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫13，1∪(1,3] 解析：选D 由于f (x ·y )＝f (x )·f (y )，f (x )>0，则令x ＝y ＝1可得f (1)＝[f (1)]2
，即f (1)＝1.令x ＝y ＝－1，则f (1)＝[f (－1)]2
＝1，即f (－1)＝1.令y ＝－1，则f (－x )＝f (x )f (－1)＝f (x )，即f (x )为偶函数．由f (log 3m )＋f ⎝
⎛
⎭
⎫
log 13
m ＝2f (1)得
2f (log 3m )≤2f (1)，得f (|log 3m |)≤f (1)．由于f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，则
|log 3m |≤1，且log 3m ≠0，解得m ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫13，1∪(1,3]．
二、填空题
13．若f (x )＝2x ＋2－x
lg a 是奇函数，则实数a ＝________.
解析：∵函数f (x )＝2x
＋2－x
lg a 是奇函数，∴f (x )＋f (－x )＝0，即2x ＋2－x
lg a ＋2
－x
＋2x lg a ＝0，(2x ＋2－x
)(1＋lg a )＝0，∴lg a ＝－1，∴a ＝110.
答案：1
10
14．已知a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
sin π2x ，x ∈[－1，，ax 2＋ax ＋1，x ∈[0，＋
，
若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －13>－1
2
，则
实数t 的取值范围为________．
解析：当x ∈[－1,0)时，函数f (x )＝sin π
2x 单调递增，且f (x )∈[－1,0)，当x ∈[0，
＋∞)时，函数f (x )＝ax 2
＋ax ＋1，此时函数f (x )单调递增且f (x )≥1，综上，当x ∈[－1，＋∞)时，函数f (x )单调递增，由f (x )＝sin π2x ＝－12得π2x ＝－π6，解得x ＝－1
3，则
不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －13>－12，等价于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －13>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13，∵函数f (x )是增函数，∴t －13>－13，即
t >0.故t 的取值范围为(0，＋∞)．
答案：(0，＋∞)
15．(2018·山东潍坊模拟)已知奇函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，且f (1)＝1，f (2)＝2，则f (2 017)＋f (2 018)＝________.
解析：因为f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，所以当x ＝－3时，有f (3)＝f (－3)＋f (3)，即
f (－3)＝0，又f (x )为奇函数，所以f (3)＝0，所以f (x ＋6)＝f (x )，函数f (x )是以6为
周期的周期函数，f (2 017)＋f (2 018)＝f (336×6＋1)＋f (336×6＋2)＝f (1)＋f (2)＝3.
答案：3
16．(2018·济宁模拟)已知函数f (x )＝min{2x ，|x －2|}，其中min{a ，b }＝
⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ，a ≤
b ，
b ，a >b ，若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，且它们的横坐标
分别为x 1，x 2，x 3，则x 1·x 2·x 3的最大值是________．
解析：因为函数f (x )＝min{2x ，|x －2|}
＝⎩⎨⎧
2x ，0≤x ≤4－23，
2－x ，4－23<x <2，
x －2，2≤x ≤4＋23，2x ，x >4＋23，
作出其大致图象如图所示，若直线y ＝m 与函数f (x )
的图象有
三个不同的交点，则0<m <2(3－1)．不妨设x 1<x 2<x 3，则易知2x 1＝m ，所以x 1＝m 2
4；同
理，2－x 2＝m ，所以x 2＝2－m ；x 3－2＝m ，所以x 3＝2＋m ，所以x 1·x 2·x 3＝m 2
4(2－m )(m
＋2)＝
m 2
－m 2
4
≤14⎝ ⎛⎭
⎪⎫m 2＋4－m 2
22＝1，当且仅当m 2＝4－m 2，即m ＝2时取等号． 答案：1
B 级——难度小题强化练
1．(2018·山东临沂模拟)函数f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪2x ＋2－x
2x －2－x 的图象可能是( )
解析：选A 易知函数f (x )是偶函数，故其图象关于y 轴对称，排除选项C.函数的定义域是x ≠0，排除选项D.⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x ＋2－x 2x －2－x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x
＋14x －1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋24x －1>1，所以f (x )>0，排除选
项B.故选A.
2．(2018·洛阳模拟)若函数f (x )同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：
(1)∀x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0； (2)∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有
f x 1－f x 2
x 1－x 2
<0.给出下列四个函数，
①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－2x 3
； ③f (x )＝1－x ；④f (x )＝ln(x 2
＋1＋x )． 其中为“优美函数”的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析：选B 由条件(1)，得f (x )是奇函数，由条件(2)，得f (x )是R 上的单调减函数．
对于①，f (x )＝sin x 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f (x )＝－2x
3
既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f (x )＝1－x 不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f (x )在R 上单调递增，故不是“优美函数”．故选B.
3．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝0，f (x )＋f (1－x )＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＝1
2
f (x )，且
当0≤x 1<x 2≤1时，有f (x 1)≤f (x 2)，则f ⎝
⎛⎭
⎪⎫12 018＝( )
A.1
2 018 B ．12 017 C.1128
D.1256
解析：选C 在f (x )＋f (1－x )＝1中，令x ＝1，得f (1)＝1，令x ＝12，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1
2，
在f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＝12f (x )中，令x ＝1，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝12，由此得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，再根据当0≤x 1<x 2≤1时，有f (x 1)≤f (x 2)可得在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12上均有f (x )＝12.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＝1
2
f (x )，可得f (x )＝
12f (3x )，故 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 018＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 018＝122f ⎝ ⎛⎭⎪⎫322 018＝123f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫332 018＝ (12)
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3n
2 018.设1
3≤3n
2 018≤12，即2 0183≤3n ≤1 009，由36＝729,37
＝2 187，得n ＝6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 018＝126
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫7292 018＝126×12＝1128. 4.(2018·安庆二模)如图，已知l
1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速竖直向上移动，且在t ＝0时，圆O 与
l 2相切于点A ，圆O 被直线l 2所截得到的两段圆弧中，位于l 2上方的圆
弧的长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t (0≤t ≤1，单位：s)的函数y ＝f (t )的图象大致为( )
解析：选B 如图所示，设∠MON ＝α，由弧长公式知x ＝α，
在Rt △AOM 中，|AO |＝1－t ，cos x 2＝|OA ||OM |＝1－t ，∴y ＝cos x ＝2cos 2
x 2
－1＝2(t －1)2
－1(0≤t ≤1)．故其对应的大致图象应为B.
5．对于实数a ，b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
－ab ，a ≤b ，
b 2
－ab ，a >b .设f (x )＝(x －4)⊗
⎝ ⎛⎭
⎪⎫74x －4，若关于x 的方程|f (x )－m |＝1(m ∈R)恰有四个互不相等的实数根，则实数m 的
取值范围是________．
解析：由题意得，f (x )＝(x －4)⊗⎝ ⎛⎭
⎪⎫74x －4＝
⎩⎪⎨⎪⎧
－3
4x 2＋3x ，x ≥0，2116x 2
－3x ，x <0，
画出函数f (x )的大致图象如图所示．
因为关于x 的方程|f (x )－m |＝1(m ∈R)，即f (x )＝m ±1(m ∈R)恰有四个互不相等的
实数根，所以两直线y ＝m ±1(m ∈R)与曲线y ＝f (x )共有四个不同的交点，则⎩⎪⎨
⎪⎧
m ＋1>3，0<m －1<3或⎩
⎪⎨
⎪⎧
0<m ＋1<3，
m －1<0或⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＋1＝3，
m －1＝0，得2<m <4或－1<m <1.
答案：(－1,1)∪(2,4)
6．已知函数y ＝f (x )(x ∈R)，对函数y ＝g (x )(x ∈R)，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈R)，y ＝h (x )满足：对任意的x ∈R ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2
关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且
h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．
解析：根据“对称函数”的定义可知，
h x ＋4－x 2
2
＝3x ＋b ，即
h (x )＝6x ＋2b －4－x 2，h (x )>g (x )恒成立，等价于6x ＋2b －4－x 2>
4－x 2
，即3x ＋b >4－x 2
恒成立，设y 1＝3x ＋b ，y 2＝4－x 2
，作出两个函数对应的图象如图所示，当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d ＝
|b |1＋3
2
＝
|b |10
＝2，即|b |＝210，
∴b ＝210或b ＝－210(舍去)，若要使h (x )>g (x )恒成立，则b >210，即实数b 的取值范围是(210，＋∞)．
答案：(210，＋∞)。