关于幂指函数的极限与导数的求法(Word)

目 录
目 录 .............................................................................................................................................. 0 摘 要 .............................................................................................................................................. 1 Abstract ............................................................................................................................................. 2 1.幂指函数的概念 ........................................................................................................................... 3 2.幂指函数的求极限 .. (3)
2.1 )(x f ，)(x g 的极限均为有限常数，即B A 型的极限求法 ....................................... 3 2.2 利用重要极限 ................................................................................................................. 4 2.3 应用洛必达法则求极限 ................................................................................................. 6 2.4 用等价无穷小 .. (7)
2.4.1 0
0中的等价无穷小代换 (7)
2.4.2 0
∞中的等价无穷小代换 (8)
2.4.3 ∞1中的等价无穷小代换. (9)
2.5 利用微分中值定理 ....................................................................................................... 10 3.幂指函数的求导 . (11)
3.1 复合函数求导法 ........................................................................................................... 11 3.2 对数求导法 ................................................................................................................... 12 3.3 多元函数求导法 ........................................................................................................... 13 总 结 ............................................................................................................................................ 16 参考文献 . (17)
摘要
本文主要讨论了幂指函数00，0∞，∞
1型极限的求法，同时对幂指函数求导法作了探索，总结出复合函数求导法，对数求导法，多元函数求导法，并给出相应的例子。

关键词：幂指函数；导数；极限
Abstract
This paper mainly discussed the exponential function, and the method to limit type, and the exponential function derivation method of method, sums up the composite function derivation method, logarithmic derivation method, multivariate function derivation method, and give some examples.
Keywords:exponential function; limit; derivation
1.幂指函数的概念
将形如)()(x g x f y =的函数称为幂指函数。

也就是说，它既像幂函数，又像指数函数，二者的特点兼而有之。

作为幂函数，其幂指数确定不变，而幂底数为自变量；相反地，指数函数却是底数确定不变，而指数为自变量。

幂指函数就是幂底数和幂指数同时都为自变量的函数。

这种函数的推广，就是广义的幂指函数。

2.幂指函数的求极限
幂指函数的极限类型很多，有确定型和不定式之分。

不定式有00型，0∞型，∞1型,∞∞型，∞0型，在这里只讨论幂指函数00型，0∞型，∞1型这三种类型不定式的求极限问题。

对这三种类型不定式进行全面探讨，将局限于分式型不定式的等价无穷小代换定理，无穷小比较定理和洛必达法则，微分中值定理,重要极限推广到幂指型不定式的所有类型中，从而在理论上较系统的解决了幂指型不定式极限求解问题。

2.1 )(x f ，)(x g 的极限均为有限常数，即B
A 型的极限求法
定理1 存在有限的极限，A x f x x =→)(lim 0
，B x g x x =→)(lim 0
且A>0,则有
B x g x x x g x x A x f x f x x ==→→→)
(lim )
(0
)]
(lim [)
(lim
证明： 令)()(x g x f y =，由A>0，两边取对数得：
)(ln )(ln x f x g y =
从而
)(ln )(ln )(0
lim lim )(lim x f x g x x y x x x g x x e e x f →→→==
由复合函数求极限法则知：
B A B x f x g x x x g x x A e e x f ===→→ln )(ln )()(0
lim )(lim
上述命题对+→0x x ，-
→0x x ，,-∞→x +∞→x 的情况同样成立，且证
明类似。

但是，当A 或（和）B 不是有限常数，或A 不大于0时，上述命题不成立。

例1 求极限131
)51(lim -→+x x x .
解： 因为
6)51(lim 1
=+→x x ，2)13(lim 1
=-→x x
由上述定理1，得：
366)51(lim 2131
==+-→x x x
例2 求极限3
2
)
1
11(lim -→-+
x x x . 解： 因为
2)1
1
1(lim 2
=-+
→x x ，1)3(lim 2-=-→x x
由上述定理1，得： 13
2
2)1
11(lim --→=-+
x x x
2.2 利用重要极限
对∞1型未定式极限问题，考虑利用重要极限e x
x x =+∞→)1
1(lim 及其变形公
式e x x
x =+→1
)1(lim 求极限。

例3 求极限1
2)2
3(
lim +∞
→++x x x x . 解: 3
421212)2
11(lim )211(lim )23(
lim -+∞→+∞→+∞
→++=++=++x x x x x x x x x x
2(2)3
11lim(1)lim(1)22
x x x x x +-→∞→∞=++++
(2)23
11lim[(1)]lim(1)22x x x x x +-→∞→∞=++++
2e =
例4 求极限x x x 2
csc 0
)(cos lim +→.
解： x x x
x x x 2
2
sin 1
csc
)]1(cos 1[lim )(cos lim -+=++→→
x
x x x x 2sin 1
cos 1cos 10)]
1(cos 1[lim -•
-→-+=+
22021lim x
x x e -+→=
2
1-
=e
对于一般具有较复杂形式的∞1型未定式极限问题，可以考虑用如下的定理简化计算过程。

定理2 设有连续函数)(x f 和)(x g ，在自变量x 的某个变化过程中，
1)(lim =x f ，∞=)(lim x g ，则
)
()1)(lim()()(lim x g x f x g e x f -=
证明： )()1)((1
)(1
)
(]1)(1[)
(x g x f x f x g x f x f ---+=
)()1)((x g x f e -= 应用定理2解例（2）的解法如下：
2
112csc )1(cos csc 02
222)
(cos lim -
•-
-→===+
e
e
e
x x x x
x x
x
因此，应用定理2可以简化∞1型未定式极限的计算。

2.3 应用洛必达法则求极限
定理3[1] 设（1）当a x →时，函数)(x f 及)(x F 都趋于0或∞；
（2）在点a 的某去心领域内，)(x f '及)(x F '都存在且0)(≠'x F ； （3）)
()
(lim
x F x f a
x ''→存在（或为无穷大），那么 )
()
(lim )()(lim
x F x f x F x f a x a
x ''=→→ 对幂指函数的极限，可以通过将幂指函数化为对数恒等式y e y ln =的形式，
转换为0
型或∞∞型不定式，然后再利用洛必达法则进行求解。

例5 求极限x x x
a
)1(lim +∞→.
解: )1ln(lim )1(lim x
a
x x x x e x
a +∞→∞→=+
x
x a x e 1)
1ln(lim
+∞
→=
因为
0)1ln(lim =+∞→x
a x ， 01
lim =∞→x x 由定理3，得：
a a x ax x
x a
x x e e
e x
a
x x ===++''
+∞→∞→∞
→lim
)1(])1[ln(lim
)1(lim
例6 求极限x x x
x )1
cos 1(sin
lim ++∞
→. 解： 令1
u x
=
，则当+∞→x 时，+→0u ，那么 u u x x u u x
x 1
0)cos (sin lim )1
cos 1(sin lim +=++→+∞→ u
u u u e
)
cos ln(sin 0
lim +→+=
u
u u u e
)
cos ln(sin lim
0++
→=
0cos sin lim
sin cos u u u u u e +→-+=
e =
2.4 用等价无穷小
2.4.1 00中的等价无穷小代换
引理1[4] 设α> 0，1α> 0为某变化过程中的无穷小。

若α～1α ,则1
ln 1~ln 1αα. 证明: α～1α，所以
11
1
lim
ln ln lim ln 1ln 1
lim 1
11
===αααα
αα，
从而有
1
ln 1~ln 1αα
定理4 α> 0，1α> 0和β，1β均为某变化过程中的无穷小。

若α～1α ,β～1β ,且A =1
1
lim βα,则有
A ==1
1
lim lim ββαα
证明: 因为α～1α , 所以1
ln 1
~ln 1αα 不论哪一种情况,都有
111
1
ln lim ln 1lim
ln 1lim
ln lim αβαβα
β
αβ===
A
e e ====1
111
ln ln lim lim lim lim βαβαββαα
此定理4说明,当11lim β
α= A 时, βαlim 中的α和β均可代换为等价无穷小
1α和1β。

例7 求x x x 2tan 0
)(sin lim +→.(00型)
分析：因为0sin lim 0
=+→x x ，02tan lim 0
=+→x x ，即极限呈00型。

解: 当+→0x 时，sin ~x x ，x x 2~2tan 由定理4，得：
x x x x x x x e x x ln 20202tan 0lim lim )(sin lim •→→→+
+
+
==
10)21()(ln lim
0===''+
→e e
x
x x
2.4.2 0∞中的等价无穷小代换
0∞型的极限可写为ββα
α1
lim ]1lim[= ,其中α>0和β均为某变化过程中的
无穷小。

由定理4可得定理5。

定理5 α> 0，1α> 0和β，1β 均为某变化过程中的无穷小。

若α～1α ,β～1β ,且A =1]1
lim[
1
βα，则
A ==1]1
lim[
]1
lim[
1
ββαα
此定理5说明,当A =1]1
lim[
1
βα时，α和β均可代换为等价无穷小1α 和1β。

例8 求x x x sin 0
])
1ln(1
[
lim +→(0∞型)
分析：因为∞=+→])
1ln(1
[
lim 0
x x ，0sin lim 0=→x x ，即极限呈0∞型。

解: 当0x →时，x x ~)1ln(+ ，x x ~sin 由定理5，得：
1)1
(lim ])1ln(1[lim 01
ln lim 0sin 00====+→→→e e x
x x x x x x x x
2.4.3 ∞1中的等价无穷小代换.
∞1 型的极限可写为βα1
)1lim(+,其中α，β均为某变化过程中的无穷小。

引理2[4] 设α,β为某变化过程中的无穷小。

若A =β
α
lim
，则有 1
lim
lim(1)A e
e αβ
β
α+==.
证明: β
αβ
αβα)
1ln(lim )
1ln(1
lim )1lim(++==+e
e
αα~)1ln(+
所以
A e e
e
===++β
αβ
αβαlim
)
1ln(lim
1
)1lim(
定理6 设11,,,ββαα 均为某变化过程中的无穷小。

若1~αα，1~ββ，且
A =1
1
lim
βα,则有 A 1
11
1)1lim()1lim(e =+=+ββαα
证明: 因为
A =1
1
lim
βα， 所以
1
1lim lim
βαβα
= A
e e
e
=+===+11
11
1lim
lim
1
)1lim()1lim(ββαβ
α
βαα
这说明,当A =1
1
lim βα时，βα1
)1lim(+中的无穷小量α，β可代换为等价无穷小
1α，1β。

例9 求极限)1ln(10)tan 1(lim x x x +→++（∞1型）.
分析： 因为1)tan 1(lim 0=++→x x ，∞=++→)1ln(1lim 0
x x ，即极限呈∞1型。

解： 当+→0x ，x x ~tan , x x ~)1ln(+时， 1lim 0=+→x
x x ， 由定理6，得： e x x x =++→+)1ln(1
0)tan 1(lim
2.5 利用微分中值定理
定理7[1] 如果函数)(x f 满足：
(1)在闭区间],[b a 上连续；
(2)在开区间),(b a 内可导；
那么在),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ，使等式
))(()()(a b f a f b f -'=-ξ
例10 求极限21)63(lim -∞→++x x x x .
解： )]6ln()3[ln(21lim 63ln 21lim 21)63(lim x x x x x x x x x x e e x x +-+-++--∞→∞→∞→==++
对在x x f ln )(=区间]6,3[x x ++上使用定理7，得：
ξ3
)3ln()6ln(=+-+x x （其中x x +<<+63ξ）
故
131lim()[ln(3)ln(6)]lim()22x x x x x x ξ
→∞→∞--+-+=-， 因为x
x x x x +-<-<+-31161ξ，而161lim =+-∞→x x x ，131lim =+-∞→x x x 故11lim
=-∞→ξx x ，所以，原式=32
e -。

3.幂指函数的求导
幂指函数是指数底数都会有自变量的表达式的函数，它的形式为)()(x g x f y =，其中)(x f ，)(x g 必须为含有x 的函数，对幂指函数的求导，我们通常有两种方法，即：
3.1 复合函数求导法
先将幂指函数化为指数函数的形式，通过对数恒等式把它化为复合函数y e y ln =的形式，再用复合函数的方法求出它的导数。

])([)('x g x f =][)(ln )('x f x g e
=•)(ln )(x f x g e ])(ln )(['x f x g
=•)()(x g x f [)(x g ')(ln x f +)()
()(x f x f x g '] =•)()(x g x f )(x g ')(ln x f +)()()(1)(x f x f x g x g '- =)()(x g x f )(ln )(x f x g '+)()()(1)(x f x f x g x g '- （1）
3.2 对数求导法
先对等式两边取自然对数，然后对等式两边关于x 求导，解出y '，最后把y '表达式中的y 换成)(x f ，求出它的导数。

对幂指函数)()(x g x f y =两边取对数，得：
)(ln )(ln x f x g y =
再将等式两端对x 求导，得： y y '1=)()(1
)()(ln )(x f x f x g x f x g '+'
='y y [)()(1
)()(ln )(x f x f x g x f x g '+']
=•)()(x g x f [)()(1
)()(ln )(x f x f x g x f x g '+']
=)()(x g x f )(ln )(x f x g '+ )()()(1)(x f x f x g x g '-
（2）
例11 计算幂指函数x x y =（0x >）的导数y '。

解： 解法1（第一种方法）
利用对数恒等式将x x y =变形为函数，得：
x x e y ln =
再利用复合函数的求导法则计算导数，得：
)1
(ln ln x x x e y x x •+='
x x x x x y +='ln
解法2（第二种方法）
将x x y =两边取对数，得：
x x y ln ln =
然后再对此隐函数求导，得：
x
x x y y 1ln 1•+=•' )1(ln +='x y y
x x x x x y +='ln
这两种方法的缺点是 ：0)(>x f 且0>y ，不然无法取对数；对于幂指函数，它不属于初等函数，所以利用传统的四则运算法则和复合函数的求导法则则无法直接求导，所以需要一种新的方法进行求解。

3.3 多元函数求导法
我们发现，把幂指函数)()(x g x f y =视为幂函数对其进行求导，即把函数)(x g 看成一个与x 无关的常数，对其进行求导，得：
])([)('x g x f = )(x g )()(1)(x f x f x g '- （3） 把幂指函数)()(x g x f y =视为指数函数对其进行求导，即把函数)(x f 看成一个与x 无关的常数，对其进行求导，得：
])([)('x g x f =)()(x g x f )(ln )(x f x g ' （4）
观察发现，把(3)(4)这两个式子相加，恰好与（1）式的结果一样，为幂指函数的导数，则幂指函数)()(x g x f 的导数等于将)()(x g x f 视为指数函数求导与将)()(x g x f 视为幂函数求导的和。

定理8 幂指函数)()(x g x f y =的导数等于)()(x g x f 视为指数函数求导与)()(x g x f 视为幂函数求导之和。

即：
])([)('x g x f = )(x g )()(1)(x f x f x g '-+)()(x g x f )(x g ')(ln x f
证明： 设函数()u f x =，()v g x =，函数z=F(u,v)在),(v u 点可微，且u 、v 对x 可导，根据二元复合函数求偏导数的法则，有：
dx
dv v z dx du u z dx dz •∂∂+•∂∂= 在这里，)()(x g x f z =，则：
)()(ln )()()()()(1)(x g x f x f x f x f x g dx dz x g x g '+'=- 证毕
例12 计算幂指函数x x y =（0x >）的导数y '.
解：（第三种方法解）
将x x y =视为指数函数，对其进行求导，得：
y '=x x x ln
将x x y =视为幂函数，对其进行求导，得：
1-•='x x x y
最后将上述两个求导式子相加，得：
1ln -•+='x x x x x x y
=x x x x x +ln
例13 求2)2(x x y =的导数.
解： （第三种方法解）
)(2ln )2()2()2(21222'••+'••='-x x y x x x x x x
x x x x x x x x 22ln )2(2ln 2)2(2212••+••=-
22)2(2ln 2)2(2ln 22x x x x x x ••+••=
2
)2(2ln 32x x x ••=
例14 求x a x x x a y ++=的导数（其中a 为常数）.
解： （第三种方法解）
逐项求导，得：
a a a x x ln )(='
1)(-='a a ax x
x
x x x x x x +='ln )(
所以
a
x x
x
x
+
+
='-ln
y+
ln1
a
a
x
x
ax
综上所述，幂指函数的求导方法一共有三种，其本质都是先把它化为一般函数，再利用复合函数的方法求出其导数。

前两种方法都是间接的对幂指函数进行求导，后一种是套用方法直接对其进行求导，此方法使用起来非常简洁，与前面所学的幂函数和指数函数求导内容具有很强的连贯性。

总结
通过已有的求极限的知识，如重要极限，洛必达法则，等价无穷小代换定理等，将这些方法推广到幂指函数不定式中的极限求解问题，同时根据复合函数和隐函数的求导法则，总结出幂指函数的求导方法，即复合函数求导法，对数求导法，多元函数求导法，并以实例演练了理论的应用性。

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