综合法与分析法

于是∠ 于是∠PDA=∠PDB=∠PDC， ∠ ∠ ， 而∠PDA=∠PDC=90°， ∠ ° 可见PD⊥ ， ⊥ ， 可见 ⊥AC，PD⊥BD， 由此可知， 垂直于 垂直于△ 所在的平面. 由此可知，PD垂直于△ABC所在的平面 所在的平面 这个证明的步骤是： 这个证明的步骤是： 斜边上的中线, （1）由已知 是Rt△ABC斜边上的中线 ）由已知BD是 △ 斜边上的中线 推出DA=DB=DC，记为 0(已知 ⇒P1; 已知)⇒ 推出 ，记为P 已知 （2）由DA=DB=DC，和已知条件，推出 ） ，和已知条件， 三个三角形全等，记为P 三个三角形全等，记为 1⇒P2；
1 2 3 例1．求证：log 19 + log 19 + log 19 < 2 ．求证： 5 3 2
证明： 证明：因为
1 log a b = log b a
所以 左式=log195+2log193+3log192 左式 =log19(5×32×23)=log19360. × 因为log 因为 19360<log19361=2， ，
分析法证明的逻辑关系是： 分析法证明的逻辑关系是： B(结论 ⇐ B1 ⇐ B2 ⇐ … ⇐ Bn ⇐A(已知 结论) 已知). 结论 已知 在分析法证明中， 在分析法证明中，从结论出发的每一个 步骤所得到的判断都是结论成立的充分条 件，最后一步归结到已被证明的事实。因 最后一步归结到已被证明的事实。 此从最后一步可以倒推回去，直到结论， 此从最后一步可以倒推回去，直到结论， 但这个倒推过程可以省略。 但这个倒推过程可以省略。
（1）综合法与分析法是对立统一的两个方面，前者由 ）综合法与分析法是对立统一的两个方面， 因导果，宜于表达；后者由果索因，利于思考。 因导果，宜于表达；后者由果索因，利于思考。后者是 一种重要的探求方式，但不是一种好的书写形式， 一种重要的探求方式，但不是一种好的书写形式，如果 不写“只需证明” 则错。而用综合法书写证明过程， 不写“只需证明”，则错。而用综合法书写证明过程， 掩盖了分析、探索的过程。所以， 掩盖了分析、探索的过程。所以，通常是用分析法探求 证题途径，用综合法书写解题过程。 证题途径，用综合法书写解题过程。 （2）分析法与分析不同，前者为一种论证方法，后者 ）分析法与分析不同，前者为一种论证方法， 为一种思维方法，前者离不开后者。 为一种思维方法，前者离不开后者。 （3）证明的模式：论证“若A则B” ）证明的模式：论证“ 则 证明：欲证命题 成立 只需证命题B 成立，从而又…… 成立， 证明：欲证命题B成立，只需证命题 1成立，从而又 只需证命题B 成立，从而又…… 只需证命题 2成立，从而又 …… 只需证命题A为真 为真. 只需证命题 为真 已知A为真 为真， 为真. 已知 为真，故B为真 为真
2.2.1 综合法与分析法
1．综合法 ． 综合法是从原因推导到结果的思维方法， 综合法是从原因推导到结果的思维方法， 从原因推导到结果的思维方法 而分析法是一种从结果追溯到产生这一结 而分析法是一种从结果追溯到产生这一结 果的原因的思维方法 具体地说， 的思维方法。 果的原因的思维方法。具体地说，综合法 是从已知条件出法，经过逐步的推理， 是从已知条件出法，经过逐步的推理，最 后达到待证结论。 后达到待证结论。分析法则是从待证结论 出法，一步一步寻求结论成立的充分条件， 出法，一步一步寻求结论成立的充分条件， 最后达到题设的已知条件或已被证明的事 实。
例4．求证：当一个圆与一个正方形的周长 ．求证： 相等时， 相等时，这个圆的面积比正方形的面积大 证明：设圆和正方形的周长为 ， 证明：设圆和正方形的周长为L，
L 2 依题意， 依题意，圆的面积为 π ( ) 2π L 2 正方形的面积为 ( ) 4 L 2 L 2 因此本题只需证明 π ( ) > ( ) 2π 4
P
A
D C B
证明：连接PD，BD，因为 是Rt△ABC 证明：连接 ， ，因为BD是 △ 斜边上的中线， 斜边上的中线， 所以 DA=DB=DC，又因为 PA=PB=PC， ， ， 的公共边, 而PD是△PDA、△PBD、△PCD的公共边 是 、 、 的公共边 所以△ 所以△PDA≌△PBD≌△PCD， ≌ ≌ ，

2．分析法 ． 例3．求证： 3 + 7 < 2 5 ．求证： 证明： 都是正数， 证明：因为 3 + 7和2 5 都是正数， 所以为了证明 3 + 7 < 2 5 只需证明 ( 3 + 7) 2 < (2 5) 2 展开得 10 + 2 21 < 20 即 21 < 5 只需证明21<25，因为21<25成立， ，因为 成立， 只需证明 成立 所以不等式 成立。 3 + 7 < 2 5 成立。
1 2 3 + + <2 所以 log 5 19 log 3 19 log 2 19
例2．如图，设四面体 ．如图，设四面体PABC中, 中 ∠ABC=90°，PA=PB=PC，D ° ， 的中点， 是AC的中点，求证：PD垂直于 的中点 求证： 垂直于 所在的平面。 △ABC所在的平面。 所在的平面
3．小结： ．小结： 分析法和综合法是思维方向相反 思维方向相反的两种 分析法和综合法是思维方向相反的两种 思考方法。在数学解题中，分析法是从数 思考方法。在数学解题中，分析法是从数 学题的待证结论或需求问题出发， 学题的待证结论或需求问题出发，一步一 步地探索下去，最后达到题设的已知条件。 步地探索下去，最后达到题设的已知条件。 综合法则是从数学题的已知条件出发，经 综合法则是从数学题的已知条件出发， 则是从数学题的已知条件出发 过逐步的逻辑推理， 过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或 需求问题。对于解答证明来说， 需求问题。对于解答证明来说，分析法表 现为执果索因 综合法表现为由因导果 执果索因， 由因导果， 现为执果索因，综合法表现为由因导果， 它们是寻求解题思路的两种基本思考方法， 它们是寻求解题思路的两种基本思考方法， 应用十分广泛。 应用十分广泛。
2
πL L 为了证明上式成立， 为了证明上式成立，只需证明 > 2 4π 16
2
πL L > 2 4π 16
2 2
1 得 > π 4 L 2 L 2 因为上式是成立的， 因为上式是成立的，所以 π ( ) > ( ) 2π 4
4 两边同乘以正数 2 L
1
这就证明了如果一个圆与一个正方形的 周长相等， 周长相等，那么这个圆的面积比这个正方 形的面积大。 形的面积大。
（3）由三个三角形全等，推出∠PDA= ）由三个三角形全等，推出∠ 记为P ∠PDB=∠PDC=90°,记为 2⇒P3; ∠ ° 记为 （4）由∠PDA=∠PDB=∠PDC=90°,推出 ） ∠ ∠ ° 推出 PD垂直于△ABC所在的平面，记为 垂直于△ 所在的平面， 垂直于 所在的平面 P3⇒ P4(结论 ； 结论)； 结论 这个证明步骤用符号表示就是 P0(已知 ⇒P1⇒P2⇒P3⇒P4(结论 已知)⇒ 结论). 已知 结论