信号与系统§8.9序列的傅里叶变换(DTFT)

n

T O T 2T 3T
t
xn

x(nT ) ejnΩT
n 令x(nT ) x(n), ΩT ω
1 O 1 2 3
n

F x(t )δT (t )＝ x(n) e F x n X j《nω信号与系统》BUPT尹霄丽 ejω
z变 换

X z xn zn n
s j, T ,
nT n
对 于 离 散 序 列xn：
z ejω

傅氏变换

X ejω x n ejnω
n
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2．频率的比较
模拟角频率 Ω，量纲：弧度/秒； 数字角频率 ω，量纲：弧度； ejω是周期为 的2 π周期函数 关系：ω ΩT
§8.9 序列的傅里叶 变换（DTFT)
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一．定义
DTFT:Discrete-time Fourier transform
为研究离散时间系统的频
xtT t
率响应作准备，从抽样信
号的傅里叶变换引出：
Fx(t)δT (t)

F



x(nT
)δ
(t

nT
)
表示

DTFTxn X ejω xnejnωd ω n
IDTFT X ejω xn 1 π X ejω ejnω d ω 2π π
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二．傅氏变换、拉氏变换、z变换的关系
1. 三种变换的比较 2.频率的比较 3.s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换 4.z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏变换 （DTFT）
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3．s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换
σ 0, s jΩ
HjΩ Hs sjΩ
4. z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏 变换（DTFT）
z 1, z ejω
X jω X z zejω
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1．三种变换的比较
变换名称 信号类型 变量
傅里叶变 拉普拉斯
换
变换
连续信号
xt
z变换
离散信号
xnT
jΩ
s σ jΩ
z esT
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拉氏变换

Xs s xnT esnT
n
esT z,
nT n
n
与z变换之关系
jIm s 虚轴(s j )
O
Re s
jIm z

O
单位圆
(z ej ) 1
Re z

X z xnzn n
令z ejω , z 1,即 单 位 圆 上 的z变 换
周期为
2
X ejω X z zejω
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