义务教育八年级下学期期末数学冲刺试卷两份合编十附答案解析版.doc

义务教育八年级下学期期末数学冲刺试卷两份合编
十附答案解析版
八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）：下面各题均有四个选项，其中只有一个符合题意.
1.在平面直角坐标系屮，点P （3，-5）在（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.下列环保标志中，是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
3.一个多边形的内角和是720°，这个多边形是（）
A.五边形
B.六边形
C.七边形
D.六边形
4.如图，在oA BCD中，ZD=12 0°,则ZA的度数等于（）
A. 120 °
B. 60°
C. 40°
D. 30°
5.如果4x=5y （y关0），那么下列比例式成立的是（）
A. =
B. =
C. =
D. =
6.如图，M是RtAABC的斜边BC上一点（M不与B、C重合），过点M作直
线截AABC，所得的三角形与AABC相似，这样的直线共有（）
A. 0条
B. 2条
C. 3条
D.无数条
7.甲和乙一起练习射击，第一轮10枪打完后两人的成绩如图所示.设他们这10次射击成绩的方差为Srp2、S^2,下列关系正确的是（
A. S,/<S^2
B. Sq,2〉S 乙2
C. S ,/=S
D.无法确定
8.菱形ABCD的对角线AC=6, BD=8,那么边AB的长度是（）
A. 10
B. 5
C.
D.
9.如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕
C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动.现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm,已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5: 1,则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压（）
A. 100cm
B. 60c m
C. 50cm
D. 10cm
10.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点0，E，F分别是边BC, AD的中点，AB=2 , BC=4, 一动点P从点B出发，沿着B-A-D-C在矩形的边上运动，运动到点C 停止，点M为图1中某一定点，设点P运动的路程为X, △ BPM的而积为y，表示y 与x的函数关系的图象大致如图2所示.则点M的位置可能是图1屮的（）
A.点C
B.点0
C.点E
D.点F
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.函数的自变量x的取值范围是_____ .
12."今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？"这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD,城墙CD长9里，城墙BC长7里，东门所在的点E,南门所在的点F分别是CD, BC 的中点，EG丄CD, EG=15里，FH丄BC,点C在HG上，问FH等于多少里？答案是FH= 里.
13.四边形A BCD中，ZA=ZB =ZC=90°,请你再添加一个条件，使该四边形是正方形，你所添加的条件是_.
14.五子棋的比赛规则是一人执黑子，一人执白子，两人轮流出棋，每次放一个棋子在棋盘的格点处，只要有同色的五个棋子先连成一条线（横、竖、斜均可）就获得胜利.如图是两人正在玩的一盘祺，若白祺A所在点的坐标是（-2, 2）,黑棋B所在点的坐标是（0, 4）,现在轮到黑棋走，黑棋放到点C的位置就获得胜利，点C的坐标是 .
15.己知一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，请你赋予k和b具体的数值，写出一个符合条件的表达式_.
16.阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：过直线外一点作己知直线的平行线.
已知：直线I及其外一点A .
求作：I的平行线，使它经过点A.
小云的作法如下：
(1)在直线丨上任取两点B, C;
(2)以A为圆心，以BC长为半径作弧；以C为圆心，以AB长为半径作弧, W弧相交于点D;
(3)作直线AD.
直线AD即为所求.
老师说："小云的作法正确."请回答：小云的作图依据是
三、解答题(本题共72分，第17-2 6题，每小题5分，第27题7分，第28 题7分，第29题8分)
17.证明：如果，那么
18.如图，AABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且满足AB*AD=AE *AC,连接DE 求证：ZABC=ZAED .
19.如图，在平面直角坐标系屮，一次函数¥=1^+6的图象与x轴交点为A (-
3, 0)，与y轴交点为B,且与正比例函数的图象的交于点C (m, 4).
(1)求m的值及一次函数y=kx+b的表达式；
(2)若点P是y轴上一点，且ABPC的面积为6,请直接写出点P的坐标.
20.如图，E，F是oABCD的对角线AC上两点，KAE=CF,请你写出图中的一对全等三角形并对其进行证明.
21.如图，己知直线AB的函数表达式为y=2x+10，与x轴交点为A,与y轴交点为B .
(1)求A, B两点的坐标；
(2)若点P为线段AB上的一个动点，作PE丄y轴于点E, PF丄x轴于点F,连接EF.是否存在点P,使EF的值最小？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由.
22.如图，延长AABC的边BC到D,使CD=B C.取AB的屮点F,连接FD交AC于点E.求EC: AC的值.
23. 2016年4月12日，由国家新闻出版广电总局和北京市人民政府共冋主办的"2016书香中国暨北京阅读季〃启动仪式于在我区良乡体育馆隆重举行.房山是北京城发展的源头，历史源远流长，文化底蕴深厚.启动仪式上，全国书香家庭及社会各界代表，与我区近2000名中小学师生一起，在这传统文化与现代文明交相辉映的地方，吟诵经典篇章，倡导全面阅读.为了对我区全民阅读状况进行调查和评估，有关部门随机抽取了部分市民进行每天阅读时间情况的调査，并根据调査结果制做了如下尚不完整的频数分布表(被调杳者每天的阅读时间均在0〜120分钟之内)：
(1)表格中，m= _； n=_；被调查的市民人数为_.
(2)补全频数分布直方图；
(3)我区H前的常住人口约有103万人，请估计我区每天阅读时间在60〜120 分钟的市民大约有多少万人？
24 .某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产
A、B两种产品共50件.已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克、
乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1 200元.设生产A种产品的生产件数为X，A、B 两种产品所获总利润为y (元).
(1)试写出y与x之间的函数关系式；
(2)求出变量x的取值范围；
(3)利用函数的性质说明哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？
25.在同一坐标系中画出了三个一次函数的图象：
y=l - x，y=x+l 和y=3x - 1 (1)求y=l - x和y=3 x -
1的交点A的坐标；
(2)根据图象填空：
① ______ 当 x 时 3x - l 〉x+l;
②当 X ___ 吋 1 - x 〉x+l;
(3)对于三个实数a ，b ，c ，用max{a, b,
c}表示这三个数中最大的数，如
m ax{ - 1, 2, 3} =3, max{ - 1, 2, a
直接写出max{l - x, x+1, 3x-l}的最小值
26. 小东根据学习一次函数的经验，对函数y=|2x-1|的图象和性质进行了探 究.下面是小东的探究过程，请补充完成：
(1)函数y=|2 x - 1|的自变量x 的取值范围是 ______ ；
(2 )己知：
门 ② 当 x 〉时，y= 2x - 11 =2x - 1
③ 当 x< 时，y=|2x - l|=l - 2x ；
显然，②和③均为某个一次函数的一部分.
(3)由(2)的分析，取5个点可岡出此函数的图象，请你帮小东确定下表中
(4) 在平面直角坐标系xOy 屮，作出函数y=|2x-1|的图象
(5) 根据函数的图象，写出函数y=|2x-l|的一条性质.,请观察三个函数的图象
时，y= 2x - 11 =0 ；
①当x= 第5个点的坐标(m, n)，其中m: n=
27.四边形AB CD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边屮点得到的新四边形EFGH称为屮点四边形.
(1)我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形.特殊的：
①当对角线AC =BD时，四边形AB CD的中点四边形为____ 形；
②当对角线AC丄BD时，四边形AB CD的中点四边形是____ 形.
(2)如图：四边形ABCD屮，已知ZB=ZC=60°,且BC=AB+CD,请利用(1) 中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明.
2 8.在学习了正方形后，数学小组的同学对正方形进行了探究，发现：
(1)如图1,在正方形ABCD中，点E为BC边上任意一点(点E不与B、C重合)，点F在线段AE上，过点F的直线MN丄A E，分别交AB、CD于点M、N.此时，有结论AE=MN，请进行证明；
(2)如图2:当点F为AE屮点时，其他条件不变，连接正方形的对角线BD,
MN与BD交于点G,连接BF,此吋有结论：BF=FG,请利用图2做出证明.
(3 )如图3:当点E为直线BC上的动点时，如果(2)中的其他条件不变，直线MN分别交直线AB、CD于点M、N,请你直接写出线段AE与MN之间的数量关系、线段BF与FG之间的数量关系.
2 9.如图所示，将菱形ABCD放置于平面直角坐标系中，其中AB边在y轴上,
点C坐标为（4, 0）.直线m : 经过点B，将该直线沿着y轴以每
秒1个单位的速度向上平移，设平移吋间为t,经过点D吋停止平移.
（1）填空：点D的坐标为_；
（2）设平移时间为t,求直线m经过点A、C、D的时间t ;
（3）已知直线m与BC所在直线互相垂直，在平移过程中，直线m被菱形ABCD截得线段的长度为I,请写出I与平移时间t的函数关系表达式（不必写出详细的解答过程，简要说明你的解题思路，写清结果即可）.
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3 分，共30分）：下面各题均有四个选项，其中只有一个符合题意.
1.在平面直角坐标系中，点P （3，-5）在（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限【考点】点的
坐标.
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答.
【解答】解：点P （3，-5）在第四象限. 故选D.
2.下列环保标志中，是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
【考点】中心对称图形.
【分析】根据屮心对称图形的概念求解即可.
【解答】解：A、是中心对称图形，本选项正确;
B、不是中心对称图形，木选项错误；
C、不是中心对称图形，本选项错误；
D、不是中心对称图形，本选项错误.
故选A.
3.—个多边形的内角和是720°,这个多边形是（）
A.五边形
B.六边形
C.七边形
D.六边形【考点】多
边形内角与外角.
【分析】利用n边形的内角和可以表示成（n-2） *180 °,结合方程即可求出答案. 【解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意，得
（n - 2 ）180°=720°,
解得：n=6,
故这个多边形是六边形.
故选：B.
4.如图，在°ABCD中，ZD =120°,则ZA的度数等于（
A. 120°
B. 60°C . 40° D. 30°
【考点】平行四边形的性质.
【分析】根据平行四边形的邻角互补即可得出ZA的度数. 【解答】解：YABCD是平行四边形，
AAB//CD,
•••ZA=180° - ZD=60°.
故选B.
5.如果4x=5y （y关0），那么下列比例式成立的是（）
【考点】比例的性质.
【分析】根据等式的性质：等式的两边都除以同一个不为零的数，结果不变，可得答案.
【解答】解：4x=5y （y关0），两边都除以20,得 =,故B正确；
故选：B.
6.如图，M是RtAAB C的斜边BC上一点（M不与B、C重合），过点M作直线截AABC,所得的三角形与AABC相似，这样的直线共有（）
A. 0条
B. 2条
C. 3条
D.无数条
【考点】相似三角形的性质.
【分析】根据题意可得过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意.
【解答】解：•••截得的三角形与AABC相似，
/.过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题
意.
.•.过点M作直线I共有三条,
故选：C.
7.甲和乙一起练习射击，第一轮10枪打完后两人的成绩如图所示.设他们这10次射击成绩的方差为S ,/、S^2,下列关系正确的是（）
A. 5,/<5乙2
B. S n,2〉S 乙2
C. S…,2=S^2
D.无法确定【考点】方差.
【分析】结合图形，乙的成绩波动比较大，则波动大的方差就大.
【解答】解：从图看出：甲选手的成绩波动较小，说明它的成绩较稳定，乙的波动较大，则其方差大，
故选：A.
8.菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8,那么边AB的长度是（）
A. 10
B. 5C . D.
【考点】菱形的性质.
【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长. 【解答】解：根据题意，设对角线AC、BD相交于O,
•.•四边形ABCD是菱形，
••• AC=3, B 0= BD=4,且AO 丄BO,
故选：B.
9.如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端吋，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动.现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂A C与阻力臂BC之比为5: 1,则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压（）
A. 100cm
B. 6 0cm
C. 50cmD . 10cm
【考点】相似三角形的应用.
【分析】利用相似比解题，在实际操作过程中，用力方向是平行的，构成两个相似三角形.
【解答】解：假设向下下压x厘米，则 ==5,解得x=50
故选C.
10.如图，矩形AB CD中，对角线AC，BD交于点0, E, F分别是边BC，AD 的中点，AB=2, BC =4, 一动点P从点B出发，沿着B-A-D - C在矩形的边上运动，运动到点C停止，点M为图1屮某一定点，设点P运动的路程为x , △ BPM的面积为y,表示y 与x的函数关系的图象大致如图2所示.则点M的位置可能是图1中的（）
A .点C B.点OC.点E D.点F
【考点】动点问题的函数图象.
【分析】从图2中可看出当x=6时，此时AB PM的面积为0,说明点M —定在
BD上，选项中只有点0在BD上，所以点M的位置可能是图1中的点0.
【解答】解：VAB=2, BC=4,四边形AB CD是矩形，
.•.当x=6吋，点P到达D点，此吋ABPM的面积为0,说明点M —定在B D上，/.从选项中可得只有0点符合，所以点M的位置可能是图1中的点0.
故选：B.
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.函数的自变量x的取值范围是x#3 .
【考点】函数自变量的取值范围.
【分析】根据分母不等于0列不等式求解即可.
【解答】解：由题意得，x - 3^0,
解得x^3.
故答案为：X7^3.
12 ."今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：
出南门几何步而见木？〃这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池AB CD,城墙CD长9里，城墙BC长7里，东门所在的点E ,南门所在的点F 分别是CD, BC 的中点，EG丄CD，EG=15里，FH丄BC，点C在HG上，问FH等于多少里？答案是FH= 1.05里.
【考点】三角形综合题；勾股定理的应用.
【分析】首先根据题意得到△GEAc-AAFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可.
【解答】解：EG丄AB, FH丄AD, HG经过A点，
.•.FA//EG, EA//FH,
A ZHFA=ZAEG=9 0°, ZFHA=ZE AG,
AGEA^AAFH,
/. EG： FA=EA： FH,
•••AB =9 里，DA=7 里，EG=15 里，
•••FA =3.5 里，EA=4.5 里，
A15： 3.5=4.5： FH,
解得：FH=1.05里.
故答案为：1.05 .
13.四边形ABCD中，ZA=ZB=ZC=90°,请你再添加一个条件，使该四边形是正方形，
你所添加的条件是AB=BC .
【考点】正方形的判定.
【分析】先由ZA=ZB=ZC=9 0°,得出四边形AB CD是矩形，再根据正方形的判定：有一组邻边相等的矩形是正方形可得出结果.
【解答】解:VZA=ZB=ZC=90°,
.•.四边形ABCD是矩形，
又*/有一组邻边相等的矩形是正方形，
.•.可填：A B=BC.
故答案为A B=BC.
14.五子棋的比赛规则是一人执黑子，一人执白子，两人轮流出棋，每次放一个棋子在棋盘的格点处，只要有同色的五个棋子先连成一条线（横、竖、斜均可）就获得胜利.如图是两人正在玩的一盘祺，若白祺A所在点的坐标是（- 2,2），黑棋B所在点的坐标是（0，4）,现在轮到黑棋走，黑棋放到点C的位置就获得胜利，点C的坐标是（3, 3）.
【考点】坐标确定位置.
【分析】根据题意可以画出相应的平而直角坐标系，从而可以得到点C的坐标. 【解答】解：由题意可得，如右图所示的平面直角坐标系，
故点C的坐标为（3，3 ），
故答案为：（3, 3）.
15.已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，请你赋予k和b具体的数值，写出一个符合条件的表达式y=x-l，答案不唯一.
【考点】一次函数图象与系数的关系.
【分析】经过第一、三象限，说明x的系数大于0,得k〉0, 乂经过第四象限，说明常数项小于0，即b<o，即可确定k的取值范围.
【解答】解：由题意得，k>0, b<0
故符合条件的函数可以为：y=x-l
故答案为：y=x - 1,答案不唯一.
16.阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：过直线外一点作己知直线的平行线. 已知：直线I及其外一点A.
求作：I的平行线，使它经过点A.
小云的作法如下：
(1)在直线I上任取两点B，C;
(2)以A为圆心，以BC长为半径作弧；以C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧相交于点D;
(3)作直线AD.
直线AD即为所求.
老师说："小云的作法正确."请回答：小云的作图依据是四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平
行四边形对边平行；两点确定一条直线.(此题答案不唯一，能够完整地说明
依据且正确即可).
【考点】作图一复杂作图.
【分析】利用菱形的性质得出作出以A，B, C，D为顶点的四边形，进而得出答案.
【解答】解：由题意可得，小云的作图依据是：四条边都相等的四边形是菱形; 菱形的对边平行.(本题答案不唯一).
故答案为：四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行.
三、解答题(本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题
7分，第29题8分)
17.证明：如果，那么
【考点】比例的性质.
【分析】设，得出a=bk, c=dk,代入即可得出答案.
【解答】证明：，可设，
• •a=b k，c=dk，
18.如图，AABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且满足A B*AD=AE*AC , 连接DE 求证：ZABC=ZAED.
【考点】相似三角形的判定与性质.
【分析】由A D*AC=AE*AB , ZA是公共角，即可证得AADE⑺AAB C,又由相似三角形的对应角相等，即可求得答案.
【解答】证明：VAB*AD=AE*AC,
又...ZA=ZA, •••△ABC ⑺ AAED,
A ZABC=ZAED.
19.如图，在平面直角坐标系屮，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为A (-
3, 0),与y轴交点为B,且与正比例函数的图象的交于点C (m, 4).
(1)求m的值及一次函数丫=1^+匕的表达式；
(2)若点P是y轴上一点，且AB PC的面积为6，请直接写出点P的坐标.
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征.
【分析】(1)首先利用待定系数法把C (m，4)代入正比例函数中，计算出m的值，进而得到C点坐标，再利用待定系数法把A、C两点坐标代入一次函数y=kx+b中，计算出k、b的值，进而得到一次函数解析式.
(2)利用ABPC的面积为6，即可得出点P的坐标.
r«KR" 1
【解答】解：(1) 点C (m，4)在正比例函数的图象上，
•••*m, m=3 即点 C 坐标为(3，4 ).
•••一次函数y=kx+b 经过 A ( - 3 , 0)、点C(3, 4)
解得：
/. 一次函数的表达式为
(2) 点P是y轴上一点，且ABPC的面积为6,
•••点P 的坐标为(0, 6)、(0, -2)
20.如图，E, F是°ABCD的对角线A C上两点，且AE=C F，请你写出图中的一对全等三角形并对其进行证明.
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定.
【分析】图屮的相似三角形有：AADEgACBF、AABF^ACDE, CDA
AABC^A 【解答】①AADEgACBF (或AABFPACDE, AABC ^ACDA) 证明：Y四边形AB
CD是平行四边形，
•••AD//BC, AD=BC
A ZDA E=ZBCF
在AA DE和ACBF中
AAADE^ACBF (SAS)
②AABF舀ACD E
证明：Y四边形AB CD是平行四边形，
•••AB//DC, AB=DC
•••ZBA F=ZDCE
VAE=CF,
•••A E+EF=CF+EF ,
•••AF=CE
在AA BF和ACDE中，
A AABF^ACDE (SAS)
③AABC ^ACDA
证明：四边形ABCD是平行四边形，
•••AD//BC，AB//DC,
•••ZBA C=ZDCA,
在AABC 与ACDA 中，，
/.AABC^ACDA (ASA)
注：学生答三种情况之一即可.
21.如图，已知直线AB的函数表达式为y =2x+10，与x轴交点为A，与y轴交点为B.
(1)求A, B两点的坐标；
(2)若点P为线段AB上的一个动点，作PE丄y轴于点E, PF丄x轴于点F,连接EF.是否存在点P,使EF的值最小？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由.
【考点】一次函数综合题.
【分析】(1)在一次函数y=2x+10中，分别令x=0和y=0，解相应方程，可求得
A、B两点的坐标；
(2)由矩形的性质可知EF=OP,可知当OP最小时，则EF有最小值，由垂线段最短可知当0P丄AB时，满足条件，由条件可证明AAOB⑺AOPB ,利用相似三角形的性质可求得0P的长，即可求得EF的最小值.
【解答】解：
(1)一次函数y=2x+10，
令x=0,则y=10,令y=0,则x = -5,
•••点A坐标为(-5, 0),点B坐标为(0, 10)；
(2)存在点P使得E F的值最小，
理由如下：
•••PE丄y轴于点E, PF丄x轴于点F,
•••四边形PEOF是矩形，且EF=OP,
为定点，P在线段上AB运动，
.•.当0P丄AB吋，0P取得最小值，此吋EF最小，
Y点A坐标为(-5, 0)，点B坐标为(0, 10),
.••0A=5, 0 B=10,
由勾股定理得：AB=ZZ
•••ZAOB=90, OP丄AB,
•••△AOB ⑺ AOPB,
•••OP=,
即存在点P使得E F的值最小，最小值为
22.如图，延长AABC的边BC到D,使CD=BC.取AB的中点F,连接F D交AC 于点E.求EC: AC的值.
【考点】平行线分线段成比例.
TWW-l Mori
【分析】取BC中点G，则CG= BC,连接GF，得出FG//A C, FG= AC,证出
1J
EC= FG,进而得出答案.
【解答】解：取BC屮点G,则CG= BC，连接GF，如图所示：
又7F为AB中点，
•••FG//AC,且FG= AC,
••• EC//FG,
n
•••CG= BC, DC=BC
u
设CG =k,那么DC=BC =2k, DG=3k
/. 即，
••.EC: AC=1： 3 .
23.2016年4月12円，由国家新闻出版广电总局和北京市人民政府共同主办的"2016书香中国暨北京阅读季"启动仪式于在我区良乡体育馆隆重举行.房山是北京城发展的源头，历史源远流长，文化底蕴深厚.启动仪式上，全国书香家庭及社会各界代表，与我区近2000名中小学师生一起，在这传统文化与现代文明交相辉映的地方，吟诵经典篇章，倡导全面阅读.为了对我区全民阅读状况进行调查和评估，有关部门随机抽取了部分市民进行每天阅读时间情况的调斉，并根据调斉结果制做了如下尚不完整的频数分布表(被调杳者每天的阅读时间均在0〜120分钟之内)：
(1)表格中，m= 100 ； n= 0.05 ；被调查的市民人数为10 00 .
(2)补全频数分布直方图；
(3)我区H前的常住人口约有103万人，请估计我区每天阅读时间在60〜120 分钟的市民大约有多少万人？
【考点】频数（率）分布直方图：用样本估计总体：频数（率）分布表.
【分析】（1）根据0^x<30的频数和频率先求出总人数，用总人数乘以60<x <90的频率求出m ,用90^x^120的频数除以总人数求出n;
（2）根据（1）求出的总人数，补全统计图即可；
（3）用常住人口数乘以阅读时间在60〜120分钟的人数的频率即可得出答案.
--
【解答】解：（1）根据题意得：被调査的市民人数为=1000 （人），
m=10 00X0.1=100，
n= =0.05；
故答案为:100, 0.05, 1000；
（2 ）根据（1）补图如下：
（3）根据题意得:103X （0.1+0.05） =15.45 （万人）
估计我区每天阅读时间在60〜1 20分钟的市民大约有15.45万人.
24.某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产
A、B两种产品共50件.己知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克、
乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元.设生产A种产品的生产件数为X，A、B 两种产品所获总利润为y (元).
(1)试写出y与X之间的函数关系式；
(2)求出自变量x的取值范围；
(3)利用函数的性质说明哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？
【考点】一次函数的应用；一元一次不等式组的应用.
【分析】(1)由于用这两种原料生产A、B两种产品共50件，设生产A种产品x件，那么生产B种产品(50 -X)件.由A产品每件获利700元，B产品每件获利1200元，根据总利润=700 XA种产品数量+12 00XB种产品数量即可得到y与X之间的函数关系式；
(2)关系式为：A种产品需耍中种原料数量+B种产品需耍甲种原料数量＜3 60;
A种产品需要乙种原料数量+B种产品需要乙种原料数量＜2 90,把相关数值代入得到不等式组，解不等式组即可得到自变量x的取值范围；
(3)根据(1)中所求的y与x之间的函数关系式，利用一次函数的增减性和
(2)得到的取值范围即可求得最大利润.
【解答】解：(1)设生产A种产品x件，则生产B种产品(50-x)件，
由题意得：y =700x+1200 (50 -x) = - 50 0x+60000,
即y与x之间的函数关系式为y= - 500X+60000；
(2)由题意得
解得30彡x彡32.
Yx为整数，
•••整数x=30, 31 或32;
(3) •/y= - 500X+6000 0，- 500<0,
/.y随x的増大而减小，
•••x=30, 31 或 3 2，
•'当x=30 时，y 有最大值为-500 X30+60000=45000.
即生产A种产品30件，B种产品20件时，总利润最大，最大利润是450 00元.
25.在同一坐标系屮画出了三个一次函数的图象：
y=l - x, y=x+l 和y=3x - 1
(1)求y=l-x和y=3x-l的交点A的坐标；
(2)根据图象填空：
①当x 〉1 时3x - l〉x+l;
②当x <0 时 1 - x >x+l；
(3)对于三个实数a，b，c：用max{a, b, c }表示这三个数中最大的数，如
max{ -1,2, 3} =3, ma x{ - 1, 2, a}= ,请观察三个函数的图象，直接写出max{l-x，x+1, 3x-l}的最小值.
【考点】两条直线相交或平行问题.
【分析】(1)根据解方程组可以求得y=l_x和y=3x-l的交点A的坐标；
(2)根据一元一次不等式与一次函数的关系进行判断即可；
(3)分情况进行讨论，根据图象利用自变量取值范围得出函数值的大小关系，进而求出函数值，通过比较得出最小值.
【解答】解：(1) •••
•••解得，
Ay =1 - x和y=3x - 1的交点A的坐标为(，)；
(2)①根据直线的位置可得，当x〉l吋，3x- l>x+l；②根据直线的位置可得，当x<0时，l-x〉l+x;
故答案为：〉1，<0;
(3)根据三个函数图象，可得
当x<0 吋，m ax{l - X，x+1 , 3x - 1} =1 - x ^1；
当0<x< 时，
max{l - x, x+1, 3x
- l}=x+l^l；
max {l - x，x +1, 3x - 1}
所述，max{l-x, x+1, 3x-l}的最小值是1.
26.小东根据学习一次函数的经验，对函数y=|2x _1|的图象和性质进行了探究.下
面是小东的探究过程，请补充完成：
(1)函数v=|2x-l|的自变量x的取值范围是全体实数；
(2)已知：
①当x=吋，y=|2x _1丨=0;
②当X〉时，y= 12x - 1 =2x - 1
③当x< 时，y= 2x - 11 =1 ~ 2x；
显然，②和③均为某个一次函数的一部分.
(3)由(2)的分析，取5个点可画出此函数的图象，请你帮小东确定下表屮
第5个点的坐标(m: n)，其中m= 3 ; n= 5 ；:
(4)在平面直角坐标系xOy中，作出函数y=|2x-1|的图象；
(5)根据函数的图象，写出函数y=|2x _1|的一条性质.
【考点】一次函数的性质；一次函数的图象.
【分析】(1)函数y=|2x-l|的自变量x的取值范围是全体实数；
(3)取m=3，把x=3代入y=|2 x - l|计算即可；
(4)根据(3)中的表格描点连线即可；
(5 )根据函数的图象，即可求解.
【解答】解：(1)函数y=|2x - 1|的自变量x的取值范围是全体实数; 故答案为全体实数；
(3 ) m、n的取值不唯一，取m=3,
把x=3 代入y=|2x-l|,得y=|2X3 - 1 |=5，即m=3, n =5.
故答案为3, 5;
(4)图象如右:
(5)当x=时，函数y = | 2x - l|有最小值0.
27.四边形ABCD屮，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的屮点，顺次连接各边中点得到的新四边形EF GH称为中点四边形.
(1)我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形E FGH都是平行四边形.特殊的：
①当对角线AC=BD时，四边形ABCD的中点四边形为菱形形;
②当对角线AC丄BD时，四边形ABCD的屮点四边形是矩形形.
(2)如图：四边形ABCD中，已知ZB=ZC=60°，且BC=AB+CD,请利用(1) 中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明.
【考点】四边形综合题.
【分析】(1)①连接AC、B D,根据三角形中位线定理证明四边形EFG H都是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明；
②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明；
(2)分别延长BA、匚0相交于点1\/1，连接AC、BD，证明AAB C^ADMB,得到AC=DB,根据(1)①证明即可.
【解答】解：(1)①连接AC、BD，
•.•点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点,
•••EH//BD，FG//BD,
•••EH//FG,
同理EF//HG,
/.四边形EFGH都是平行四边形，
Y对角线AC=BD，
•••EH=EF,
/.四边形ABC D的中点四边形是菱形；
②当对角线AC丄BD时，EF丄EH，
/.四边形ABCD的中点四边形是矩形；
(2)四边形ABCD的屮点四边形EFGH是菱形.理由如T: 分别延
长BA、CD相交于点M,连接AC、BD, VZABC=ZBCD=60°,
/. ABCM是等边三角形，
•••M B=BC=CM, ZM=6 0°,
... BC=AB+CD,
••• MA+AB=AB+CD=CD+D M
•••MA=CD，DM =AB,
在AABC和ADMB巾，
•••△A BC^ADMB,
••.AC=DB,
/.四边形A BCD的对角线相等，中点四边形EFGH是菱形.
28.在学了正方形后，数学小组的同学对正方形进行了探究，发现：
(1)如图1，在正方形ABC D中，点E为BC边上任意一点(点E不与B、C 重合)，点F在线段AE上，过点F的直线MN丄AE，分别交AB、CD于点M、
N .此时，有结论AE=MN，请进行证明；
(2)如图2:当点F为AE中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线BD,。