东兰县第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

东兰县第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 函数f （x ）=x 2﹣2ax ，x ∈[1，+∞）是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．R
B ．[1，+∞）
C ．（﹣∞，1]
D ．[2，+∞）
2． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（
）
A ．四棱柱
B ．四棱锥
C ．三棱台
D ．三棱柱
3． 已知复合命题p ∧（￢q ）是真命题，则下列命题中也是真命题的是（
）
A ．（￢p ）∨q
B ．p ∨q
C ．p ∧q
D ．（￢p ）∧（￢q ）
4． 以过椭圆+
=1（a ＞b ＞0）的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的位置关系是（ ）
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不能确定
5． 已知集合（其中为虚数单位），，则（ ）23111
{1,(),,}122
i A i i i i -=-+-+2{1}B x x =<A B =
A ．
B ．
C ． {1}-{1}{-
D ．6． 已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）﹣g （x ）=x 3﹣2x 2，则f （2）+g （2）=（ ）A ．16
B ．﹣16
C ．8
D ．﹣8
7． 设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m ∥l ，m ⊥α，则l ⊥α；②若m ∥l ，m ∥α，则l ∥α；
③若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，则l ∥m ∥n ；④若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，n ∥β，则l ∥m ．其中正确命题的个数是（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8． 设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的()()21x
f x e x ax a =--+1a <()0f t <取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．3,12e ⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭33,24e ⎡⎫
-
⎪⎢⎣
⎭33,24e ⎡⎫
⎪⎢
⎣
⎭3,12e ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
1111]
9． 某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在内的人数分别为（
）
[]90,100
A ．20，2
B ．24，4
C ．25，2
D ．25，4
10．在“唱响内江”选拔赛中，甲、乙两位歌手的5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别
、
，则下列判断正确的是（
）
A ．＜，乙比甲成绩稳定
B ．＜，甲比乙成绩稳定
C ．＞，甲比乙成绩稳定
D ．＞，乙比甲成绩稳定
11．已知圆方程为，过点与圆相切的直线方程为（ ）
C 22
2x y +=(1,1)P -C A ． B ． C ．
D ．20x y -+=10x y +-=10x y -+=20
x y ++=12．设A ，B 为两个不相等的集合，条件p ：x ∈A ∩B ，条件q ：x ∈A 或x ∈B ，则p 是q 的（
）
A ．充分且必要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
二、填空题
13．已知变量x ，y ，满足，则z=log 4（2x+y+4）的最大值为　
．
14．（本小题满分12分）点M （2pt ，2pt 2）（t 为常数，且t ≠0）是拋物线C ：x 2＝2py （p ＞0）上一点，过M 作倾斜角互补的两直线l 1与l 2与C 的另外交点分别为P 、Q .
（1）求证：直线PQ 的斜率为－2t ；
（2）记拋物线的准线与y 轴的交点为T ，若拋物线在M 处的切线过点T ，求t 的值．15．设实数x ，y 满足，向量=（2x ﹣y ，m ），=（﹣1，1）．若∥，则实数m 的最大值为
．　16．= ．
三、解答题
17．（本小题满分12分）已知且过点的直线与线段有公共点, 求直()()2,1,0,2A B ()1,1P -AB 线的斜率的取值范围.
18．设集合A={x|0＜x ﹣m ＜3}，B={x|x ≤0或x ≥3}，分别求满足下列条件的实数m 的取值范围．（1）A ∩B=∅；（2）A ∪B=B ．
19．已知函数f （x ）=sin2x •sin φ+cos 2x •cos φ+sin （π﹣φ）（0＜φ＜π），其图象过点（，．）
（Ⅰ）求函数f （x ）在[0，π]上的单调递减区间；（Ⅱ）若x 0∈（，π），sinx 0=，求f （x 0）的值．
20．（本题满分15分）
如图，已知长方形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面
ABCD 2AB =1AD =M DC ADM ∆AM 平面．
⊥ADM ABCM （1）求证：；
BM AD ⊥（2）若，当二面角大小为
时，求的值．
)10(<<=λλDB DE D AM E --3
π
λ
【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．
21．（本小题满分12分）已知函数，数列满足：，（）.21
()x f x x +=
{}n a 12a =11n n a f a +⎛⎫= ⎪⎝⎭
N n *∈（1）求数列的通项公式；
{}n a （2）设数列的前项和为，求数列的前项和.
{}n a n n S 1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
n n T 【命题意图】本题主要考查等差数列的概念，通项公式的求法，裂项求和公式，以及运算求解能力.
22．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：
[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]（Ⅰ）求图中x 的值，并估计该班期中考试数学成绩的众数；
（Ⅱ）从成绩不低于90分的学生和成绩低于50分的学生中随机选取2人，求这2人成绩均不低于90分的概率．
东兰县第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：由于f（x）=x2﹣2ax的对称轴是直线x=a，图象开口向上，
故函数在区间（﹣∞，a]为减函数，在区间[a，+∞）上为增函数，
又由函数f（x）=x2﹣2ax，x∈[1，+∞）是增函数，则a≤1．
故答案为：C
2．【答案】A
【解析】
试题分析：由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，直角梯形的上下底分别为3和4，直角腰为1，棱柱的侧棱长为1，故选A.
考点：三视图
【方法点睛】本题考查了三视图的问题，属于基础题型，三视图主要还是来自简单几何体，所以需掌握三棱锥，四棱锥的三视图，尤其是四棱锥的放置方法，比如正常放置，底面就是底面，或是以其中一个侧面当底面的放置方法，还有棱柱，包含三棱柱，四棱柱，比如各种角度，以及以底面当底面，或是以侧面当底面的放置方法，还包含旋转体的三视图，以及一些组合体的三视图，只有先掌握这些，再做题时才能做到胸有成竹.
3．【答案】B
【解析】解：命题p∧（￢q）是真命题，则p为真命题，￢q也为真命题，
可推出￢p为假命题，q为假命题，
故为真命题的是p∨q，
故选：B．
【点评】本题考查复合命题的真假判断，注意p∨q全假时假，p∧q全真时真．
4．【答案】C
【解析】解：设过右焦点F的弦为AB，右准线为l，A、B在l上的射影分别为C、D
连接AC、BD，设AB的中点为M，作MN⊥l于N
根据圆锥曲线的统一定义，可得
==e，可得
∴|AF|+|BF|＜|AC|+|BD|，即|AB|＜|AC|+|BD|，
∵以AB为直径的圆半径为r=|AB|，|MN|=（|AC|+|BD|）
∴圆M到l的距离|MN|＞r，可得直线l与以AB为直径的圆相离
故选：C
【点评】本题给出椭圆的右焦点F，求以经过F的弦AB为直径的圆与右准线的位置关系，着重考查了椭圆的简单几何性质、圆锥曲线的统一定义和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
5．【答案】D
【解析】
考点：1.复数的相关概念；2.集合的运算
6．【答案】B
【解析】解：∵f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3﹣2x2，
∴f（﹣2）﹣g（﹣2）=（﹣2）3﹣2×（﹣2）2=﹣16．
即f（2）+g（2）=f（﹣2）﹣g（﹣2）=﹣16．
故选：B．
【点评】本题考查函数的奇函数的性质函数值的求法，考查计算能力．
7．【答案】B
【解析】解：∵①若m∥l，m⊥α，
则由直线与平面垂直的判定定理，得l⊥α，故①正确；
②若m∥l，m∥α，则l∥α或l⊂α，故②错误；
③如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
平面ABB1A1∩平面ABCD=AB，
平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1，
平面ABCD∩平面BCC1B1=BC，
由AB 、BC 、BB 1两两相交，得：
若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，则l ∥m ∥n 不成立，故③是假命题；④若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，n ∥β，
则由α∩γ=n 知，n ⊂α且n ⊂γ，由n ⊂α及n ∥β，α∩β=m ，得n ∥m ，同理n ∥l ，故m ∥l ，故命题④正确．故选：B ．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．　
8． 【答案】D 【解析】
考
点：函数导数与不等式．1【思路点晴】本题主要考查导数的运用，涉及划归与转化的数学思想方法.首先令将函数变为两个函
()0f x =数，将题意中的“存在唯一整数，使得在直线的下方”，转化为
()()()21,x
g x e x h x ax a =-=-()g t ()h x 存在唯一的整数，使得在直线的下方.利用导数可求得函数的极值，由此可求得的取值
()g t ()h x ax a =-m 范围.
9． 【答案】C 【解析】
考
点：茎叶图，频率分布直方图．10．【答案】A
【解析】解：由茎叶图可知
=（77+76+88+90+94）=
，
=（75+86+88+88+93）
==86，则
＜
，
乙的成绩主要集中在88附近，乙比甲成绩稳定，
故选：A
【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据平均数和数据的稳定性是解决本题的关键．　
11．【答案】A 【解析】
试题分析：圆心，设切线斜率为，则切线方程为
，由
(0,0),C r =
1(1),10y k x kx y k -=+∴-++=，所以切线方程为，故选
A.
,1d r k =∴=20x y -+=考点：直线与圆的位置关系．12．【答案】B
【解析】解：若x ∈A ∩B ，则x ∈A 或x ∈B 成立，
若x ∈A ，且x ∉A ∩B ，满足x ∈A 或x ∈B 但x ∈A ∩B ，不成立，故p 是q 的充分不必要条件，故选：B
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据集合关系是解决本题的关键．　
二、填空题
13．【答案】
【解析】解：作
的可行域如图：
易知可行域为一个三角形，验证知在点A （1，2）时，z 1=2x+y+4取得最大值8，
∴z=log 4（2x+y+4）最大是，故答案为：．
【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
14．【答案】
【解析】解：（1）证明：l 1的斜率显然存在，设为k ，其方程为y －2pt 2＝k （x －2pt ）．①
将①与拋物线x 2＝2py 联立得，
x 2－2pkx ＋4p 2t （k －t ）＝0，
解得x 1＝2pt ，x 2＝2p （k －t ），将x 2＝2p （k －t ）代入x 2＝2py 得y 2＝2p （k －t ）2，∴P 点的坐标为（2p （k －t ），2p （k －t ）2）．
由于l 1与l 2的倾斜角互补，∴点Q 的坐标为（2p （－k －t ），2p （－k －t ）2），
∴k PQ ＝＝－2t ，2p （－k －t ）2－2p （k －t ）22p （－k －t ）－2p （k －t ）即直线PQ 的斜率为－2t .
（2）由y ＝得y ′＝，x 2
2p x p
∴拋物线C 在M （2pt ，2pt 2）处的切线斜率为k ＝＝2t .2pt p
其切线方程为y －2pt 2＝2t （x －2pt ），又C 的准线与y 轴的交点T 的坐标为（0，
－）．p 2
∴－－2pt 2＝2t （－2pt ）．p 2
解得t ＝±，即t 的值为±.121215．【答案】　6　．
【解析】解：∵ =（2x ﹣y ，m ），=（﹣1，1）．若∥，
∴2x ﹣y+m=0，
即y=2x+m ，
作出不等式组对应的平面区域如图：
平移直线y=2x+m ，
由图象可知当直线y=2x+m 经过点C 时，y=2x+m 的截距最大，此时z 最大．由
，解得，代入2x ﹣y+m=0得m=6．
即m 的最大值为6．
故答案为：6
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用m 的几何意义结合数形结合，即可求出m 的最大值．根据向量平行的坐标公式是解决本题的关键．
16．【答案】　2　．
【解析】解：
=2+lg100﹣2=2+2﹣2=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
　三、解答题
17．【答案】或.
3k ≤-2k ≥【解析】
试题分析：根据两点的斜率公式，求得，，结合图形，即可求解直线的斜率的取值范围.
2PA k =3PB k =-试题解析：由已知，，11212PA k --=
=-12310
PB k --==--所以，由图可知，过点的直线与线段有公共点, ()1,1P -AB 所以直线的斜率的取值范围是:或.
3k ≤-2k ≥
考点：直线的斜率公式.
18．【答案】
【解析】解：∵A={x|0＜x ﹣m ＜3}，∴A={x|m ＜x ＜m+3}，
（1）当A ∩B=∅时；如图：
则
，
解得m=0，（2）当A ∪B=B 时，则A ⊆B ，
由上图可得，m ≥3或m+3≤0，
解得m ≥3或m ≤﹣3．
19．【答案】
【解析】（本小题满分12分）φ
解：（Ⅰ）f （x ）=+﹣
=+
=）
由f （x ）图象过点（）知：
所以：φ=
所以f （x ）=令
（k ∈Z ）即：
所以：函数f （x ）在[0，π]上的单调区间为：
（Ⅱ）因为x 0∈（π，2π），则：
2x 0∈（π，2π）
则：
=sin
所以=）=【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数单调区间的确定，三角函数的求值问题，属于基础题型．
20．【答案】（1）详见解析；（2）.
3λ=
【解析】（1）由于，，则， 2AB =AM BM ==
AM BM ⊥又∵平面平面，平面平面＝，平面，
⊥ADM ABCM ADM ABCM AM ⊂BM ABCM ∴平面，…………3分
⊥BM ADM 又∵平面，∴有；……………6分⊂AD ADM BM AD ⊥
21．【答案】
【解析】（1）∵，∴. 211()2x f x x x +==+11(2n n n
a f a a +==+即，所以数列是以首项为2，公差为2的等差数列，
12n n a a +-={}n a ∴.
（5分）1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=（2）∵数列是等差数列，
{}n a ∴，1()(22)(1)22
n n a a n n n S n n ++=
==+∴. （8分）1111(1)1n S n n n n ==-++
∴1231111n n
T S S S S =++++ 11111111(()()()1223341
n n =-+-+-++-+ . （12分）111n =-+1
n n =+22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由（0.006×3+0.01+0.054+x ）×10=1，解得x=0.018，
前三组的人数分别为：（0.006×2+0.01+0.018）×10×50=20，第四组为0.054×10×50=27人，故数学成绩的众数落在第四组，故众数为75分．
（Ⅱ）分数在[40，50）、[90，100]的人数分别是3人，共6人，
∴这2人成绩均不低于90分的概率
P==．
【点评】本题考查频率分布直方图及古典概型的问题，前者要熟练掌握直方图的基本性质和如何利用直方图求众数；后者往往和计数原理结合起来考查．。