【苏教版】一轮优化探究理数练习：第十一章 第十一节 事件的独立性及二项分布(含解析)

1、抛掷甲、乙两枚骰子，若事件A ：“甲骰子的点数大于2”，事件B ：“甲、乙两枚骰子的点数之和等于7”，求P (B |A )的值。

解析：事件A 包含的基本事件有24个：(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5, 1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，而在事件A 发生的条件下，事件B 包含的基本事件有以下4个：(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6, 1)，故所求概率为P (B |A )＝4
24＝16.
2、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂的合格率是80%，求市场上灯泡的合格率。

解析：记事件A 为“甲厂产品”，事件B 为“乙厂产品”，事件C 为“市场上的灯泡为合格品”，事件C 1为“甲厂生产的灯泡为合格品”，事件C 2为“乙厂生产的灯泡为合格品”，则C ＝AC 1＋BC 2， ∴P (C )＝P (AC 1)＋P (BC 2) ＝P (A )·P (C 1|A )＋P (B )·P (C 2|B ) ＝70%×95%＋30%×80%＝90.5%.
3、某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是2
5，遇到红灯时停留的时间都是1 min.求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是2 min 的概率。

解析：设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是2 min 为事件B ，这名学生上学路上遇到k 次红灯为事件B k (k ＝0,1,2)。

则由题意，得P (B 0)＝(35)4＝81
625， P (B 1)＝C 14(35)3·(25)1＝216
625， P (B 2)＝C 24·
(35)2·(25)2＝216625 由于事件B 等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”， ∴事件B 的概率为P (B )＝P (B 0)＋P (B 1)＋P (B 2)＝513625.
4、某公交公司对某线路客源情况统计显示，公交车从每个停靠点出发后，乘客人数及频率如下表：
(2)全线途经10个停靠点，若有2个以上(含2个)停靠点出发后乘客人数超过18人的概率大于0.9，公交公司就考虑在该线路增加一个班次，请问该线路需要增加班次吗？
解析：(1)由表知，乘客人数不超过24人的频率是0.10＋0.15＋0.25＋0.20＝0.70， 则从每个停靠点出发后，乘客人数不超过24人的概率约是0.70.
(2)由表知，从每个停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率约为0.5，设途经10个停靠站，乘车人数超过18人的个数为X ，则X ～B (10,0.5)， ∴P (X ≥2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)
＝1－C 010(1－0.5)10－C 110·
0.5×(1－0.5)9 ＝1－(0.5)10－10×(0.5)10＝1 013
1 024＞0.9， 故该线路需要增加班次、
5、某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A ＝a 1a 2a 3a 4a 5，已知a 1＝1，a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1 的概率为2
3.记ξ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，当程序运行一次时， (1)求ξ＝3的概率； (2)求ξ的概率分布。

解析：(1)已知a 1＝1，要使ξ＝3，只需后四位中出现2个1和2个0.∴P (ξ＝3)＝C 24(23)2·(13)2＝827.
(2)ξ的可能取值为1,2,3,4,5. P (ξ＝1)＝C 04(23)0·(13)4＝181； P (ξ＝2)＝C 14(23)1·(13)3＝881；
P (ξ＝3)＝C 24(23)2·(13
)2
＝
8
27；
P (ξ＝4)＝C 34(23)3·(13)1＝3281； P (ξ＝5)＝C 44(23)4＝1681.
∴ξ的概率分布为
6.0.8，计算： (1)两人都击中目标的概率； (2)其中恰有一人击中目标的概率； (3)至少有一人击中目标的概率。

解析：记“甲射击一次，击中目标”为事件A ，“乙射击一次，击中目标”为事件B .“两人都击中目标”是事件AB ；“恰有1人击中目标”是A B －或A －
B ；“至少有1人击中目标”是AB 或A B －或A －B .
(1)显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件AB ，又由于事件A 与B 相互独立，
所以P (AB )＝P (A )P (B )＝0.8×0.8＝0.64.
(2)“两人各射击一次，恰好有一次击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中(即A B －)，另一种是甲未击中乙击中(即A －
B )，根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A B －与A －
B 是互斥的，所以所求概率为P ＝P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －
)P (B )＝0. 8×(1－0.8)＋(1－0.8)×0.8＝0.16＋0.16＝0.32.
(3)“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为P ＝P (AB )＋[P (A B －
)＋P (A －
B )]＝0.64＋0.32＝0.96.
7.如图，一圆形靶分成A ，B ，C 三部分，其面积之比为1∶1∶
2.某同学向该靶投掷3枚飞镖，每次1枚、假设他每次投掷必定会中靶，且投中靶内各点是随机的。

(1)求该同学在一次投掷中投中A 区域的概率；
(2)设X 表示该同学在3次投掷中投中A 区域的次数，求X 的概率分布； (3)若该同学投中A ，B ，C 三个区域分别可得3分，2分，1分，求他投掷3次恰好得4分的概率。

解析：(1)设该同学在一次投掷中投中A 区域的概率为P (A )，依题意，P (A )＝1
4. (2)依题意知，X ～B (3，1
4
)，从而X 的概率分布为：
(3)设B i 表示事件“第i 次击中目标时，击中B 区域”， Ci 表示事件“第i 次击中目标时，击中C 区域”，i ＝1,2,3. 依题意知P ＝P (B 1C 2C 3)＋P (C 1B 2C 3)＋P (C 1C 2B 3)＝3×14×12×12＝3
16.
8、某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株、设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为23和1
2，且各株大树是否成活互不影响、求移栽的4株大树中： (1)两种大树各成活1株的概率； (2)成活的株数X 的概率分布。

解析：设A k 表示甲种大树成活k 株，k ＝0,1,2， B l 表示乙种大树成活l 株，l ＝0,1,2，
则A k ，B l 独立，由独立重复试验中事件发生的概率公式有P (A k )＝C k 2(23)k (13)2－k
，P (B l )＝C l 2(12)l (12)2－l .
据此算得P (A 0)＝19，P (A 1)＝49，P (A 2)＝4
9， P (B 0)＝14，P (B 1)＝12，P (B 2)＝1
4.
(1)所求概率为P (A 1B 1)＝P (A 1)P (B 1)＝49×12＝2
9. (2)X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，且 P (X ＝0)＝P (A 0B 0)＝P (A 0)P (B 0)＝19×14＝1
36，
P (X ＝1)＝P (A 0B 1)＋P (A 1B 0)＝19×12＋49×14＝1
6，P (X ＝2)＝P (A 0B 2)＋P (A 1B 1)＋P (A 2B 0)
＝19×14＋49×12＋49×14＝1336， P (X ＝3)＝P (A 1B 2)＋P (A 2B 1) ＝49×14＋49×12＝13， P (X ＝4)＝P (A 2B 2)＝49×14＝1
9. 综上知X 的概率分布为。