专题09二次函数的图象及性质(解析版)【苏科版】 2020年中考数学必考经典题讲练案(江苏专用)

2020年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】
专题09二次函数的图象及性质【方法指导】
1.二次函数的图象和性质图象x
y
y=ax2+bx+c(a＞0)
O
x
y
y=ax2+bx+c(a＜0)
O
开口向上向下
对称
轴
x＝
2
b
a
-
顶点
坐标
2
4
,
24
b a
c b
a a
⎛⎫
-
-
⎪
⎝⎭
增减
性
当x>
2
b
a
-时，y随x的增大而增
大；当x＜
2
b
a
-
时，y随x的增大而
减小.
当x>
2
b
a
-时，y随x的增大而减小；
当x＜
2
b
a
-时，y随x的增大而增大.
最值x=
2
b
a
-
，
y最小＝
2
4
4
ac b
a
-
. x=
2
b
a
-
，
y最大＝
2
4
4
ac b
a
-
.
2.系数a、b、c a
决定抛物线的开口
方向及开口大小
当a＞0时，抛物线开口向上；
当a＜0时，抛物线开口向下.
a、b 决定对称轴
（x=-b/2a）的位置
当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边；
当b＝0时，-b/2a=0，对称轴为y轴；
当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边．c
决定抛物线与y轴
的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. b2－
4ac
决定抛物线与x轴
的交点个数
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
3.平移与解析式的关系
平移|k|个单位
平移|h|个单位
向上(k＞0)或向下(k＜0)
向左(h＜0)或向右(h＞0)
y=a(x－h)2＋k
的图象
y=a(x－h)2
的图象
y=ax2
的图象
注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式
4.二次函数与一元二次方程二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.学科#网
当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＜0，无实根
5.二次函数与不等式抛物线y=ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.
6.二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
【题型剖析】
【类型1】二次函数的性质
【例1】（2019•苏州模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：则可求得（4a﹣2b+c）的值是（）
x…﹣1 2 3 …
y…0 0 4 …
A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4
【分析】由表内的数据结合二次函数的性质可得出当抛物线的对称轴为直线x，利用根与系数的关系
可得出的值，利用二次函数的对称性可得出当x＝﹣2时y的值，再将其代入（4a﹣2b+c）中即可求出结论．
【解析】∵当x＝﹣1时，y＝0，当x＝2时，y＝0，
∴抛物线的对称轴为直线x，且﹣1，2为一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，
∴1×2＝﹣2．
∵当x＝3时，y＝4，
∴当x＝﹣2时，y＝4，
∴（4a﹣2b+c）＝﹣2×4＝﹣8．
故选：B．
【方法小结】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及根与系数的关系，利用根与系数的关系及二次函数的性质，求出和（4a﹣2b+c）的值是解题的关键．
【变式1-1】（2019•雨花区校级模拟）抛物线y＝a（x+2m）2+m（a≠0）的顶点，当m取不同实数时，其顶点在下列（）上移动．
A．y B．y＝2x C．y D．y
【分析】求得顶点坐标，然后把顶点坐标分别代入即可判定．
【解析】由抛物线y＝a（x+2m）2+m（a≠0，a，m为常数）可知：顶点（﹣2m，m），
A．当x＝﹣2m时，y＝﹣m≠m，
B．当x＝﹣2m时，y＝﹣4m≠m；
C．当x＝﹣2m时，y m；
D．当x＝﹣2m时，y＝m，
故选：D．
【变式1-2】（2019•老河口市模拟）已知点A（﹣3，y1），B（2，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，点P（m，n）是该抛物线的顶点，若y1＞y2≥n，则m的取值范围是（）
A．﹣3＜m＜2 B．C．m D．m＞2
【分析】根据点A（﹣3，y1），B（2，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，点P（m，n）是该抛物线的顶点，y1＞y2≥n，可知该抛物线开口向上，对称轴是直线x＝m，则m，从而可以求得m的取值范围，
本题得以解决．
【解析】∵点P（m，n）是该抛物线的顶点，
∴抛物线的对称轴为x＝m，
∵点A（﹣3，y1），B（2，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，且y1＞y2≥n，
∴m，
解得m，
故选：C．
【类型2】二次函数的图象
【例2】（2019•灌云县校级模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2k和二次函数y＝﹣kx2+2x ﹣4（k是常数且k≠0）的图象可能是（）
【分析】根据一次函数与二次函数的图象的性质，求出k的取值范围，再逐项判断即可．
【解析】A、由一次函数图象可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴二次函数的图象开口应该向下，故A选项不合题意；
B、由一次函数图象可知，k＞0，∴﹣k＜0，，∴二次函数的图象开口向下，且对称轴在x
轴的正半轴，故B选项不合题意；
C、由一次函数图象可知，k＜0，∴﹣k＞0，，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴在x
轴的负半轴，一次函数必经过点（2，0），当x＝2时，二次函数值y＝﹣4k＞0，故C选项符合题意；
D、由一次函数图象可知，k＜0，∴﹣k＞0，，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴在x
轴的负半轴，一次函数必经过点（2，0），当x＝2时，二次函数值y＝﹣4k＞0，故D选项不合题意；
故选：C．
【方法小结】本题主要考查一次函数与二次函数的图象和性质，解决此题的关键是熟记图象的性质，此外，还要主要二次函数的对称轴、两图象的交点的位置等．
【变式1-1】（2019•无锡模拟）已知函数，则使y＝k成立的x值恰好有4个，则k 的值可能为（）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3
【分析】首先在坐标系中画出已知函数的图象，然后利用数形结合的方法即可找到使y＝k成立的x值恰好有4个的k值．
【解析】函数的图象如图：
根据图象知道当﹣1＜y＜3时，对应成立的x值恰好有4个，
所以﹣1＜k＜3．
故选：C．
【变式1-2】（2019•如皋市模拟）如图，在同一坐标系下，一次函数y＝ax+b与二次函数y=ax2+bx+4的图像大致可能是（）
【分析】可先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．
【解析】A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＜0，x0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，x0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项正确；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，故本选项错误．
故选：C．
【类型3】二次函数图象与系数a、b、c之间的关系
【例3】（2019•港南区四模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＞0；
②b＜a+c；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（其中m≠1）其中正确
的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解析】①由图象可知：抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，所以ab＜0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，所以abc＜0，故①错误；
②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，即b＞a+c，故②错误；
③由图可知，x＜0时，y随x的增大而增大，故③正确；
④当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x1，
即a，代入得9（）+3b+c＜0，得2c＜3b，故④正确；
⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故⑤正确．
综上所述，③④⑤正确．
故选：C．
【变式3-1】（2019•清江浦区一模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0），其对称轴为x＝1，下列结论：
①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④此二次函数的最大值是a+b+c，其中结论正确的是（）
A．①②B．②③C．②④D．①③④
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解析】①由图象可知：a＜0，c＞0，
∵0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②由对称轴可知：1，
∴2a+b＝0，故②正确；
③（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点为（3，0），
（0，0）关于直线x＝1的对称点为（2，0），
当x＝0时，y＞0，
∴x＝2时，y＞0，
即4a+2b+c＞0，故③错误；
④当x＝1时，y＝a+b+c，
∴二次函数的最大值是a+b+c，故④正确；
故选：C．
【变式3-2】（2019•鼓楼区校级模拟）抛物线y＝ax2+bx+c开口向下，与x轴两个交点的横坐标分别为﹣1和3，现给出如下判断：
①abc＞0，②a+b+c＝0，③a，④3b＝2c，⑤a﹣b+c＞0，⑥5a+b+c＜0，⑦c＞2b，⑧c＝﹣3
（3a+b）
其中正确判断的个数为（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解析】①题意可知：a＜0，
与x轴两个交点的横坐标分别为﹣1和3，可知1＞0，
∴b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②对称轴为x＝1，
由于抛物线y＝ax2+bx+c开口向下，与x轴两个交点的横坐标分别为﹣1和3，。