【好题】高三数学上期中第一次模拟试题(带答案)

【好题】高三数学上期中第一次模拟试题(带答案)
一、选择题
1．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1
22n n S λ+=+，则λ的值是( )
A ．4
B ．2
C ．2-
D ．4-
2．已知数列{}n a 的首项11a =，数列{}n b 为等比数列，且1
n n n
a b a +=
．若10112b
b =，则21a =（ ）
A ．92
B ．102
C ．112
D ．122
3．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪
-≥⎨⎪+-≥⎩
，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k
的最大值是（ ） A ．1 B ．
32
C ．2
D ．3
4．
()()()3663a a a -+-≤≤的最大值为（ ）
A ．9
B ．
92
C ．3
D ．
32
2
5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*1
1
n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7S
D ．n S 的最小值是7S
6．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019
111a a a ++⋯+=（ ） A ．
2020
2019
B ．
2019
1010
C ．
2017
1010
D ．
4037
2020
7．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，
D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距
6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，
接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）
A ．120km B
． C
． D
．
8．若a ，b ，c ，d∈R，则下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若a ＞b ，c ＞d ，则a+c ＞b+d C ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则
c d a b
> D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d
9．已知x ，y 满足条件0
{20
x y x
x y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A ．－16
B ．－6
C ．-83
D ．6
10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足21,,n n n S S S ++成等差数列，则3a 等于( ) A ．
12
B ．12
-
C ．
14
D ．14
-
11．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134
B ．135
C ．136
D ．137
12．已知正项数列{}n a
*(1)
()2
n n n N +=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =
B ．2
n a n =
C ．2
n n
a =
D ．2
2
n n a =
二、填空题
13．设0,
0,25x y x y >>+=
______.
14．已知数列{}n a 满足11a =，11
1n n
a a +=-
+，*n N ∈，则2019a =__________． 15．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,
()22,1,x
x x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩
若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________
16．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c
，cos
23
C =
，且
cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 ．
17．设2a b +=，0b >，则当a =_____时，1||2||a a b
+取得最小值. 18．在△ABC 中，2BC =，7AC =，3
B π
=
，则AB =______；△ABC 的面积是
______．
19．正项等比数列{}n a 满足2418-=a a ，6290-=a a ，则{}n a 前5项和为________. 20．在锐角ΔABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知
24,sin 4sin 6sin sin a b a A b B a B C +=+=,则ABC n 的面积取最小值时有2c =__________.
三、解答题
21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，各项为正的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，
11a =-，11b =，222a b +=.
（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S
22．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，
3
sin 5
B =.
（Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求π
sin(2)4
A +
的值. 23．已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式；
(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项
和n T .
24．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：对任意的n ∈N *，都有a n +1+S n +1＝1，又a 112
=
． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）令b n ＝log 2a n ，求12231
111n n b b b b b b L ++++（n ∈N *） 25．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1． （1）求角A 的大小； （2）若△ABC 的面积S=5
，b=5，求sinBsinC 的值．
26．如图，Rt ABC V 中，,1,32
B AB B
C π
=
==.点,M N 分别在边AB 和AC 上，将
AMN V 沿MN 翻折，使AMN V 变为A MN '△，且顶点'A 落在边BC 上,设AMN θ∠=
（1）用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围； （2）求线段CN 长度的最大值以及此时A MN '△的面积，
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一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】
根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142
a λ
+∴=
, 故当2n ≥时，1
12n n n n a S S --=-=,
Q 数列{}n a 是等比数列,
则11a =，故412
λ
+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】
本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
由已知条件推导出a n =b 1b 2…b n-1，由此利用b 10b 11=2，根据等比数列的性质能求出a 21． 【详解】
数列{a n }的首项a 1=1，数列{b n }为等比数列，且1
n n n
a b a +=， ∴3212212a a b a b a a =＝
，＝4312341233
a
a b b b a b b b a ∴=∴=，，＝，， …101211011211220120219101122n n a b b b b b a b b b b b b b b b -=⋯=∴=⋯=⨯⨯⋯⨯=Q ，
，（）（）（） ． 故选B ． 【点睛】
本题考查数列的第21项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递公式和等比数列的性质的合理运用．
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
先根据约束条件画出可行域，再利用直线20kx y -+=过定点()0,1，再利用k 的几何意义，只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时，k 值即可． 【详解】
直线20kx y -+=过定点()0,1， 作可行域如图所示，
，
由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩
，得()2,4B ．
当定点()0,1和B 点连接时，斜率最大，此时413
202
k -==-， 则k 的最大值为：32
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤， 所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得：
369
22
a a -++≤
= 当且仅当36a a -=+，即3
2
a =-时，等号成立， 故选B. 【点睛】
本题主要考查了均值不等式，属于中档题.
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由
870a a +<可得7a 和8a 的符号，即可判断n S 的最小值.
【详解】
由已知，得()11n n n S nS ++<， 所以
1
1
n n S S n n +<+， 所以
()()()
()
1111221n n n a a n a a n n ++++<+， 所以1n n a a +<，
所以等差数列{}n a 为递增数列.
又870a a +<，即
8
7
1a a <-， 所以80a >，70a <，
即数列{}n a 前7项均小于0，第8项大于零， 所以n S 的最小值为7S ， 故选D. 【点睛】
本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n 项和最值的判断，属于中档题.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -
1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得
1n a =()21n n +=2（1n -11
n +），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和． 【详解】
解：数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1， 即有n ≥2时，a n -a n -1=n ，
可得a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1） =1+2+3+…+n =
1
2
n （n +1），1n =也满足上式 1n a =()21n n +=2（1n -11
n +）， 则122019111a a a ++⋯+=2（1-12+12-13
+…+12019-12020） =2（1-12020
）=2019
1010．
故选:B ． 【点睛】
本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．
7．D
解析：D 【解析】 【分析】
先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得CD ,进一步可得
cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF . 【详解】
取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.
因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =, 又60DAE ∠=o ,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以
60DE km =,60ADE ∠=o ,
在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=o ,所以30EDB EBD ∠=∠=o , 所以90ADB ∠=o ,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=, 所以3BD km =,
因为9030CBE ∠=+o o 120=o ,30EBD ∠=o ,所以CBD ∠90=o , 所以222108006013240CD BD BC =
+=+⨯=km ,
所以6033
cos BD BDC CD ∠===
, 因为1
360904
DF km =⨯
=, 所以在三角形BDF 中,
2222232cos (603)90260390BF BD DF BD DF BDF =+-⋅⋅∠=+-⨯g 10800=,
所以603BF =km .
故一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有603km . 故选D . 【点睛】
本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用不等式的性质和通过举反例否定一个命题即可得出结果. 【详解】
A 项，虽然41,12>->-，但是42->-不成立，所以不正确；
B 项，利用不等式的同向可加性得知，其正确，所以成立，即B 正确；
C 项，虽然320,210>>>>，但是
32
21
>不成立，所以C 不正确； D 项，虽然41,23>>-，但是24>不成立，所以D 不正确； 故选B. 【点睛】
该题考查的是有关正确命题的选择问题，涉及到的知识点有不等式的性质，对应的解题的方法是不正确的举出反例即可，属于简单题目.
9．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋3
z
，先作出0{x y x ≥≤的图象，如图所示，
因为目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得C (2,2)，代入直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.
10．C
解析：C 【解析】
试题分析：由21,,n n n S S S ++成等差数列可得，212n n n n S S S S +++-=-，即
122n n n a a a ++++=-，也就是2112n n a a ++=-，所以等比数列{}n a 的公比1
2
q =-，从而
223111
1()24
a a q ==⨯-=，故选C.
考点：1.等差数列的定义；2.等比数列的通项公式及其前n 项和.
11．B
解析：B 【解析】
【分析】
由题意得出1514n a n =-，求出15142019n a n =-≤，即可得出数列的项数. 【详解】
因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故1514n a n =-.由
15142019n a n =-≤得135n ≤，故此数列的项数为135，故答案为B.
【点睛】
本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题.
12．B
解析：B 【解析】 【分析】
()()
1122
n n n n +-=
-
的表达式，可得出数列{}n a 的通项公式. 【详解】
(1)(1)
,(2)22
n n n n n n +-=
-=≥
1=
，所以2,(1),n n n a n =≥= ，选B.
【点睛】
给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再
求n a . 应用关系式11,1
{,2
n n n S n a S S n -==-≥时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出
结果后，看看这两种情况能否整合在一起.
二、填空题
13．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立
解析：【解析】 【分析】
把分子展开化为26xy +，再利用基本不等式求最值． 【详解】
=Q
0,
0,
25,0,x y x y xy >>+=>∴Q
≥= 当且仅当3xy =，即3,1x y ==时成立，
故所求的最小值为 【点睛】
使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
14．-2【解析】【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性进而得到结果【详解】根据题干表达式得到可以得数列具有周期性周期为3故得到故得到故答案为：-2【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项一般方法是
解析：-2 【解析】 【分析】
根据题干中所给的表达式得到数列的周期性，进而得到结果. 【详解】
根据题干表达式得到234123
1111
,2, 1.1211a a a a a a =-
=-=-=-=-=+++ 567455
1111
,2, 1.1211a a a a a a =-
=-=-=-=-=+++ 可以得数列具有周期性，周期为3，故得到20193673.÷= 故得到2019 2.a =- 故答案为：-2. 【点睛】
这个题目考查了求数列中的某些项，一般方法是求出数列通项，对于数列通项不容易求的题目，可以列出数列的一些项，得到数列的周期或者一些其它规律，进而得到数列中的项.
15．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m 取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式
解析：13
-
【解析】 【分析】
先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性，再化简不等式()()1f x f x m -≤+，分类讨论分离不等式，最后根据函数最值求m 取值范围，即得结果.
【详解】
因为当0x ≥时 ()21,01,
22,1,x
x x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩
为单调递减函数，又()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，因此不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，等价于不等式
()()1f x f x m -≤+恒成立，即1x x m -≥+，平方化简得()2211m x m +≤-，
当10m +=时，x R ∈； 当10m +>时，12
m
x -≤
对[],1x m m ∈+恒成立，111
11233
m m m m -+≤
∴≤-∴-<≤-； 当10m +<时，12m x -≥
对[],1x m m ∈+恒成立，11
23
m m m -≥
∴≥（舍）； 综上113
m -≤≤-，因此实数m 的最大值是1
3
-. 【点睛】
解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()
f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.
16．【解析】试题分析：外接圆直径为由图可知当在垂直平分线上时面积取得最大值设高则由相交弦定理有解得故最大面积为考点：解三角形【思路点晴】本题主要考查解三角形三角函数恒等变换二倍角公式正弦定理化归与转化的
【解析】
试题分析：cos
23
C =
，21cos 2cos 129C C =-=，sin 9C =，
cos cos 2a B b A c +==，外接圆直径为2sin 10
c R C =
=
，由图可知，当C 在AB 垂
直平分线上时，面积取得最大值.设高CE x =，则由相交弦定理有1x x ⎫
-=⎪⎪⎝⎭
，解得
x =
122S =⋅=
.
考点：解三角形．
【思路点晴】本题主要考查解三角形、三角函数恒等变换、二倍角公式、正弦定理，化归与转化的数学思想方法，数形结合的数学思想方法.一开始题目给了C 的半角的余弦值，我们由二倍角公式可以求出单倍角的余弦值和正弦值.第二个条件cos cos 2a B b A +=我们结合图像，很容易知道这就是2c =.三角形一边和对角是固定的，也就是外接圆是固定的，所以面积最大也就是高最大，在圆上利用相交弦定理就可以求出高了.
17．【解析】【分析】利用代入所求式子得再对分并结合基本不等式求最小值【详解】因为所以又因为所以因此当时的最小值是；当时的最小值是故的最小值为此时即故答案为：【点睛】本题考查基本不等式求最值考查转化与化归 解析：2-
【解析】 【分析】
利用2a b +=代入所求式子得||4||4||a b a a a b
++，再对a 分0a >，0a <并结合基本不等式求最小值. 【详解】 因为2a b +=， 所以
1||||||2||4||4||4||a a b a a b a a b a b a a b
++=+=++， 又因为0b >，||0a >， 所以
||||
214||4||b a b a a b a b
+⋅=…， 因此当0a >时，1||2||a a b +的最小值是15
144
+=； 当0a <时，
1||2||a a b +的最小值是13144
-+=.
故1||2||a a b +的最小值为34，此时,42,0,
a
b a b a b a ⎧=⎪⎪
⎪+=⎨⎪<⎪⎪⎩
即2a =-. 故答案为：2-. 【点睛】
本题考查基本不等式求最值，考查转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对a 的分类讨论及基本不等式求最值时，要验证等号成立的条件.
18．；【解析】试题分析：由余弦定理得即得考点：余弦定理三角形面积公式
解析：
；
2
【解析】
试题分析：由余弦定理得22202cos60AC AB BC AB BC =+-⋅，即
21
74222AB AB =+-⋅⋅，得2230AB AB --=，31()AB ∴=-或舍
，
011sin 603222S AB BC =
⋅=⨯⨯=
考点：余弦定理，三角形面积公式. 19．93【解析】【分析】运用等比数列通项公式基本量的计算先求出首项和公比然后再运用等比数列前项和公式求出前项和【详解】正项等比数列满足即则有代入有又因为则故答案为【点睛】本题考查了求等比数列前项和等比数
解析：93 【解析】 【分析】
运用等比数列通项公式基本量的计算，先求出首项和公比，然后再运用等比数列前n 项和公式求出前5项和. 【详解】
正项等比数列{}n a 满足2418-=a a ，6290-=a a ，
即24
222218,90a q a a q a -=-=
则有(
)(
)(
)
2
2
2
22118,1190a q a q q -=-+= 代入有2
2
1=5,4q q +=
又因为0q >，则212,6,3q a a =∴==
()553129312
S ⨯-∴=
=-
故答案为93 【点睛】
本题考查了求等比数列前n 项和等比数列通项公式的运用，需要熟记公式，并能灵活运用公式及等比数列的性质等进行解题，本题较为基础.
20．【解析】由正弦定理及得又即由于即有即有由即有解得当且仅当a=2b=2时取得等号当a=2b=1S 取得最小值易得(C 为锐角)则则
解析：5【解析】
由正弦定理及sin 4sin 6sin sin a A b B a B C +=, 得2246sin a b ab C +=, 又1
sin 2
S ab C =
,即22412a b S +=, 由于24a b +=,即有()2
22424164a b a b ab ab +=+-=-, 即有41612ab S =-,
由2
2422a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
,即有
16128S -≤,解得23S ≥, 当且仅当a=2b =2时,取得等号, 当a =2,b=1,S 取得最小值
2
3
,
易得2sin 3C =
(C 为锐角),则cos C =,
则22
2
2cos 5c a b ab C =+-=. 三、解答题
21．(1)12n n b -=, (2)36s =-
【解析】 【分析】
（1）首先设出等差数列的公差与等比数列的公比，根据题中所给的式子，得到关于d 与q 的等量关系式，解方程组求得结果，之后根据等比数列的通项公式写出结果即可； （2）根据题中所给的条件，求得其公比，根据条件，作出取舍，之后应用公式求得结果. 【详解】
(1)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，
由22 2.a b +=得d+q=3，由335a b +=得2d+q 2=6, 解得d=1,q=2.
所以{}n b 的通项公式为1
2n n b -=；
（2）由131,21b T ==得q 2+q-20=0, 解得q=-5（舍去）或q=4， 当q=4时，d=-1，则S 3=-6。

【点睛】
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式与求和公式，等比数列的通项公式与求和公式，正确理解与运用公式是解题的关键，注意对所求的结果进行正确的取舍.
22．（Ⅰ）b =sin A （Ⅱ）26
. 【解析】
试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系2a b =，再根据余弦定理求出cos A ， 进而得到sin A ，由2a b =转化为sin 2sin A B =，求出sin B ，进而求出cos B ，从而求出2B 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果. 试题解析：（Ⅰ） 解：在ABC V 中，因为a b >，故由3sin 5B =
，可得4
cos 5
B =.由已
知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =.
由正弦定理
sin sin a b A B =,得sin sin 13
a B A
b ==.
所以，b sin A .
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及a c <，得cos A =
，所以12sin22sin cos 13A A A ==，
25cos212sin 13A A =-=-
.故πππsin 2sin2cos cos2sin 44426A A A ⎛
⎫+=+= ⎪⎝
⎭. 考点：正弦定理、余弦定理、解三角形
【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
23．（Ⅰ）2n
n a =.（Ⅱ）25
52n n
n T +=-
. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.
试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22
111(1)6,a q a q a q +==.
又0n a >，
解得：12,2==a q ，
所以2n
n a =.
（Ⅱ）由题意知：121211(21)()
(21)2
n n n n b b S n b +++++=
=+，
又2111,0,n n n n S b b b +++=≠ 所以21n b n =+, 令n
n n
b c a =, 则21
2
n n
n c +=， 因此
12231357212122222
n n n n n n T c c c --+=+++=
+++++L L , 又
234113572121
222222
n n n n n T +-+=+++++L , 两式相减得2111311121
222222
n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭L 所以25
52
n n
n T +=-
. 【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.
【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 24．(1) a n 12n
=；(2) 1
n
n +． 【解析】 【分析】
（1）利用公式1n n n a S S -=-化简得到11
2n n a a +=，计算112
a =，得到答案. （2）计算得到n
b n =-，()11111
11
n n b b n n n n +==-++，利用裂项求和计算得到答案. 【详解】
（1）根据题意，由a n +1+S n +1＝1，①，则有a n +S n ＝1，②，（n ≥2） ①﹣②得：2a n +1＝a n ，即a n +112=
a n ，又由a 112
=，
当n ＝1时，有a 2+S 2＝1，即a 2+（a 1+a 2）＝1，解可得a 214
=， 则所以数列{a n }是首项和公比都为12的等比数列，故a n 12
n =； （2）由（1）的结论，a n 1
2n
=
，则b n ＝log 2a n ＝﹣n ，则()()()()()()()12231111111111122311223
1n n b b b b b b n n n n ++++=+++=+++-⨯--⨯--⨯--⨯⨯⨯+L L L L L ＝（112
-）+（1231-）+……+（111n n -+）＝1111n
n n -=++．
【点睛】
本题考查了求通项公式，裂项求和法计算前n 项和，意在考查学生对于数列公式的综合应
用. 25．（1）（2）
57
【解析】
试题分析：（1）根据二倍角公式,三角形内角和
,所
以
,整理为关于
的二次方程，解得角
的大小；（2）根据三角形的面积公式和上一问角，代入后解得边，这样就知道
,然后根据余弦定理再求
，最后根据证得定理分别求得和
.
试题解析：（1）由cos 2A －3cos(B ＋C)＝1，
得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0， 解得cos A ＝
或cos A ＝－2(舍去)．
因为0<A<π，所以A ＝. （2）由S ＝
bcsin A ＝
bc×
＝
bc ＝5，得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4.
由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝. 从而由正弦定理得sin B sin C ＝
sin A×
sin A ＝
sin 2A ＝
×
＝
.
考点：1.二倍角公式；2.正余弦定理；3.三角形面积公式.
【方法点睛】本题涉及到解三角形问题，所以有关三角问题的公式都有涉及，当出现
时，就要考虑一个条件，
,
,这样就做到了有
效的消元，涉及三角形的面积问题，就要考虑公式
,灵活使用其中的一个.
26．()1212sin 42AM ππθθ
⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭ ()2439
；=
S 【解析】 【分析】
（1）在直角A BM '∆中，得出A M '与θ的关系，从而得出AM 与θ的不等式； （2）在AMN ∆中，利用正弦定理求出AN ，得出AN 的最小值，从而得出CN 的最大值. 【详解】
（1）设MA MA x '==，则1MB x =-， 在直角A BM '∆中，1cos(1802)x
x
θ--=o
， 解得2111cos 22sin x θθ=
=-，即2
1
2sin AM θ
=， 因为A '在边BC 上，所以4
2
π
π
θ≤≤
.
（2）因为,1,2
B AB B
C π
∠=
==2AC =，所以60BAC ∠=o ，
在AMN ∆中，由AMN θ∠=，可得18060120ANM θθ∠=--=-o o o ， 又由21
2sin MN θ
=
，
根据正弦定理，可得sin sin(120)
AN AM
θθ=-o ， 所以sin 1
sin(120)2sin sin(120)
AM AN θθθθ⋅=
=--o o ，
令212sin sin(120)2sin (sin )sin cos 2
t θθθθθθθθ=-=⋅=+o
1112cos 2sin(230)222
θθθ=
-=+-o ， 因为4590θ<<o o ，所以60230150θ<-<o o o ， 当且仅当23090θ-=o o 时，即60θ=o 时，t 有最大值3
2
， 即当60θ=o 时，AN 有最小值23
， 所以CN 的最大值为
43
，
当60θ=o 时，AMN ∆为等边三角形，AMN ∆面积为22()3S ==
【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的
题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.。